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二叉排序树(Binary Sort Tre)或者是一棵空树#xff0c;或者是具有如下性质的二叉树#xff1a; (1) 若它的左子树不空#xff0c;则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值#xff1b; (2) 若它的右子树不空#xff0c;则右子树上所有结点的值均…二叉排序树定义及性质
二叉排序树(Binary Sort Tre)或者是一棵空树或者是具有如下性质的二叉树 (1) 若它的左子树不空则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值 (2) 若它的右子树不空则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值 (3) 它的左右子树也分别为二叉排序树。 简单来说二叉排序树是指根结点大于左子树小于右子树的二叉树。 根据使用目的二叉排序树也常被称为二叉查找树、二叉搜索树。
二叉排序树的存储结构
二叉排序树存储结构与二叉树的存储结构一致常见的存储方式有两种顺序存储结构、链式存储结构。在实际开发中链式存储结构是使用最多的。这里重点介绍下链式存储结构。
链式存储结构
不同的存储结构可构成不同形式的链式存储结构。二叉排序树的链式存储结构与二叉树的链式存储结构一致。由二叉树的定义可知二叉树的结点由一个数据元素和分别指向左右子树的两个分支构成。有时为了便于查找结点的双亲还会增加一个指向其双亲结点的指针域。对应存储形式如下图所示
二叉排序树的操作
同一种操作不同的存储结构对应不同的实现。本文仅介绍基于链式存储结构的实现。同时这里仅介绍基本的操作更多高级的操作可以参考力扣。
二叉排序树的查找
二叉排序树中关键字的查找过程如下当二叉排序树不空时首先将给定值的和根结点的关键字比较若相等则查找成功否则将依据给定值和根结点的关键字之间的大小关系分别在左子树或右子树上继续进行查找。对于二叉链表为存储结构的二叉树来说其查找算法如下所示
BiTree SearchBST(BiTree T, KeyType key) {// 在根指针 T 所指二叉排序树中递归地查找某关键字等于key的数据元素// 若查找成功则返回指向该数据元素结点的指针否则返回空指针if((!T) || EQ(key, T-data.key)) {return (T); // 查找结束} else if(LT(key, T-data.key)) {return SearchBST(T-lchild, key); // 在左子树中继续查找} else {return SearchBST(T-rchild, key); // 在右子树中继续查找}
}接下来考虑该算法的执行效率。含有 n n n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关。当先后插入的关键字有序时构成的二叉排序树蜕变成单支树。树的深度为 n n n其平均查找长度为 ( n 1 ) / 2 (n1)/2 (n1)/2(和顺序查找相同)这是最差的情况。最好的情况则是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同其平均查找长度和 l o g 2 n log_2 n log2n成正比。接下来分析二叉排序树的平均查找性能。 假设二叉排序树中 n n n个关键字的排列是随机的即任一关键字在序列中将是第1个或第2个…或第 n n n个的概率是相同的那么平均查找长度 P ( n ) P(n) P(n)可以表示为 P ( n ) 1 n ∑ i 0 n − 1 P ( n , i ) P(n) \frac{1}{n}\sum_{i0}^{n-1}P(n, i) P(n)n1i0∑n−1P(n,i) 显然 P ( n ) 0 P(n) 0 P(n)0 P ( 1 ) 1 P(1) 1 P(1)1。对于上述公式当 n 2 n2 n2时可表示为 P ( n ) 2 ( 1 1 n ) l n n P(n) 2(1\frac{1}{n})ln n P(n)2(1n1)lnn 具体化简过程可参考《数据结构》的9.2.1 二叉排序树和平衡二叉树。 由此可见在关键字排列随机的情况下二叉排序树的平均查找长度和 l o g n log n logn是等数量级的。 这里给出基于java的二叉树查找实现
public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {if(root null) {return null;}if(val root.val) {return root;} else if(val root.val) {return searchBST(root.left, val);} else {return searchBST(root.right, val);}
}为了消减递归调用这里使用循环的方式给出实现方式。更多使用循环替代递归的通用知识可以参考通用的递归转循环方法一文。
public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {while (root ! null) {if(val root.val) {break;} else if(val root.val) {root root.left;} else {root root.right;}}return root;
}更多二叉树查找的实现可以参考力扣。
二叉排序树的插入
一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树而变成一个有序序列构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。而且每次向二叉排序树上插入新的结点都是二叉排序树上新的叶子节点所以在进行插入操作时不必移动其他结点仅需改动某个结点的指针由空变为非空即可。这就相当于在一个有序序列上插入一个记录而不需要移动其他记录。这表明二叉排序树既拥有类似折半查找的特性又采用了链表作为存储结构因此是动态查找表的一种合适表示。 二叉排序树中关键字的插入过程如下首先根据给定值查找给定值是否已经存在二叉排序树中如果存在则直接返回。否则将结点插入到这棵树种。对于二叉链表为存储结构的二叉树来说其插入算法如下所示
Status SearchBST(BiTree T, keyType key, BiTree f, BiTree p) {// 在根指针T所指二叉排序树中递归地查找器关键字等于key的数据元素若查找成功// 则指针p指向该数据元素节点并返回TRUE否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点// 并返回FALSE指针f指向T的双亲其初始调用值为 NULLif(!T) {p f;return FALSE;} else if(EQ(key, T-data.key)) {p T;return TRUE;} else if(LT(key, T-data.key)) {return SearchBST(T-lchild, key, T, p);} else {return SearchBST(T-rchild, key, T, p);}
