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知识点1 平面方程
1.平面的法向量与法式
定义1 若向量n 垂直与平面N#xff0c;则称向量n为平面N的法向量。
设一平面通过一直点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M0(x0,y0,z0)求垂直于非零向量 n ⃗ \vec{n} n (A,B,C),求改平面N的…空间中的平面和直线
知识点1 平面方程
1.平面的法向量与法式
定义1 若向量n 垂直与平面N则称向量n为平面N的法向量。
设一平面通过一直点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M0(x0,y0,z0)求垂直于非零向量 n ⃗ \vec{n} n (A,B,C),求改平面N的方程。
任意点 M ( x , y , z ) ∈ N M(x,y,z) \in N M(x,y,z)∈N则有 M 0 M ⃗ ⊥ n ⃗ \vec{M_0M} \bot \vec{n} M0M ⊥n 故 M 0 M ⃗ . n ⃗ 0 \vec{M_0M}.\vec{n}0 M0M .n 0两向量垂直相乘为:0 ↓ M 0 M ⃗ ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) \downarrow \qquad \vec{M_0M}(x-x_0,y-y_0,z-z_0) ↓M0M (x−x0,y−y0,z−z0) A ( x − x 0 ) B ( y − y o ) C ( z − z 0 ) 0 A(x-x_0)B(y-y_o)C(z-z_0) 0 A(x−x0)B(y−yo)C(z−z0)0 ①
称 ① 式为平面N的点法式方程。 例1 求过三点 M 1 ( 2 , 3 , 2 ) , M 2 ( 3 , 3 , 3 ) , M 3 ( 4 , 5 , 5 ) M_1(2,3,2),M_2(3,3,3),M_3(4,5,5) M1(2,3,2),M2(3,3,3),M3(4,5,5) 的平面N的方程。 解 取该平面N的法向量为 n ⃗ M 1 M 2 ⃗ ∗ M 1 M 3 ⃗ \vec{n} \vec{M_1M_2} * \vec{M1M3} n M1M2 ∗M1M3
又 M 1 ∈ N M_1\in N M1∈N,利用点法式的平面N的方程 14 ( x − 2 ) 9 ( y 1 ) − ( z − 4 ) 0 14(x-2)9(y1)-(z-4)0 14(x−2)9(y1)−(z−4)0
即 14 x 9 y − z − 15 0 14x9y-z-150 14x9y−z−150
2.平面的一般是方程
定义2 设有三元一次方程 A x B y C z D 0 ( A 2 B 2 C 2 ≠ 0 ) ② AxByCzD0 (A^2B^2C^2 \neq 0) ② AxByCzD0(A2B2C20)② 任取一组满足上述方程的数 x 0 , y 0 , z 0 x_0,y_0,z_0 x0,y0,z0,则 A x 0 B y 0 C z 0 D 0 Ax_0By_0Cz_0D0 Ax0By0Cz0D0 以上两式相减得平面的点法式方程 A ( x − x 0 ) B ( y − y 0 ) C ( z − z 0 ) 0 A(x-x_0)B(y-y_0)C(z-z_0)0 A(x−x0)B(y−y0)C(z−z0)0 显然方程 ② 与此点法式方程等价因此方程 ② 的图形是法向量为 n ⃗ ( A , B , C ) \vec{n}(A,B,C) n (A,B,C)的平面此方程为平行的一般式方程。
3.特殊位置的平面及方程 A x B y C z 0表示通过原点的平面 B yC zD 0表示平行于 x 轴的平面 A xC zD 0表示平行于 y 轴的平面 A xB yD 0表示平行于 z 轴的平面 A x D 0表示垂直于 x 轴的平面或平行于 Oyz 平面的平面 B y D 0表示垂直于 y 轴的平面或平行于 Ozx 平面的平面 C z D 0表示垂直于 z 轴的平面或平行于 Oxy 平面的平面。 B y C z 0表示通过 x 轴的平面 A xC z 0表示通过 y 轴的平面 A xB y 0表示通过 z 轴的平面。
例2 求过 z 轴和点 M ( 6 , 8 , 9 ) M(6,8,9) M(6,8,9)的平面 ∏ \prod ∏ 的方程。
