教育类网站开发需求说明书,新郑网络推广公司,台州网站建设哪家便宜,自己怎样推广呢文章目录 前言一、极大线性无关组二、向量空间的基三、向量维数与向量空间维数总结 前言
上一篇中我们介绍了向量空间的概念#xff0c;并且学习了对任意给出的一组向量#xff0c;如果构造一个向量空间。本文将更加细致的去分析张成一个向量空间#xff0c;具有哪些性质。… 文章目录 前言一、极大线性无关组二、向量空间的基三、向量维数与向量空间维数总结 前言
上一篇中我们介绍了向量空间的概念并且学习了对任意给出的一组向量如果构造一个向量空间。本文将更加细致的去分析张成一个向量空间具有哪些性质。并且简要讨论向量空间的基。 一、极大线性无关组
首先我们再研究一下由向量组构造出向量空间的过程。也就是对该向量组做任意系数的线性组合。说到线性组合我们就会想到之前学过的一个概念——线性相关。 若一组向量 x 1 , x 2 , . . . x n \bm{x}_1,\bm{x}_2,...\bm{x}_n x1,x2,...xn线性相关则存在一组不全为0的系数使得 a 1 x 1 a 2 x 2 。。。 a n x n 0 a_1\bm{x}_1a_2\bm{x}_2。。。a_n\bm{x}_n0 a1x1a2x2。。。anxn0 不全为0则说明至少一个为0而如果该组向量中没有零向量则至少得有两个系数不为0。可见线性相关说明了这一组向量中有一些向量可以被另一些向量所线性表示只要把他们放在等号两边就行了0向量可以被任意向量线性表示。
而构造向量空间的过程就是做线性组合即张成。因此如果我们先对目标向量组做一个“过滤”把所有已经可以被向量组中其他向量线性表示的向量删除剩下的皆为线性无关的向量时我们称剩下的向量构成原向量组的极大线性无关组用这个所谓的极大线性无关组为基础做线性组合得到的张成的向量空间与原本的是完全一致的。
需要补充一点极大线性无关组并不一定是唯一的但是其中向量的个数一定是唯一的。例如在向量组 { [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] , [ 1 , 1 , 0 ] } \{[1,0,0],[0,1,0],[1,1,0]\} {[1,0,0],[0,1,0],[1,1,0]}中第三个向量可以被前两个向量线性表示因此该向量组的极大线性无关组为 { [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] } \{[1,0,0],[0,1,0]\} {[1,0,0],[0,1,0]}。同样 { [ 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 1 , 0 ] } \{[1,0,0],[1,1,0]\} {[1,0,0],[1,1,0]}也可以构成一个极大线性无关组因此原向量组张成的线性空间中的任意向量也均可以被该线性无关组线性表示。
二、向量空间的基
在高中学习向量的时候其实我们已经学习过向量的基的概念了即一组可以表示任意向量的向量即可作为该空间的基底。现在这个概念也是类似的但是又有些许不同。
在高中数学中我们学习的向量空间局限于 R 2 R^2 R2 R 3 R^3 R3这种标准的向量空间我们知道二维平面的基底有两个向量三维空间的基底要三个向量。那么回到上面所举例子由 { [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] , [ 1 , 1 , 0 ] } \{[1,0,0],[0,1,0],[1,1,0]\} {[1,0,0],[0,1,0],[1,1,0]}所张成的向量空间他们的基需要多少个向量
由上述的极大线性无关组的概念我们知道只需要前两个向量即可张成该空间而该向量空间中的任意向量均可由它们线性表示。这也就满足了向量空间的基的条件。因此这个向量空间的基就是 { [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] } \{[1,0,0],[0,1,0]\} {[1,0,0],[0,1,0]}。虽然这个空间中的向量都是三维向量属于 R 3 R^3 R3但是由这个向量组张成的空间是个二维空间——向量空间的维度等于张成该空间所需的基向量的个数
三、向量维数与向量空间维数
再扩展一些由上述例子我们可以猜想在 R n R^n Rn空间中我们可以找到 m m m m ⩽ n m\leqslant n m⩽n个线性无关的向量用来张成一个m维空间。
这个猜想很容易验证因为 R m R^m Rm空间中可以找到一组基来张成该空间只需要对该组基进行向量维度扩充即可得到 m m m个线性无关的 n n n维向量满足上述猜想条件。
但是我们无法在 R n R^n Rn找到 m m m m n m n mn个线性无关的向量来张成一个维数大于 n n n的向量空间。这个同样容易验证假设我们找到了这样的 m m m个线性无关的向量那么我们任意取其中 n n n个向量那么该 n n n向量可以表示 R n R^n Rn中的任意向量这与 m m m个线性无关向量这一条件矛盾。因此假设不成立。 总结
本文基于上文介绍的向量空间的概念进一步介绍了极大线性无关组向量空间的基已经向量空间的维数与向量维数的关系。p.s. 极大线性无关组是一个针对向量组的概念而一组基向量是针对向量空间的概念这一点要区分清楚。
