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这次我不会从它普遍的推导方式来理解而是从一个更简单的角度来理解----向量的点积。
向量点积
先简单介绍一下向量的点积。假如我们现在有一个向量a长度为6又有一个向量b长度为8它们的夹角为60°那么它们的点积的就是用它们的模长乘以夹角的余弦值得到24. 那么这样定义有什么用呢它得出来的数值说明了什么呢我们现在把夹角调小到30°现在我们就看到啊向量b在a方向上得投影变得比之前长了而点积的结果也变成了24倍的根号3。 大家观察一下啊角度调整前后的向量b谁和向量a更像啊那自然是夹角更小的那个了所以点积或者说点乘这样子来定义的一大作用呢就是可以衡量一个东西和另一个东西有多像也就是相似度
而点积出来的数值越大相似度呢就越高。这时如果把向量具象化为一个观察者而观察者呢只能看到和感知到它自己这个维度方向上的东西所以向量b在向量a 的眼里呢也还是一个向量并且和自己是一条线上的。 那么在a的眼里b向量有多长呢那就得算向量b在a方向上的投影是多少了也就是拿b向量的模长乘以他们夹角的余弦。 如果用上刚刚点乘的定义呢就是ab点积再除以a的模长 这个就是b在a上的投影长度了。如果向量b垂直于向量a那么b在a上的投影就是0点积结果就是0。也就是说它们两个一点都不“像”那么我们a作为观察者它压根就感知不到向量b的存在。 当夹角变成钝角的时候情况又出现了新的变化向量b在向量a的方向上又有了投影只不过方向和刚刚相反了点积就变成了负值它们仍然具有相似性。 既然引出了观察者这个概念那么我们就可以从一个全新的角度去看了虽然每一个观察者都只能看到一个片面但是我们把所有观察者都看到的都综合起来就可以得到真相了。
观察者角度看向量分解
我们找来两个相互垂直的观察者i和j,它们的长度都是1你想看i眼里的向量m,那么我们就可以用i和m进行点积假如我们得到的数值是4同理看j眼里的向量m可以用j和m进行点积结果为3这时候向量m就可以表示为4i加3j了。 可以看出向量m对观察者向量i的影响更大它们也更相似。大家注意上面两个观察者i和j的长度被定义为1这其实就是归一化操作为什么要归一化呢那总不能让作为基准的东西高矮胖瘦什么都有吧而且归一化可以保证各个观察者在能量上是一致的方便后续数据的处理如果不进行归一化那么后续处理数据又得一个一个来区别对待那就相当麻烦。
如果向量长度不为一怎么办那么我们把它归为1.现在有一个向量a我们直接除以它的模长就可以得到归一化后的观察者了其实就是a方向的单位向量了。 那刚刚的4i3jI和j都是单位向量而4和3是投影系数也就是在不同方向观察者看到的量是多少。 好我们再回到刚刚那个例子在a 眼里向量b可以这么表达a点乘b再除以a的模长就是b在a方向的投影然后再乘以a的归一化向量也就是a 除以自己的模长。 我们可以看出来如果观察者不归一那么你的系数就要归一。
一句话小结一下观察者理论就是对于给定的目标让若干个归一化的每个观察者都记录一个数据而这些数据就是我们想要的东西了所以点积就是观察者了解一个未知事物的手段。
连续函数的点积
我们放到直角坐标系当中去看。我们都知道在直角坐标系下两个向量X[x1,x2,x3,x4]和Y[y1,y2,y3,y4]的点积是对应的分量相乘再相加推广到n维也是如此。现在我们来思考这样一种事情假如我们有两个向量Xn[x1,x2,x3,x4,…xn] 和Yn[y1,y2,y3,…yn] 我们把Xn的每一个分量均匀放在时间轴t上假设范围是(t1,t2),那么我们就可以看出来这是一个t1到t2的离散函数x1x2x3等等是函数值。 当n 越来越大趋于无穷的时候那么均匀分布在t轴上的数就会越来越多直到连续。那么这就是一个连续函数Xt,t∈[t1,t2]Yn同理。 这样我们就可以看出来一个连续的函数等价于无穷维的向量。那么结合向量的点积
