户县规划建设和住房保障局网站,快速建站公司地址,刚做的网站搜全名查不到,保定做网站多钱文章目录 引言四、线性方程组的通解4.1 齐次线性方程组4.2 非齐次线性方程组 五、方程组解的理论延伸 引言
承接前文#xff0c;继续学习线性方程组的内容#xff0c;从方程组的通解开始。 四、线性方程组的通解
4.1 齐次线性方程组
#xff08;1#xff09;基础解系 —… 文章目录 引言四、线性方程组的通解4.1 齐次线性方程组4.2 非齐次线性方程组 五、方程组解的理论延伸 引言
承接前文继续学习线性方程组的内容从方程组的通解开始。 四、线性方程组的通解
4.1 齐次线性方程组
1基础解系 —— 设 r ( A ) r n r(A)rn r(A)rn 则 A X 0 \pmb{AX0} AX0 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的一个基础解系。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个数为 ( n − r ) (n-r) (n−r) 个。 因为是 r ( A ) n r(A)n r(A)n 呢因为如果 r ( A ) n r(A)n r(A)n 的话那齐次方程就只有零解了也没什么好讨论的。 求齐次线性方程组的基础解系时把其系数矩阵通过初等行变换进行阶梯化系数矩阵进行初等行变换相当于方程组的同解变形每行第一个非零元素所在的列对应的未知数是约束变量其余变量是自由变量从而可以确定基础解系最好把每行第一个非零元素化为 1 且其所在的列其余元素都化为零。
举个例子假设方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的系数矩阵 A \pmb{A} A 经过初等行变换可以化为如下形式 则 r ( A ) 3 5 r(A)35 r(A)35 方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的基础解系中含有 n − r 5 − 3 2 n-r5-32 n−r5−32 个解向量其中 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3 为约束变量 x 4 , x 5 x_4,x_5 x4,x5 为自由变量 ( x 4 , x 5 ) (x_4,x_5) (x4,x5) 分别取 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0) 和 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 则基础解系为 ξ 1 ( − 2 , 1 , − 3 , 1 , 0 ) T , ξ 2 ( 3 , − 4 , 2 , 0 , 1 ) T . \xi_1(-2,1,-3,1,0)^T,\xi_2(3,-4,2,0,1)^T. ξ1(−2,1,−3,1,0)T,ξ2(3,−4,2,0,1)T. 2通解 —— 设 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r \xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r} ξ1,ξ2,…,ξn−r 为齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的一个基础解系称 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 ⋯ k n − r ξ n − r k_1\xi_1k_2\xi_2\dotsk_{n-r}\xi_{n-r} k1ξ1k2ξ2⋯kn−rξn−r 为齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的通解其中 k 1 , k 2 , … , k n − r k_1,k_2,\dots,k_{n-r} k1,k2,…,kn−r 为任意常数。
4.2 非齐次线性方程组
设 r ( A ) r ( A ‾ ) n r(A)r(\overline{A})n r(A)r(A)n 且 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r \xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r} ξ1,ξ2,…,ξn−r 为 A X b \pmb{AXb} AXb 的导出方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的一个基础解系 η 0 \pmb{\eta_0} η0 为 A X b \pmb{AXb} AXb 的一个解则 A X b \pmb{AXb} AXb 的通解为 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 ⋯ k n − r ξ n − r η 0 , k_1\xi_1k_2\xi_2\dotsk_{n-r}\xi_{n-r}\eta_0, k1ξ1k2ξ2⋯kn−rξn−rη0, 其中 k 1 , k 2 , … , k n − r k_1,k_2,\dots,k_{n-r} k1,k2,…,kn−r 为任意常数。 1齐次线性方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的基础解系不唯一但线性无关的解向量的个数是唯一的。 2 r ( A ) r ( A ‾ ) n r(A)r(\overline{A})n r(A)r(A)n 时非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 所有解向量的极大线性无关的向量个数为 ( n − r 1 ) (n-r1) (n−r1) 个。 3设 η 1 , η 2 , … , η n − r 1 \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_{n-r1} η1,η2,…,ηn−r1 为非齐次线性方程组 A X b \pmb{AXb} AXb 的一个极大线性无关组则其通解也可以像齐次方程那样表示为 k 1 η 1 k 2 η 2 ⋯ k n − r 1 η n − r 1 k_1\eta_1k_2\eta_2\dotsk_{n-r1}\eta_{n-r1} k1η1k2η2⋯kn−r1ηn−r1 其中 k 1 , k 2 , … , k n − r 1 k_1,k_2,\dots,k_{n-r1} k1,k2,…,kn−r1 为任意常数且 k 1 k 2 ⋯ k n − r 1 1. k_1k_2\dotsk_{n-r1}1. k1k2⋯kn−r11. 五、方程组解的理论延伸
定理 1 —— 设 A A A 是 m × n m\times n m×n 矩阵 B B B 是 n × s n\times s n×s 矩阵若 A B O ABO ABO 则 B B B 的列向量组是方程组 A X 0 AX0 AX0 的解。 证明 令 B ( β 1 , β 2 , … , β s ) B(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s) B(β1,β2,…,βs)则 A B ( A β 1 , A β 2 , … , A β s ) AB(A\beta_1,A\beta_2,\dots,A\beta_s) AB(Aβ1,Aβ2,…,Aβs)若 A B O ABO ABO 则 A β 1 0 , A β 2 0 … , A β s 0 A\beta_10,A\beta_20\dots,A\beta_s0 Aβ10,Aβ20…,Aβs0 原命题得证。
定理 2 —— 设方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 与 B X 0 \pmb{BX0} BX0 为同解方程组则 r ( A ) r ( B ) r(A)r(B) r(A)r(B) 反之不对。
定理 3 —— 设方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的解为 B X 0 \pmb{BX0} BX0 的解则 r ( A ) ≥ r ( B ) . r(A) \geq r(B). r(A)≥r(B). 1设方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的解为 B X 0 \pmb{BX0} BX0 的解但不全是则 r ( A ) r ( B ) . r(A) r(B). r(A)r(B). 2设方程组 A X 0 \pmb{AX0} AX0 的解为 B X 0 \pmb{BX0} BX0 的解且 r ( A ) r ( B ) r(A) r(B) r(A)r(B) 则两个方程组同解。 定理 4 —— 设 A X b , B X c \pmb{AXb},\pmb{BXc} AXb,BXc 则线性方程组 ( A , B ) T X ( b , c ) T (A,B)^TX(b,c)^T (A,B)TX(b,c)T 的解即为两个方程的公共解。