}Status InsertBST(BiTree T, ElemType e) { // 当二叉排序树T 中不存在关键字等于e.key的数据元素插入e并返回TRUE// 否则返回FALSEif(!SearchBST(T, e.key, NULL, p)) {s (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));s-data e;s-lchild NULL;s-rchild NULL;if(!p) {T s;} else if(LT(e.key, p-data.key)) {p-lchild s;} else {p-rchild s; }} else {return FALSE;}
}接下来考虑该算法的执行效率。分析其伪代码实现可知插入数据依赖查找其待插入位置所以每次插入的时间复杂度和查找的时间复杂度相同也为 l o g n log n logn。 因为Java语言无法使用指针这里给出基于Java语言的的二叉排序树插入实现时假定待插入数据一定不存在
public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {if(root null) {return new TreeNode(val);}if(root.val val) {root.left insertIntoBST(root.left, val);} else {root.right insertIntoBST(root.right, val);}return root;
}更多二叉树插入的实现可以参考力扣。
二叉排序树的删除
对于一般的二叉树来说删除树中的一个结点是没有意义的。因为这将使被删除结点为根的子树成为森林破坏了整棵树的结构。然而对于二叉排序树来说删去树上一个结点相当于删去有序序列中的一个记录只要在删除某个结点之后依旧保持二叉排序树的性质即可。 那么如何在二叉排序树上删去一个结点呢假设在二叉排序树上被删除结点为*p(指向结点的指针为p)其双亲结点为*f(结点指针为f)且不失一般性可设的左孩子。那么可以分以下三种情况进行讨论 (1) 若*p结点为叶子节点即 P L P_L PL和 P R P_R PR均为空树。由于删除叶子结点不破坏整棵树的结构则只需修改其双亲结点的指针即可。 (2) 若*p结点只有左子树 P L P_L PL或者只有右子树 P R P_R PR此时只要令 P L P_L PL或者 P R P_R PR直接成为其双亲结点*f的左子树即可。显然作此修改也不破坏二叉排序树的性质。 (3) 若*p结点的左子树和右子树均不空此时不能如上简单处理。在删去*p之后为保持其他元素之间的相对位置不变可以有两种做法其一是令*p的左子树为*f的左子树而*p的右子树为其直接前驱或直接后继的右子树。其二是令*p的直接前驱(或直接后继)替代*p然后从二叉排序树中删去那个直接前驱(或直接后继)。 其删除算法如下所示
Status DeleteBST(BiTree T, KeyType key) {// 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时则删除该数据元素节点// 并返回TRUE否则返回FALSEif(!T) { return FALSE;}if(EQ(key, T-data.key)) {return Delete(T);} else if(LT(key, T-data.key)) {return DeleteBST(T-lchild, key);} else {return DeleteBST(T-rchild, key);}
}Status Delete(BiTree p) {// 从二叉排序树中删除结点p并重接它的左子树或右子树if(!p-rchild) { // 右子树为空则只需重接其左子树q p;p p-lchild;free(q);} else if(!p-lchild) { // 左子树为空则只需重接其右子树q p;p p-rchild;free(q);} else { // 左子树和右子树均不为空q p;s p - lchild;while(s-rchild) { // 转左然后向右到尽头q s;s s-rchild;}p-data s- data; // s指向被删除结点的前驱if(q ! p) { // 重接*q的右子树q-rchild s-lchild;}else { // 重接*q的左子树q-lchild s-lchild;}delete s;}return TRUE;
}接下来考虑该算法的执行效率。分析其伪代码实现可知删除数据前需要先查找到待删除结点然后移动相关结点所以每次删除的时间复杂度和查找的时间复杂度相同也为 l o g n log n logn。 这里给出基于Java语言的的二叉排序树删除实现
public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {if(root null) {return null;}if(root.val key) {root delete(root);}else if(root.val key) {root.left deleteNode(root.left, key);} else {root.right deleteNode(root.right, key);}return root;
}private TreeNode delete(TreeNode root) {if (root.left null root.right null) {return null;}if (root.right null) {return root.left;}if (root.left null) {return root.right;}TreeNode successor root.right;while (successor.left ! null) {successor successor.left;}root.right deleteNode(root.right, successor.val);successor.right root.right;successor.left root.left;return successor;
}更多二叉树删除的实现可以参考力扣。
参考
《数据结构》 严蔚敏 吴伟民 著 9.2.1 二叉排序树和平衡二叉树 https://blog.csdn.net/L_T_W_Y/article/details/108407686 数据结构——二叉搜索树详解 https://leetcode.cn/tag/binary-search-tree/problemset/ 二叉搜索树 https://leetcode.cn/problems/search-in-a-binary-search-tree/description/ 700. 二叉搜索树中的搜索 https://leetcode.cn/problems/insert-into-a-binary-search-tree/description/ 701. 二叉搜索树中的插入操作 https://leetcode.cn/problems/delete-node-in-a-bst/description/ 450. 删除二叉搜索树中的节点 https://blog.csdn.net/COCO56/article/details/96971844 markdown 数学公式 累加、连乘与乘号的代码 https://blog.csdn.net/qq_43444349/article/details/105400052 全面整理Typora的Latex数学公式语法
