世界做火的游戏视频网站,自己造网站,做专业慢摇的网站,阜南县建设局网站文章目录 引言一、向量的概念与运算1.1 基本概念1.2 向量运算的性质 二、向量组的相关性与线性表示2.1 理论背景2.2 相关性与线性表示基本概念2.3 向量组相关性与线性表示的性质 引言
向量是线性代数的重点和难点。向量是矩阵#xff0c;同时矩阵又是由向量构成的#xff0c… 文章目录 引言一、向量的概念与运算1.1 基本概念1.2 向量运算的性质 二、向量组的相关性与线性表示2.1 理论背景2.2 相关性与线性表示基本概念2.3 向量组相关性与线性表示的性质 引言
向量是线性代数的重点和难点。向量是矩阵同时矩阵又是由向量构成的向量组与矩阵的关系非常紧密。 一、向量的概念与运算
1.1 基本概念
向量——既有大小长度又有方向的量称为向量 ( a 1 , a 2 , … , a n ) T , ( a 1 , a 2 , … , a n ) (a_1,a_2,\dots,a_n)^T,(a_1,a_2,\dots,a_n) (a1,a2,…,an)T,(a1,a2,…,an) 分别称为 n n n 维列向量和 n n n 维行向量其中 a i a_i ai 称为向量的 n n n 个分量一般情况下我们所指的向量为列向量。
向量的模——设向量 α ( a 1 , a 2 , … , a n ) T \alpha(a_1,a_2,\dots,a_n)^T α(a1,a2,…,an)T 称 a 1 2 a 2 2 ⋯ a n 2 \sqrt{a_1^2a_2^2\dotsa_n^2} a12a22⋯an2 为向量 α \alpha α 的模或长度记为 ∣ α ∣ . |\alpha|. ∣α∣.
向量的单位化——设向量 α ( a 1 , a 2 , … , a n ) T \alpha(a_1,a_2,\dots,a_n)^T α(a1,a2,…,an)T 为非零向量与向量 α \alpha α 方向相同且长度为 1 的向量称为 α \alpha α 对应的单位向量令 α 0 1 ∣ α ∣ α , \alpha^0\frac{1}{|\alpha|}\alpha, α0∣α∣1α, 则称 α 0 \alpha^0 α0 为向量 α \alpha α 的单位化向量。
向量的三则运算——加、减、与一个常数相乘。
向量的内积——设向量 α ( a 1 , a 2 , … , a n ) T \alpha(a_1,a_2,\dots,a_n)^T α(a1,a2,…,an)T 设向量 β ( b 1 , b 2 , … , b n ) T \beta(b_1,b_2,\dots,b_n)^T β(b1,b2,…,bn)T 称 a 1 b 1 a 2 b 2 ⋯ a n b n a_1b_1a_2b_2\dotsa_nb_n a1b1a2b2⋯anbn 为向量 α , β \alpha ,\beta α,β 的内积记为 ( α , β ) . (\alpha,\beta). (α,β).
1.2 向量运算的性质
一三则运算的性质 二向量内积运算的性质 ( α , β ) ( β , α ) α T β β T α . (\alpha,\beta)(\beta,\alpha)\alpha^T\beta\beta^T\alpha. (α,β)(β,α)αTββTα. ( α , α ) α T α ∣ α ∣ 2 , (\alpha,\alpha)\alpha^T\alpha|\alpha|^2, (α,α)αTα∣α∣2, 且 ( α , α ) 0 (\alpha,\alpha)0 (α,α)0 的充要条件为 α 0. \alpha0. α0. ( a , k 1 β 1 k 2 β 2 ⋯ k n β n ) k 1 ( α , β 1 ) k 2 ( α 2 , β 2 ) ⋯ k n ( α , β n ) . (a,k_1\beta_1k_2\beta_2\dotsk_n\beta_n)k_1(\alpha,\beta_1)k_2(\alpha_2,\beta_2)\dotsk_n(\alpha,\beta_n). (a,k1β1k2β2⋯knβn)k1(α,β1)k2(α2,β2)⋯kn(α,βn).若 ( α , β ) 0 (\alpha,\beta)0 (α,β)0 即 a 1 b 1 a 2 b 2 ⋯ a n b n 0 a_1b_1a_2b_2\dotsa_nb_n0 a1b1a2b2⋯anbn0 称 α , β \alpha,\beta α,β 正交记为 α ⊥ β \alpha \bot \beta α⊥β 特别地零向量与任何向量正交。 二、向量组的相关性与线性表示
2.1 理论背景
对于齐次线性方程组 以及非齐次线性方程组 令 α 1 ( a 11 , a 21 , … , a m 1 ) T , α 2 ( a 12 , a 22 , … , a m 2 ) T , … , α n ( a 1 n , a 2 n , … , a m n ) T , b ( b 1 , b 2 , … , b m ) T \alpha_1(a_{11},a_{21},\dots,a_{m1})^T,\alpha_2(a_{12},a_{22},\dots,a_{m2})^T,\dots,\alpha_n(a_{1n},a_{2n},\dots,a_{mn})^T,b(b_{1},b_{2},\dots,b_{m})^T α1(a11,a21,…,am1)T,α2(a12,a22,…,am2)T,…,αn(a1n,a2n,…,amn)T,b(b1,b2,…,bm)T 则方程组III可表示为如下向量形式 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n 0 I x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_n0 I x1α1x2α2⋯xnαn0I x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n b I I x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_nb II x1α1x2α2⋯xnαnbII 1设 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 为向量组称 k 1 α 1 k 2 α 2 ⋯ k n α n k_1\alpha_1k_2\alpha_2\dotsk_n\alpha_n k1α1k2α2⋯knαn 为向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 的线性组合。 2设 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 为向量组 b b b 为一个向量若存在一组数 k 1 , k 2 , … , k n k_1,k_2,\dots,k_n k1,k2,…,kn 使得 b k 1 α 1 k 2 α 2 ⋯ k n α n bk_1\alpha_1k_2\alpha_2\dotsk_n\alpha_n bk1α1k2α2⋯knαn 称向量 b b b 可由向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 线性表示。 2.2 相关性与线性表示基本概念
一相关性
对齐次线性方程组 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n 0 ∗ x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_n0* x1α1x2α2⋯xnαn0∗ 1若方程组*只有零解则向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 线性无关。
2若方程组*有非零解即存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , … , k n k_1,k_2,\dots,k_n k1,k2,…,kn 使得 k 1 α 1 k 2 α 2 ⋯ k n α n 0 , k_1\alpha_1k_2\alpha_2\dotsk_n\alpha_n0, k1α1k2α2⋯knαn0, 称向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 线性相关。
二线性表示
对非齐次线性方程组 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n b ∗ ∗ x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_nb ** x1α1x2α2⋯xnαnb∗∗ 1若方程组**有解即存在常数 k 1 , k 2 , … , k n k_1,k_2,\dots,k_n k1,k2,…,kn 使得 b k 1 α 1 k 2 α 2 ⋯ k n α n bk_1\alpha_1k_2\alpha_2\dotsk_n\alpha_n bk1α1k2α2⋯knαn 称向量 b b b 可由向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 线性表示。
2若方程组**无解称向量 b b b 不可由向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn 线性表示。
2.3 向量组相关性与线性表示的性质
这一块内容多放在下一篇文章。
