做网站最基础需要什么条件,开发网站公司交税,网站风格变化,对网站建设展望前置知识#xff1a;有理函数的不定积分
习题
计算 ∫ x 3 1 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x d x \int \dfrac{x^31}{x^4-3x^33x^2-x}dx ∫x4−3x33x2−xx31dx
解#xff1a; \qquad 将被积函数的分母因式分解得 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x x ( x − 1 ) 3 x^4-3x^33x^2-xx…前置知识有理函数的不定积分
习题
计算 ∫ x 3 1 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x d x \int \dfrac{x^31}{x^4-3x^33x^2-x}dx ∫x4−3x33x2−xx31dx
解 \qquad 将被积函数的分母因式分解得 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x x ( x − 1 ) 3 x^4-3x^33x^2-xx(x-1)^3 x4−3x33x2−xx(x−1)3
设被积函数有分解式 x 3 1 x 4 − 3 x 3 3 x 2 − x A x B x − 1 C ( x − 1 ) 2 D ( x − 1 ) 3 \dfrac{x^31}{x^4-3x^33x^2-x}\dfrac Ax\dfrac{B}{x-1}\dfrac{C}{(x-1)^2}\dfrac{D}{(x-1)^3} x4−3x33x2−xx31xAx−1B(x−1)2C(x−1)3D
将上式右端通分合并分母相等分子也应相等得 x 3 1 ( A B ) x 3 ( − 3 A − 2 B C ) x 2 ( 3 A B − C D ) x − A x^31(AB)x^3(-3A-2BC)x^2(3AB-CD)x-A x31(AB)x3(−3A−2BC)x2(3AB−CD)x−A
可列方程组 { A B 1 − 3 A − 2 B C 0 3 A B − C D 0 − A 1 \begin{cases} AB1 \\ -3A-2BC0 \\ 3AB-CD0 \\ -A1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧AB1−3A−2BC03AB−CD0−A1
解得 { A − 1 B 2 C 1 D 2 \begin{cases} A-1 \\ B2 \\ C1 \\ D2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧A−1B2C1D2
所以 \qquad 原式 − ∫ 1 x d x 2 ∫ 1 x − 1 d x ∫ 1 ( x − 1 ) 2 d x 2 ∫ 1 ( x − 1 ) 3 d x -\int \dfrac 1xdx2\int \dfrac{1}{x-1}dx\int \dfrac{1}{(x-1)^2}dx2\int \dfrac{1}{(x-1)^3}dx −∫x1dx2∫x−11dx∫(x−1)21dx2∫(x−1)31dx − ln ∣ x ∣ 2 ln ∣ x − 1 ∣ − 1 x − 1 − 1 ( x − 1 ) 2 C \qquad\qquad -\ln|x|2\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2}C −ln∣x∣2ln∣x−1∣−x−11−(x−1)21C
