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在使用Fourier变换分析信号时候#xff0c;有时需要用到能量积分。本文对Fourier变换的能量积分进行分析。
一、Fourier变换中的能量积分
若 F ( ω ) F [ f ( t ) ] F(\omega)\mathscr F[f(t)] F(ω)F[f(t)]#xff0c;则有 ∫…Fourier变换中的能量积分及其详细证明过程
在使用Fourier变换分析信号时候有时需要用到能量积分。本文对Fourier变换的能量积分进行分析。
一、Fourier变换中的能量积分
若 F ( ω ) F [ f ( t ) ] F(\omega)\mathscr F[f(t)] F(ω)F[f(t)]则有 ∫ − ∞ ∞ [ f ( t ) ] 2 d t 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω (1) \int_{ - \infty }^{ \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega \tag1 ∫−∞∞[f(t)]2dt2π1∫−∞∞∣F(ω)∣2dω(1) 该等式又称为Parseval等式。
二、证明Fourier变换中的能量积分(Parseval 等式)
证明 根据Fourier变换的乘积定理的推论,令 f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) f_1(t)f_2(t)f(t) f1(t)f2(t)f(t),则 ∫ − ∞ ∞ [ f ( t ) ] 2 d t ∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ( t ) d t 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ‾ F ( ω ) d ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) d ω \int_{ - \infty }^{ \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t \int_{ - \infty }^{ \infty } {{{f}(t)} } {f}(t){\rm{d}}t \\\\ \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ \infty } {\overline {{F}(\omega )} } {F}(\omega ){\rm{d}}\omega\\\\ \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega\\\\ \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ \infty } {S}(\omega ) {\rm{d}}\omega ∫−∞∞[f(t)]2dt∫−∞∞f(t)f(t)dt2π1∫−∞∞F(ω)F(ω)dω2π1∫−∞∞∣F(ω)∣2dω2π1∫−∞∞S(ω)dω 其中 S ( ω ) ∣ F ( ω ) ∣ 2 {S}(\omega )|{F}(\omega )|^2 S(ω)∣F(ω)∣2,并将 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)称为能量密度函数或称为能量谱密度。 证毕. 注解关于Fourier变换的乘积定理及其推论和证明过程见本博主文章链接: Fourier变换的乘积定理及其详细证明过程.
能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)决定了函数 f ( t ) f(t) f(t)的能量在频域的分布规律将 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)对所有频率积分就得到 f ( t ) f(t) f(t)在时间域 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) (−∞,∞)范围的总能量 ∫ − ∞ ∞ [ f ( t ) ] 2 d t \int_{ - \infty }^{ \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t ∫−∞∞[f(t)]2dt。因此Parseval等式又称为能量积分。 此外还可知能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)是一个偶函数即 S ( ω ) S ( − ω ) {S}(\omega ){S}(-\omega ) S(ω)S(−ω).
三、能量积分Parseval等式特别注意事项
在 ∫ − ∞ ∞ [ f ( t ) ] 2 d t 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω \int_{ - \infty }^{ \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega ∫−∞∞[f(t)]2dt2π1∫−∞∞∣F(ω)∣2dω等式中 ∣ F ( ω ) ∣ 2 |{F}(\omega )|^2 ∣F(ω)∣2表示对 F ( ω ) F(\omega) F(ω)取模后再平方而不能写成 [ F ( ω ) ] 2 [{F}(\omega )]^2 [F(ω)]2,此处要特别留意该差别。能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)是一个偶函数即 S ( ω ) S ( − ω ) {S}(\omega ){S}(-\omega ) S(ω)S(−ω)它不等于 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换即能量谱密度和频谱是两种不同的计算过程而是能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)等于 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换后取模再平方而得到。
