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算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程#xff0c;他取一个或一组的值为输入#xff0c;并产生出一个或一组值作为 输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤#xff0c;用来将输入数据转化成输出结果
一、算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
如何衡…前言
算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程他取一个或一组的值为输入并产生出一个或一组值作为 输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤用来将输入数据转化成输出结果
一、算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
如何衡量一个算法的好坏呢比如对于以下斐波那契数列
long long Fib(int N)
{if(N 3)return 1;return Fib(N-1) Fib(N-2);
}
斐波那契数列的递归实现方式非常简洁但简洁一定好吗那该如何衡量其好与坏呢
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏一般 是从时间和空间两个维度来衡量的即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
复杂度在校招中的考察 常见复杂度对比 二、时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义在计算机科学中算法的时间复杂度是一个函数它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间从理论上说是不能算出来的只有你把你的程序放在机器上跑起来才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗是可以都上机测试但是这很麻烦所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度。
即找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式就是算出了该算法的时间复杂度。
// 请计算一下Func1中count语句总共执行了多少次
void Func1(int N)
{int count 0;for (int i 0; i N; i){for (int j 0; j N; j){count;}}for (int k 0; k 2 * N; k){count;}int M 10;while (M--){count;}printf(%d\n, count);
} 实际中我们计算时间复杂度时我们其实并不一定要计算精确的执行次数而只需要大概执行次数那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号Big O notation是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 使用大O的渐进表示法以后Func1的时间复杂度为 O(N^2) N 10 F(N) 100 N 100 F(N) 10000 N 1000 F(N) 1000000 通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况 最坏情况任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况任意输入规模的期望运行次数 最好情况任意输入规模的最小运行次数(下界) 例如在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况1次找到 最坏情况N次找到 平均情况N/2次找到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
三、常见时间复杂度计算举例
实例1
// 计算Func2的时间复杂度
void Func2(int N)
{int count 0;for (int k 0; k 2 * N; k){count;}int M 10;while (M--){count;}printf(%d\n, count);
}基本操作执行了2N10次通过推导大O阶方法知道时间复杂度为 O(N)
实例2:
// 计算Func3的时间复杂度
void Func3(int N, int M)
{int count 0;for (int k 0; k M; k){count;}for (int k 0; k N; k){count;}printf(%d\n, count);
}
基本操作执行了MN次有两个未知数M和N时间复杂度为 O(NM)
实例3:
// 计算Func4的时间复杂度
void Func4(int N)
{int count 0;for (int k 0; k 100; k){count;}printf(%d\n, count);
}
基本操作执行了100次通过推导大O阶方法时间复杂度为 O(1)
注O(1)代表常数次
实例4:
// 计算strchr的时间复杂度
const char * strchr ( const char * str, int character );
我们分析一下
while (*str)
{if (*str charcter)return str;elsestr;
}
基本操作执行最好1次最坏N次时间复杂度一般看最坏时间复杂度为 O(N)
实例5
// 计算BubbleSort的时间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end n; end 0; --end){int exchange 0;for (size_t i 1; i end; i){if (a[i - 1] a[i]){Swap(a[i - 1], a[i]);exchange 1;}}if (exchange 0)break;}
}基本操作执行最好N次最坏执行了N*(N-1)/2次通过推导大O阶方法时间复杂度一般看最坏时间复杂度为 O(N^2)
实例6:
// 计算BinarySearch的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin 0;int end n - 1;// [begin, end]begin和end是左闭右闭区间因此有号while (begin end){int mid begin ((end - begin) 1);if (a[mid] x)begin mid 1;else if (a[mid] x)end mid - 1;elsereturn mid;}return -1;
}
分析二分查找的时间复杂度 查找区间的变化 N N/2 N/4 N/8 …… 1 二分查找什么情况下最坏?查找区间只剩一个数或者找不到也就是N/2/2…/2 1
查找了多少次就是除了多少个2假设查找了x次 2^x N
那么查找次数为xlogN底数忽略不写
则时间复杂度: O(logN)
因为写的时候需要支持专业公式否则不好写底数时间复杂度当中为了方便logN可以省略底数直接写成logN其他底层不能省略(其他底数也很少出现)
实例7:
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N)
{if(0 N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}递归时间复杂度所有递归调用次数累加等差数列
通过计算分析发现基本操作递归了N次时间复杂度为O(N)。 实例8
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{if(N 3)return 1;return Fib(N-1) Fib(N-2);
}如下图所示每次递归都是以2倍的形式增长累加求和我们可以使用等比数列错位相减法 计算分析发现基本操作递归了2^N次时间复杂度为O(2^N)。
这种算法基本上是废了只有理论意义实践中太慢了。
四、复杂度的OJ练习
1.消失的数字
OJ链接消失的数字 思路一先排序再依次查找如果下一个值不等于前一个1下一个值就是消失数字如果我们使用冒泡排序进行排序就不符合题目要求了因为它的时间复杂度是O(N^2)
思路二求和0到N再依次减去数组中的值剩下的那个值就是消失数字累加的时间复杂度为O(N)如果N的数字比较大可能会导致栈溢出。
代码如下 思路三我们可以使用异或把数组中0到N的元素全部异或起来相同为0相异为1最后那个数字就是消失的数字这样还可以防止栈溢出
代码如下
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int x 0;int N numsSize;for(int i 0;inumsSize;i){x^nums[i];}for(int j 0;jnumsSize;j){x^j;}return x;
} 2.轮转数组 OJ链接轮转数组 思路一先写出旋转一次的函数在调用k次k的真实旋转次数为k%numsSize
代码如下 但是超出时间限制了 我们分析一下
最坏情况 k%N等于N-1 - O(N^2)
最好情况k%N等于0
时间复杂度为O(N^2)
思路二我们使用三段逆置我们先让前n-k个逆置一下然后再把后k个逆置一下最后整体逆置。 代码如下
void reverse(int*a,int left,int raght)
{while(left raght){int temp a[left];a[left] a[raght];a[raght] temp;left;--raght;}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{k % numsSize;reverse(nums,0,numsSize-k-1);reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);reverse(nums,0,numsSize-1);
}
时间复杂度为O(N)我们也可以使用memcpy 总结
时间复杂度是衡量算法执行效率的重要指标它表示算法随输入数据规模增长时执行时间的变化趋势。优化时间复杂度可以节省计算资源、提高系统性能、满足实时性要求并提升用户体验。在设计算法时应充分考虑时间复杂度的优化以实现高效、稳定的性能表现。
