个人备案网站可以做淘宝客,sdcms网站源码,淄博网站建设选择臻动传媒,域名备案服务#x1f495;我们好像在池塘的水底#xff0c;从一个月亮走向另一个月亮。#x1f495; 作者#xff1a;Mylvzi 文章主要内容#xff1a;算法系列–动态规划–⼦数组、⼦串系列#xff08;数组中连续的⼀段#xff09;(1) 大家好,今天为大家带来的是算法系… 我们好像在池塘的水底从一个月亮走向另一个月亮。 作者Mylvzi 文章主要内容算法系列–动态规划–⼦数组、⼦串系列数组中连续的⼀段(1) 大家好,今天为大家带来的是算法系列--动态规划--⼦数组、⼦串系列数组中连续的⼀段(1),这是动态规划新的一种题型 1.最⼤⼦数组和
链接: https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/ 分析:
动态规划的子数组问题和前缀和问题是不一样的,
子数组和这道题要求的是子数组和的最大值,我们的状态表示就是记录以i位置为结束的所有子数组的最大和,而前缀和只是一种快速求出区间和的方法,并没有表示最大和这种状态
关于求最大子数组和问题这道题,要注意状态表示的含义以i位置为结尾的所有子数组的最大和,也就是必须以i位置为结尾,那么此时的状态其实只有两种:
单独一个前面的一堆 它本身
网上的很多推到状态方程的时候其实很容易让人误解,解释的也不清楚,他们进行状态的分类是根据dp[i - 1]的正负来推导dp[i]的,有的人可能想为什么不判断nums[i]的正负呢?
其实本质都一样,笔者觉得单纯通过形式来推到方程更容易理解一些
子串/子数组问题的一个经验的状态分类就是按照长度分类的,因为他们的状态表示都比较固定,都是以i位置为结束的最大xxxx
有的题目还比较恶心(尤其是关于子串的问题),对于相同的子串有时候还需要去重,就需要额外开一个数组来统计次数
本题的分析思路:
代码:
class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int n nums.length;int dp 0;int max -0x3f3f3f3f;// 将最大/小值设置为-ox3f3f3f3f是一种经验for(int num : nums) {dp Math.max(num,dp num);// 填表max Math.max(max,dp);// 更新最值}return max;}
}2.环形⼦数组的最⼤和
链接: https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-circular-subarray/description/ 分析:
本题是上题的一个变种,这里带环了,对于带环的问题,我们最常用的一个做法是想办法将其转化为线性的,对于本题我们可以采用分类讨论的思想
根据什么区分类讨论呢?往往是根据最后结果可能出现的形式去考虑,对于本题,最长的子数组和可能是两种情况
不带环,在区间内部带环,跨越区间
对于情况1,就是最大子数组和的解法,对于情况2,可以转化为求区间内的最小值,那么最大值就是sum - min,最后返回情况1和情况2的最大值即可
下面是详细分析过程 代码:
class Solution {public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {// 创建dp表int n nums.length;if(n 1) return nums[0];int[] f new int[n];int[] g new int[n];// 初始化f[0] g[0] nums[0];int max -0x3f3f3f3f;int min 0x3f3f3f3f;int sum nums[0];// 填表for(int i 1; i n; i) {f[i] Math.max(nums[i],f[i - 1] nums[i]);g[i] Math.min(nums[i],g[i - 1] nums[i]);max Math.max(max,f[i]);min Math.min(min,g[i]);sum nums[i];}// 返回值return sum min ? max : Math.max(max,sum - min);}
}3.乘积最⼤⼦数组
链接: https://leetcode.cn/problems/maximum-product-subarray/ 分析:
首先想到的状态表示就是以i位置为结尾子数组的最大乘积,但是根据这个状态表示去推到状态转移方程时发现只使用一个dp表无法表示所有的情况
当nums[i] 0,i位置的状态就是前一个位置的最大乘积 * nums[i]当nums[i] 0,此时无法通过dp[i - 1]来推到dp[i],因为一个负数 * 较大的数一定会变小,那么dp[i]存储的就是以i位置为结尾的子数组的最小乘积,这与我们的状态表示是矛盾的
既然当nums[i] 0时,需要乘的是以i-1位置为结尾的子数组的最小乘积,那么我们就创建出一个dp表g[i]来表示最小乘积,以下是详细分析过程:
代码:
class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {// 创建dp表int n nums.length;int[] f new int[n];int[] g new int[n];// 初始化f[0] g[0] nums[0];int max f[0];// 填表for(int i 1; i n; i) {int t1 0, t2 0;if(nums[i] 0) {f[i] f[i - 1] * nums[i];g[i] g[i - 1] * nums[i];}else {f[i] g[i - 1] * nums[i];g[i] f[i - 1] * nums[i];}f[i] Math.max(nums[i],f[i]);g[i] Math.min(nums[i],g[i]);max Math.max(f[i],max);}return max;}
}4.乘积为正数的最⻓⼦数组
链接: https://leetcode.cn/problems/maximum-length-of-subarray-with-positive-product/description/ 分析:
本题相较于上题有两个不同:
本题要求乘积必须为正数本题求解的不是最大的乘积,而是乘积为正数的最长子数组
和上题一样,本题同样需要使用两个dp表来进行状态表示
f[i]:以i位置为结尾,乘积为正数的最大子数组长度g[i]:以i位置为结尾,乘积为负数的最大子数组长度
状态转移方程推导如下: 注意特殊情况:
当n[i] 0时,f[i] g[i - 1] 1,但是如果i位置之前全是正数,此时g[i - 1] 0,那么f[i] 0 1 1了,但是因为n[i] 0,i位置的f[i]应该等于 0,因为所有的以i位置为结尾的子数组的乘积必然为负数
代码:
class Solution {public int getMaxLen(int[] nums) {int n nums.length;// 1.创建dp表int[] f new int[n];int[] g new int[n];// 2.根据状态表示进行初始化f[0] nums[0] 0 ? 1 : 0;g[0] nums[0] 0 ? 1 : 0;int max -0x3f3f3f3f;// 3.填表for(int i 1; i n; i) {if(nums[i] 0) {f[i] f[i - 1] 1;g[i] g[i - 1] 0 ? 0 : g[i - 1] 1;}else if(nums[i] 0){f[i] g[i - 1] 0 ? 0 : g[i - 1] 1;g[i] f[i - 1] 1;}else {f[i] g[i] 0;// 注意等于0相当于直接截断 要重新计数 从0开始}max Math.max(f[i],max);// 更新长度}// 处理n 1的情况return max -0x3f3f3f3f ? f[0] : max;}
}总结:
子数组问题最常用的一种状态表示就是以i位置为结尾的xxxx在推导状态转移方程时,往往是根据组成子数组的形态来分类讨论(单独一个还是和前面一堆组成子数组)