解由题可设平面 ∏ \prod ∏ 的方程为 A xB y 0。因为平面过点 M所以 6 A 8 B 0 6A8B0 6A8B0解得 A − 4 3 B A-\frac{4}{3}B A−34B 。因此平面 ∏ \prod ∏ 的方程是 − 4 3 x y B 0 {-\frac{4}{3}xy}B0 −34xyB0即 因 B ≠ \neq 0 。
4.平面的截距式方程
定义3 设平面的 ∏ \prod ∏与x,y,z轴分别交于Pa00Q0b0R00c三点则 ∏ \prod ∏的方程为
a,b,c ≠ \neq 0 x a y b z c 1 \frac{x}{a}\frac{y}{b}\frac{z}{c}1 axbycz1 ③
称 ③ 式为平面 的截距式方程。
其中abc分别称为平面 在xyz轴上的截距。
注某平面具有截距式方程的充分必要条件平面在三条坐标轴上的截距
均为非零常数。 5.两个平面的夹角
定义2 两平面 ∏ 1 , ∏ 2 \prod_1,\prod_2 ∏1,∏2的法线向量 的夹角 θ \theta θ取锐角或直角
称为这两个平面的夹角。
设平面 ∏ 1 \prod_1 ∏1的法向量为 n 1 ⃗ ( A 1 , B 1 , C 1 ) \vec{n_1}(A_1,B_1,C_1) n1 (A1,B1,C1)
设平面 ∏ 2 \prod_2 ∏2的法向量为 n 2 ⃗ ( A 2 , B 2 , C 2 ) \vec{n_2}(A_2,B_2,C_2) n2 (A2,B2,C2)
则两平面夹角 θ \theta θ的余弦为 c o s θ ∣ n 1 ⃗ . n 2 ⃗ ∣ ∣ n 1 ⃗ ∣ . ∣ n 2 ⃗ ∣ cos\theta\frac{|\vec{n_1}.\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|.|\vec{n_2}|} cosθ∣n1 ∣.∣n2 ∣∣n1 .n2 ∣ 即 c o s θ ∣ A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 ∣ ∣ A 1 2 B 1 2 C 1 2 . A 2 2 B 2 2 C 2 2 ∣ cos\theta\frac{|A_1A_2B_1B_2C_1C_2|}{|\sqrt{A_1^2B_1^2C_1^2}.\sqrt{A_2^2B_2^2C_2^2}|} cosθ∣A12B12C12 .A22B22C22 ∣∣A1A2B1B2C1C2∣ 两个平面的夹角 ( 1 ) ∏ 1 ⊥ ∏ 2 (1) \prod_1\bot\prod_2 (1)∏1⊥∏2 n 1 ⃗ ⊥ n 2 ⃗ \vec{n_1}\bot\vec{n_2} n1 ⊥n2 $ A_1A_2B_1B_2C_1C_20$ ( 2 ) ∏ 1 / / ∏ 2 (2) \prod_1//\prod_2 (2)∏1//∏2 n 1 ⃗ / / n 2 ⃗ \vec{n_1}//\vec{n_2} n1 //n2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 \frac{A_1}{A_2}\frac{B_1}{B_2}\frac{C_1}{C_2} A2A1B2B1C2C1 已知1平面 x 2 y − z − 2 0 x2y-z-20 x2y−z−20和2平面 z x y z − 19 0 zxyz-190 zxyz−190 求这两个平面的夹角。
可得两个平面的法向量 $n_1 1,2,−1 , n_2 2,1,1 $
可得夹角的余弦 c o s θ 3 6 . 6 1 2 cos\theta \frac{3}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}\frac{1}{2} cosθ6 .6 321
这两个平面的夹角为 θ π 6 \theta \frac{\pi}{6} θ6π
例4 设平面 ∏ \prod ∏垂直于平面 2 x 3 y 2 z 0 2x3y2z0 2x3y2z0且过两点 M 1 ( 3 , 3 , 3 ) M_1(3,3,3) M1(3,3,3)和 M 2 ( 4 , 5 , 5 ) M_2(4,5,5) M2(4,5,5),求平面 ∏ \prod ∏方程。
解已知平面的方程的法向量为 n 1 ( 2 , 3 , 2 ) n_1 (2,3,2) n1(2,3,2)
