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对于一般的问题形式该如何从原和速率最大化问题转化到均方误差最小化问题呢 原论文的描述
An Iteratively Weighted MMSE Approach to Distributed Sum-Utility Maximization for a MIMO Interfering Broadcast Channel 等待有时间补充
WMMSE的简单应用 原beamforming优化问题
基于上述模型我们研究了近场多用户通信考虑当不同用户共享相似方向但距基站距离不同时实现可靠通信的可能性。这里的目的是设计传输波束图案以最大化可实现的总速率反映每个通道使用可以可靠地传送的总比特数。基于不同的天线架构对于给定的发射功率约束 P m a x 0 P_{max} 0 Pmax0感兴趣的任务可以写为 max { w ~ m } ∑ m 1 M R m ( { w ~ j } j ∈ M ) s.t. ∑ m 1 M ∥ w ~ m ∥ 2 ≤ P max , { w ~ m } ∈ W , (14) \begin{array}{l} \max _{\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}} \sum_{m1}^{M} R_{m}\left(\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{j}\right\}_{j \in \mathcal{M}}\right) \\ \text { s.t. } \sum_{m1}^{M}\left\|\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\|^{2} \leq P_{\max }, \quad\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\} \in \mathcal{W}, \end{array} \tag{14} max{w~m}∑m1MRm({w~j}j∈M) s.t. ∑m1M∥w~m∥2≤Pmax,{w~m}∈W,(14) 其中 R m ( { w ~ j } j ∈ M ) log 2 ( 1 ∣ a m H w ~ m ∣ 2 ∑ j ≠ m a m H w ~ j ∣ 2 σ 2 ) R_{m}\left(\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{j}\right\}_{j \in \mathcal{M}}\right)\log _{2}\left(1\frac{\left|\mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{m}\right|^{2}}{\left.\sum_{j \neq m} \mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{j}\right|^{2}\sigma^{2}}\right) Rm({w~j}j∈M)log2 1∑jmamHw~j 2σ2 amHw~m 2 优化问题求解
对于全数字波束聚焦设计可行的预编码集 W F D \mathcal{W}_{FD} WFD是无约束的并且包括 C N \mathbb{C}^N CN中 M M M个向量的所有组合。对于单用户情况即 M 1 M 1 M1通过设置 w ~ 1 P max a 1 ∣ a 1 ∣ \tilde{\mathbf{w}}_{1} \sqrt{P_{\max }} \frac{\mathbf{a}_{1}}{\left|\mathbf{a}_{1}\right|} w~1Pmax ∣a1∣a1来最大化 (14) 中的速率。 。然而对于 M 1 M1 M1的一般情况问题(14)是非凸的因此很难找到最优解。然而由于14与远场操作的干扰广播信道的相应和速率最大化之间的相似性人们可以利用针对远场系统导出的工具。一种候选策略是使用加权和均方误差W(S)MMSE最小化方法[35]来处理问题14这保证了收敛到驻点。
通过利用总速率最大化和 MSE 最小化之间的关系 [WMMSE 35Thm 1]我们有以下引理。
引理 1 W W F D \mathcal{W} \mathcal{W}_{FD} WWFD 的问题 (14) 等价于以下问题在具有相同全局最优的意义上 max { w ~ m , u m , v m } ∑ m 1 M log 2 ( v m ) − v m e m ( u m , { w ~ m } ) s.t. ∑ m 1 M ∥ w ~ m ∥ 2 ≤ P max , v m ≥ 0 , m ∈ M , (17) \begin{aligned} \max _{\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}, u_{m}, v_{m}\right\}} \sum_{m1}^{M} \log _{2}\left(v_{m}\right)-v_{m} e_{m}\left(u_{m},\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}\right) \\ \text { s.t. } \sum_{m1}^{M}\left\|\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\|^{2} \leq P_{\max }, \quad v_{m} \geq 0, m \in \mathcal{M}, \end{aligned} \tag{17} {w~m,um,vm}max s.t. m1∑Mlog2(vm)−vmem(um,{w~m})m1∑M∥w~m∥2≤Pmax,vm≥0,m∈M,(17)
where u m u_{m} um and v m v_{m} vm are auxiliary variables, and e m ( u m , { w ~ m } ) e_{m}\left(u_{m}\right. , \left.\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}\right) em(um,{w~m}) is given by e m ( u m , { w ~ m } ) ∣ 1 − u m a m H w ~ m ∣ 2 ∑ j ≠ m ∣ u m a m H w ~ j ∣ 2 σ 2 ∣ u m ∣ 2 e_{m}\left(u_{m},\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}\right)\left|1-u_{m} \mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{m}\right|^{2} \sum_{j \neq m}\left|u_{m} \mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{j}\right|^{2}\sigma^{2}\left|u_{m}\right|^{2} em(um,{w~m}) 1−umamHw~m 2∑jm umamHw~j 2σ2∣um∣2 .
虽然问题17比问题14涉及更多的优化变量但当其余两组固定时每组优化变量都是凹的。因此可以应用块坐标下降法来求解17得到总结为算法1的过程该过程基于[35Sec.3]中提出的方法。 算法1中步骤4中的参数λp是与基站发射功率约束相关的拉格朗日乘数。 λp 的选择可以通过超参数优化方案来设置例如使用二分法[27]、[35]。算法 1 忽略了通信发生在近场的事实因为该属性仅封装在等效信道向量 {am} 中。尽管如此正如我们在第四节中以数字方式展示的这种优化方法以总速率为目标并没有明确考虑最终的波束图案它产生聚焦波束允许多个用户在居住时以最小的交叉干扰共存。相同的角度方向。