这些就是对应点的函数值相乘当它们是连续函数的时候直接用两个函数相乘就行了就是Xt乘以Y(t). 那么相加的动作在连续函数当中就是求积分如果定义域是t1,t2的闭区间那么式子就是这样子 从图像上来看这个式子的数值是大于0的也就是说它们之间是存在一些相似度的。那么上面的呢就是连续函数点乘的定义了。
从点积推导傅里叶变换
好那么现在让我们把目光放在傅里叶级数上来傅里叶级数是由一系列简单的正余弦函数作为基例如2pi周期的函数的基就是cost,cos2t,cos3t等等这些基是通过不同频率来进行区分的它们可以看到目标函数在自己频率世界中的投影也就是影响是多少。当然也可以说是看目标函数和观察者自己本身的相似度有多少。 如果高频的观察者和目标函数相似度更高那么就说明原函数的高频成分就更多。例如我们有一个目标函数f(t),我们想看cosnt和目标函数相似度有多少即成分的高低那么我们直接让二者点乘即可即从[-pi,pi], 如果你还想进一步看一下f(t)在cosnt上具体的投影是多少呢那就离不开归一化操作了刚才已经讲过了要么观察者是归一的要么系数是归一的。连续函数不就是连续无穷维向量吗所以连续函数的模长就是。那么cosnt的模长就是其实连续函数的模长有一个专有名词叫做2-范数。很明显cosnt这个观察者没有归一所以投影系数呢就得归一我们看之前总结的公式。代入后就是 这个式子是不是非常眼熟它就是傅里叶级数求An的公式对应到不同频率基的振幅。这样我们就可以求出原函数在不同频率下的投影是多少了。
好我们接下来更进一步进入到傅里叶级数的复变换形式。上周我们都了解了欧拉公式那么我们就可以把代入进去了。 不过要注意一件事情两个复函数的点乘是取后者的共轭函数进行计算的。
取代了之前的cosnt成为了新的观察者那么让它来对f(t)进行点乘来看相似度有多少的共轭复数是进行点乘之后有
而且我们可以看到观察者已经归一了因为它表示的都是半径为1的旋转那么现在我们再看看这个公式这其实就是连续函数的傅里叶变换的公式。我们积分出来的结果一般都是一个关于角频率w的复函数那么这个复函数的模就可以理解为我们前面所说过的投影数。
以上就是从点积或者说点乘角度来理解傅里叶变换希望能帮助到大家对傅里叶变换有更深层次的认识。
总结
1.点积就是计算A与B之间的相似程度。
2.一个n维向量存在n个基第i个基与其进行点积可以得到该向量在第i个基上的相似度。
3.无穷维的向量可以看作是一个连续的函数此时点积可看作积分。
4.引入欧拉公式将目标函数与不同基点乘从而得到不同频率的成分大小这就是连续傅里叶变换。 应用
图像压缩与增强傅里叶变换可以将图像转换到频域从而分离出代表图像细节的高频分量和表示图像结构的低频分量。这一特性被用于图像压缩通过去除或减少高频噪声来减小图像大小同时保持视觉质量。在图像增强方面可以通过调整频域系数来改善图像的清晰度或进行去模糊处理。音频信号处理在语音识别、音乐分类和音频降噪等任务中傅里叶变换用于分析音频信号的频率组成帮助识别特定的声音特征从而提高处理的准确性和效率。时序数据分析在处理时间序列数据如股票价格、传感器读数时傅里叶变换能够揭示数据中的周期性成分帮助预测未来趋势、异常检测和模式识别。降维和特征工程在高维数据集中傅里叶变换可以揭示数据的频率特性通过选择或构造基于频率的特征降低数据维度提高机器学习模型的训练效率和泛化能力。
