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带权并查集
引言#xff1a; 带权并查集是一种进阶的并查集#xff0c;通常#xff0c;结点i的权值等于结点i到根节点的距离#xff0c;对于带权并查集#xff0c;有两种操作需要掌握——Merge与Find#xff0c;涉及到路径压缩与维护权值等技巧。
带…
题解
带权并查集
引言 带权并查集是一种进阶的并查集通常结点i的权值等于结点i到根节点的距离对于带权并查集有两种操作需要掌握——Merge与Find涉及到路径压缩与维护权值等技巧。
带权并查集的数据结构 使用顺序存储结构定义结构体数组其中a[i]的root代表节点 i 的根节点编号weight代表它与root号节点之间的距离也就是权值。 struct node {int root;ll weight;node() :root(0), weight(0) {}
}a[100005];Find函数权值合并 首先在执行整个并查集算法之前需要首先初始化每一个结点的根节点编号为它本身意思就是说每一个结点在初始状态时都被视为一颗单独的并查集树即 for (int i 1; i n; i) {a[i].root i;
}当我们想要去查询一个节点的根节点时调用find函数 传入想要查询的结点编号x 返回 第x号结点的根节点编号 //路径压缩权值合并
int find(int x) {if (x ! a[x].root) {//更新x的根节点int tmp a[x].root;a[x].root find(a[x].root);a[x].weight a[tmp].weight;}return a[x].root;
}在函数体内 当结点x的root值为它自己时即 x a[x].root 时直接返回a[x].root否则递归查找它根节点的根节点在递归之前使用tmp暂存x当前的根节点编号。这是由于在查找的过程中我们使用了路径压缩的技巧使a[x].root被赋值为find函数的返回值但是在后续的计算中我们又需要使用到这个旧的a[x].root值。在路径压缩的同时我们必须要维护权值a[x].weight使其始终等于x号结点到a[x].root号结点的距离。在路径压缩之前a[x].weight存储的是x到旧的root的距离但root发生更改后此时新的权值a[x].weight应该修改为dist(新root,旧root) dist(旧rootx)才能符合权值的定义dis(新root, 旧root)将会被递归计算出来而dis(旧root, x)正是a[x].weight现在存储的值因此我们必须要记下旧root的编号才能找到旧root的位置这也就是tmp发挥的作用。
合并
当我们得到了两个结点之间的距离并且想要将这两个结点合并按照并查集的思想应当先找到他们各自的根节点然后再将两颗树合并。然而我们现在所获取的信息并不是根节点的信息因此我们需要对已知的信息做一个转化 假设我们现在得到的新的信息是第l-1个节点到第r个节点的距离为w设第l-1个节点的根节点编号为x第r个节点的根节点编号为y。 首先我们通过find(l−1)find(l - 1)find(l−1)和find(r)find(r)find(r)获得x与y的值经过find函数内部的权值维护之后此时a[l-1].weight和a[r].weight已经分别被修改为l-1到x和r到y的距离了设它们分别为w1和w2. 通过上图其实我们很容易就能看出x到y的距离为:ww2−w1ww_2-w1ww2−w1 在这我们只需要算出x到y的距离就好了在后续调用find函数执行路径压缩和权值合并时将会处理掉它因此我们合并的操作就是 int l, r, w;
l read(), r read(), w read();
//x为l-1的根节点y为r的根节点
int x find(l - 1), y find(r);
//若l-1与r的根节点不相同
if (x ! y) {//将结点x并入y的子树a[x].root y;//根据向量的思想计算a[x].weight w a[r].weight - a[l - 1].weight;
}查询
写到这里这个题目已经接近尾声。此处再次强调a[i].weight的意义是从第i个节点到第a[i].root个节点的距离接下来要用的 当我们维护好了一颗带权并查集树之后那我们查询区间和就只有两种情况
设区间左端点为l右端点为r则 当l与r的根不相同时则无法查询出l到r的区间和。当l与r的根相同时则有s[l..r]a[l−1].weight−a[r].weights[l.. r]a[l-1].weight-a[r].weights[l..r]a[l−1].weight−a[r].weight以图形的方式表达蓝色部分即为所求的区间和
完整代码
#include iostream
#include cmath
#include algorithm
#define ll long long
using namespace std;
ll n, m, q;//带权并查集结点
struct node {int root;ll weight;node() :root(0), weight(0) {}
}a[100005];
//快读
int read() {char ch getchar(); int res 0;while (ch 0 || ch9) {ch getchar();}while (!(ch 0 || ch9)) {res res * 10 (ch - 0);ch getchar();}return res;
}
//快写
void print(ll x) {if (x 9) {print(x / 10);}putchar(x % 10 0);
}//路径压缩权值合并
int find(int x) {if (x ! a[x].root) {//更新x的根节点int tmp a[x].root;a[x].root find(a[x].root);a[x].weight a[tmp].weight;}return a[x].root;
}int main()
{cin n m q;for (int i 1; i n; i) {a[i].root i;}for (int i 1; i m; i) {int l, r, w;l read(), r read(), w read();//x为l-1的根节点y为r的根节点int x find(l - 1), y find(r);//若l-1与r的根节点不相同if (x ! y) {//将结点x并入y的子树a[x].root y;//根据向量的思想计算a[x].weight w a[r].weight - a[l - 1].weight;}}for (int i 1; i q; i) {int l, r; cin l r;if (find(l - 1) ! find(r)) {puts(UNKNOWN);}else {print(a[l - 1].weight - a[r].weight);putchar(\n);}}return 0;
}