又有 M 1 M 2 ( 1 , 2 , 2 ) M_1M_2(1,2,2) M1M2(1,2,2) 在所求的平面上则所求平面的法向量n同时垂直于向量 M 1 M 2 M_1M_2 M1M2 及 n 1 n_1 n1 因此可取平面 ∏ \prod ∏的法向量为 n ⃗ n 1 ∗ M 1 M 2 [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ 2 3 2 1 2 2 ] ( 2 , − 2 , 1 ) \vec{n}n_1* M_1M_2 \left[ \begin{array}{c|c|c} \vec{i} \vec{j} \vec{k} \\ 2 3 2 \\ 1 2 2 \end{array} \right] (2,-2,1) n n1∗M1M2 i 21j 32k 22 (2,−2,1) 故所求平面的方程为 2 ( x − 3 ) − 2 ( y − 3 ) ( z − 3 ) 0 2(x-3)-2(y-3)(z-3)0 2(x−3)−2(y−3)(z−3)0
即 2 x − 2 y z − 3 0 2x-2yz-30 2x−2yz−30
6.点到平面的距离公式
设 M 0 x 0 , y 0 , z 0 M_0x_0,y_0,z_0 M0x0,y0,z0是平面AxByCzD0外的一点则点 M 0 M_0 M0到平面的距离为 d ∣ A x 0 B y 0 C z 0 D ∣ A 2 B 2 C 2 d\frac{|Ax_0By_0Cz_0D|}{\sqrt{A^2B^2C^2}} dA2B2C2 ∣Ax0By0Cz0D∣
设平面法向量为 n ⃗ ( A , B , C ) \vec{n}(A,B,C) n (A,B,C)令 M 0 M_0 M0在平面上的垂足 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M_1(x_1,y_1,z_1) M1(x1,y1,z1)则 M 1 M_1 M1 到平面的距离为 d ∣ M 1 M 0 ⃗ . n ⃗ ∣ n ⃗ d\frac{|\vec{M_1M_0}.\vec{n}|}{\vec{n}} dn ∣M1M0 .n ∣ ∣ A ( x 0 − x 1 ) B ( y 0 − y 1 ) C ( z 0 − z 1 ) ∣ A 2 B 2 C 2 ↓ 其中 A x 1 B y 1 C z 1 D 0 \frac{|A(x_0-x_1)B(y_0-y_1)C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2B^2C^2}} \downarrow 其中Ax_1By_1Cz_1D0 A2B2C2 ∣A(x0−x1)B(y0−y1)C(z0−z1)∣↓其中Ax1By1Cz1D0 d ∣ A x 0 B y 0 C z 0 D ∣ A 2 B 2 C 2 d\frac{|Ax_0By_0Cz_0D|}{\sqrt{A^2B^2C^2}} dA2B2C2 ∣Ax0By0Cz0D∣
知识点3 点到平面的距离公式
例5 求点 P123到平面 2x-2yz-30的距离d 。
解 d ∣ 2 − 4 3 − 3 ∣ 2 2 ( − 2 ) 2 1 2 2 3 d \frac{|2-43-3|}{\sqrt{2^2(-2)^21^2}} \frac{2}{3} d22(−2)212 ∣2−43−3∣32
知识点2 空间直线方程
1. 直线的一般式
定义直线可视为两平面 ∏ 1 , ∏ 2 \prod_1,\prod_2 ∏1,∏2的交线设平面 ∏ 1 , ∏ 2 \prod_1,\prod_2 ∏1,∏2的方程为 A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 , A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 A_1xB_1yC_1zD_10,A_2xB_2yC_2zD_20 A1xB1yC1zD10,A2xB2yC2zD20则方程组 { A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 \begin{cases} A_1xB_1yC_1zD_10 \\ A_2xB_2yC_2zD_20 \end{cases} {A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20 称该方程组为直线L的一般方程。 注过某定直线的平面有无穷多个 从中任选两个组成的方程组都是
交线的一般式方程一般式方程不唯一。
2.直线的点向式方程
若非零向量S平行与直线L则称S为直线的方向向量。 x − x 0 m y − y 0 n z − z 0 p \frac{x-x_0}{m}\frac{y-y_0}{n}\frac{z-z_0}{p} mx−x0ny−y0pz−z0 称上式为直线L的点向式方程。 点向式方程的特殊情况
当点向式中某些分母为零时其分子也应理解为零。
如当 m n 0 , p ≠ 0 mn0,p \neq 0 mn0,p0时直线方程为 { x x 0 y y 0 \begin{cases} xx_0 \\ yy_0 \end{cases} {xx0yy0
例1 已知直线I过点M3-26且与平面x3 0 垂直求直线L的方程解因为直线 L 垂直于平面x30所以可取 L 的方向 s ⃗ ( 1 , 0.0 ) \vec{s}(1,0.0) s (1,0.0)因此所求直线 L 的点向式方程型如 x − 3 1 y 2 0 z − 6 0 \frac{x-3}{1}\frac{y2}{0}\frac{z-6}{0} 1x−30y20z−6
因此所求直线转为一般式方程为: { y − 2 z 6 \begin{cases} y-2 \\ z6 \end{cases} {y−2z6
3.直线的两点式方程
定义3 设直线 L 过两点M1M2则直线 L 的方程为 x − x 1 x 2 − x 1 y − y 1 y 2 − y 1 z − z 1 z 2 − z 1 \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\frac{z-z_1}{z_2-z_1} x2−x1x−x1y2−y1y−y1z2−z1z−z1
称方程组为直线 L 的两点式方程.
4.直线的参数式方程
若令 x − x 0 m y − y 0 n z − z 0 p t \frac{x-x_0}{m}\frac{y-y_0}{n}\frac{z-z_0}{p}t mx−x0ny−y0pz−z0t
的直线L的参数式方程 { x x 0 m t y y 0 n t z z 0 p t , t ∈ R . \begin{cases} xx_0mt \\ yy_0nt \\ zz_0pt \end{cases} ,t \in R. ⎩ ⎨ ⎧xx0mtyy0ntzz0pt,t∈R. 例2 用一般式及参数式表示直线: { x y z 1 0 2 x − y 3 z 4 0 \begin{cases} xyz10 \\ 2x-y3z40 \end{cases} {xyz102x−y3z40 解先在直线上找一点令x 1解方程组: { y z − 2 y − 3 z 6 \begin{cases} yz-2 \\ y-3z6 \end{cases} {yz−2y−3z6 解得y0z-2
再求直线的方向向量 s ⃗ \vec{s} s .
因为所求直线L与已知两平面的法向量 n 1 ⃗ ( 1 , 1 , 1 ) \vec{n_1} (1,1,1) n1 (1,1,1), n 2 ( 2 , − 1 , 3 ) n_2(2,-1,3) n2(2,−1,3)均垂直所以可取所求直线的方向向量 s ⃗ n 1 ⃗ ∗ n 2 ⃗ [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ 1 1 1 2 − 1 3 ] ( 4 , − 1 , − 3 ) \vec{s}\vec{n_1}*\vec{n_2} \left[ \begin{array}{c|c|c} \vec{i} \vec{j} \vec{k} \\ 1 1 1 \\ 2 -1 3 \end{array} \right] (4,-1,-3) s n1 ∗n2 i 12j 1−1k 13 (4,−1,−3) 故所给直线的点向式方程为: x − 1 4 y − 1 z 2 − 3 t \frac{x-1}{4}\frac{y}{-1}\frac{z2}{-3}t 4x−1−1y−3z2t 参数式方程为 { x 1 4 t y − t z − 2 − 3 t \begin{cases} x14t\\ y-t \\ z-2-3t \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x14ty−tz−2−3t 解题思路
1先找直线上一点
2再找直线的方向向量。
5.两条直线的夹角
1.两直线的夹角
定义5 两直线L1L2的方向向量的夹角 θ \theta θ (取锐角或直角)称为这两条
直线的夹角。范围在 [ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}] [0,2π]
2.直线夹角的计算
设直线 L 1 L_1 L1的方向向量为 s 1 ⃗ ( m 1 , n 1 , p 1 ) \vec{s_1}(m_1,n_1,p_1) s1 (m1,n1,p1)
设直线 L 2 L_2 L2的方向向量为 s 2 ⃗ ( m 2 , n 2 , p 2 ) \vec{s_2}(m_2,n_2,p_2) s2 (m2,n2,p2)
则两直线夹角 的余弦为: c o s θ ∣ s 1 ⃗ . s 2 ⃗ ∣ ∣ s 1 ⃗ ∣ . ∣ s 2 ⃗ ∣ cos\theta\frac{|\vec{s_1}.\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}|.|\vec{s_2}|} cosθ∣s1 ∣.∣s2 ∣∣s1 .s2 ∣
即 c o s θ ∣ m 1 m 2 n 1 n 2 z 1 z 2 ∣ m 1 2 n 1 2 p 1 2 m 2 2 n 2 2 p 2 2 cos\theta\frac{|m_1m_2n_1n_2z_1z_2|}{\sqrt{m_1^2n_1^2p_1^2}\sqrt{m_2^2n_2^2p_2^2}} cosθm12n12p12 m22n22p22 ∣m1m2n1n2z1z2∣
3.直线的特殊位置关系
(1) L 1 ⊥ L 2 − − s 1 ⃗ ⊥ s 2 ⃗ − − m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 L_1\bot L_2 -- \vec{s_1}\bot\vec{s_2}-- m_1m_2n_1n_2p_1p_20 L1⊥L2−−s1 ⊥s2 −−m1m2n1n2p1p20
(2) L 1 / / L 2 − − s ⃗ / / s 2 ⃗ − − m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 L_1//L_2--\vec{s}//\vec{s_2}--\frac{m_1}{m_2}\frac{n_1}{n_2}\frac{p_1}{p_2} L1//L2−−s //s2 −−m2m1n2n1p2p1 例3 已知直线 L1过点M3-26并与直线 L平行且直线 L : { x − 3 y 3 0 3 x y 6 z 1 0 L: \begin{cases} x-3y30 \\ 3xy6z10 \end{cases} L:{x−3y303xy6z10 求直线 L 1 L_1 L1的方程。
解设 n 1 ⃗ , n 2 ⃗ \vec{n_1},\vec{n_2} n1 ,n2 分别为 L 的方程所对应的两平面的法向量显有 n 1 ⃗ ( 1 , − 3 , 0 ) , n 2 ⃗ ( 3 , 1 , 6 ) \vec{n_1}(1,-3,0),\vec{n_2}(3,1,6) n1 (1,−3,0),n2 (3,1,6),因为L1//L3,则可取所求直线的一个方向向量 s ⃗ n 1 ⃗ ∗ n 2 ⃗ [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ 1 − 3 0 3 1 6 ] ( − 18 , − 6 , 10 ) 2 ( − 9 , − 3 , 5 ) \vec{s}\vec{n_1}*\vec{n_2} \left[ \begin{array}{c|c|c} \vec{i} \vec{j} \vec{k} \\ 1 -3 0 \\ 3 1 6 \end{array} \right] (-18,-6,10)2(-9,-3,5) s n1 ∗n2 i 13j −31k 06 (−18,−6,10)2(−9,−3,5) 利用点向式得所求直线的方程为: x − 3 − 9 y 2 − 3 z − 6 5 \frac{x-3}{-9}\frac{y2}{-3}\frac{z-6}{5} −9x−3−3y25z−6
例4 求以下两直线的夹角 L 1 : x − 1 1 y − 4 z − 6 1 L_1: \frac{x-1}{1}\frac{y}{-4}\frac{z-6}{1} L1:1x−1−4y1z−6 L 2 : { x y 2 0 x 2 z 0 L2: \begin{cases} xy20 \\ x2z0 \end{cases} L2:{xy20x2z0 解直线L1的方向向量为 s 1 ⃗ 2 , − 2 , − 1 \vec{s_1}{2,-2,-1} s1 2,−2,−1
直线L2的方向向量为 s 2 ⃗ [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ 1 1 0 1 0 2 ] ( 2 , − 2 , − 1 ) \vec{s_2} \left[ \begin{array}{c|c|c} \vec{i} \vec{j} \vec{k} \\ 1 1 0 \\ 1 0 2 \end{array} \right] (2,-2,-1) s2 i 11j 10k 02 (2,−2,−1) 二直线夹角 ϑ \vartheta ϑ的余弦为: c o s ϑ s 1 ⃗ s 2 ⃗ ∣ s 1 ⃗ ∣ ∣ s 2 ⃗ ∣ 2 2 cos\vartheta\frac{\vec{s_1}\vec{s_2}}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|}\frac{\sqrt{2}}{2} cosϑ∣s1 ∣∣s2 ∣s1 s2 22 从而 ϑ π 4 \vartheta\frac{\pi}{4} ϑ4π
6.直线与平面的夹角
定义6 直线 L 与其在平面 ∏ \prod ∏ 内的投影直线 *L’*的夹角 ϑ \vartheta ϑ称为直线与平面的夹角。
1.直线夹角的计算
设直线 L的方向向量为 s ⃗ ( m , n , p ) \vec{s}(m,n,p) s (m,n,p)
平面 ∏ \prod ∏的法向量 n ⃗ ( A , B , C ) \vec{n}(A,B,C) n (A,B,C)
则直线与平面夹角 θ \theta θ的正弦为 s i n θ ∣ c o s ( n ⃗ , s ⃗ ) ∣ ∣ n ⃗ . s ⃗ ∣ ∣ n ⃗ ∣ ∣ s ⃗ ∣ sin\theta|cos(\vec{n},\vec{s})|\frac{|\vec{n}.\vec{s}|}{|\vec{n}||\vec{s}|} sinθ∣cos(n ,s )∣∣n ∣∣s ∣∣n .s ∣ 即 s i n θ A m B n C p A 2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2 sin\theta\frac{AmBnCp}{\sqrt{A^2B^2C^2}\sqrt{m^2n^2p^2}} sinθA2B2C2 m2n2p2 AmBnCp
2.直线与平面的特殊位置关系
(1) L ⊥ ∏ − − s ⃗ / / n ⃗ − − s ⃗ n ⃗ 0 − − A m B n C p L\bot\prod -- \vec{s}//\vec{n}--\vec{s}\vec{n}0--\frac{A}{m}\frac{B}{n}\frac{C}{p} L⊥∏−−s //n −−s n 0−−mAnBpC
(2) L / / ∏ − − s ⃗ ⊥ n ⃗ − − s ⃗ . n ⃗ 0 − − A m B n C p 0 L//\prod -- \vec{s}\bot\vec{n} -- \vec{s}.\vec{n}0-- AmBnCp0 L//∏−−s ⊥n −−s .n 0−−AmBnCp0 例5 求过点1-24且与平面 2 x − 3 y z − 4 0 2x-3yz-40 2x−3yz−40垂直的直线方程。
解取已知平面的法向量 n ⃗ ( 2 , − 3 , 1 ) \vec{n}(2,-3,1) n (2,−3,1)
为所求直线的方向向量。
则直线的点向式方程为 x − 1 2 y 2 − 3 z − 4 1 \frac{x-1}{2}\frac{y2}{-3}\frac{z-4}{1} 2x−1−3y21z−4
qrt{m2n2p^2}}$
2.直线与平面的特殊位置关系
(1) L ⊥ ∏ − − s ⃗ / / n ⃗ − − s ⃗ n ⃗ 0 − − A m B n C p L\bot\prod -- \vec{s}//\vec{n}--\vec{s}\vec{n}0--\frac{A}{m}\frac{B}{n}\frac{C}{p} L⊥∏−−s //n −−s n 0−−mAnBpC
(2) L / / ∏ − − s ⃗ ⊥ n ⃗ − − s ⃗ . n ⃗ 0 − − A m B n C p 0 L//\prod -- \vec{s}\bot\vec{n} -- \vec{s}.\vec{n}0-- AmBnCp0 L//∏−−s ⊥n −−s .n 0−−AmBnCp0
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例5 求过点1-24且与平面 2 x − 3 y z − 4 0 2x-3yz-40 2x−3yz−40垂直的直线方程。
解取已知平面的法向量 n ⃗ ( 2 , − 3 , 1 ) \vec{n}(2,-3,1) n (2,−3,1)
为所求直线的方向向量。
则直线的点向式方程为 x − 1 2 y 2 − 3 z − 4 1 \frac{x-1}{2}\frac{y2}{-3}\frac{z-4}{1} 2x−1−3y21z−4
