网站开发 pdf,静安网站开发,网页制作的基础知识,关键词林俊杰在线听免费一、题目描述
给你一个整数 n #xff0c;求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种#xff1f;返回满足题意的二叉搜索树的种数。 示例 1#xff1a; 输入#xff1a;n 3
输出#xff1a;5示例 2#xff1a;
输入#xff1a;n 1
输出求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种返回满足题意的二叉搜索树的种数。 示例 1 输入n 3
输出5示例 2
输入n 1
输出1提示
1 n 19
二、解题思路
这个问题是关于卡特兰数的经典问题。二叉搜索树BST的一个重要特性是它的中序遍历结果是一个有序数组。因此如果我们有 n 个互不相同的节点那么可能的二叉搜索树的种数与这些节点的排列方式有关。
对于给定的 n我们可以这样考虑
选择 1 作为根节点那么剩下的 n-1 个节点将位于根节点的右侧可以形成 G(n-1) 种 BST。选择 2 作为根节点那么剩下的 n-2 个节点中1 个位于根节点的左侧n-3 个位于根节点的右侧可以形成 G(1) * G(n-3) 种 BST。以此类推直到选择 n 作为根节点剩下的 n-1 个节点将位于根节点的左侧可以形成 G(n-1) 种 BST。
因此G(n) 可以用以下公式表示G(n)G(0)∗G(n−1)G(1)∗G(n−2)...G(n−1)∗G(0)
其中 G(0) 1因为只有一个节点的 BST 只有一种情况。
基于上述思路我们可以用动态规划的方法来解决这个问题。我们可以创建一个数组 dp其中 dp[i] 表示有 i 个节点时可能的 BST 种数。然后我们可以按照上述公式计算 dp 数组。
三、具体代码
public class Solution {public int numTrees(int n) {if (n 0) return 1;int[] dp new int[n1];dp[0] 1;dp[1] 1;for (int i 2; i n; i) {for (int j 1; j i; j) {dp[i] dp[j-1] * dp[i-j];}}return dp[n];}
}四、时间复杂度和空间复杂度
1. 时间复杂度
我们有一个双重循环结构。外层循环遍历从 2 到 n 的所有整数共执行 n - 1 次。内层循环遍历从 1 到当前外层循环的整数最坏情况下即外层循环变量为 n 时执行 n 次。因此内层循环总共执行次数为 1 2 … n这是一个等差数列求和其和为 (n * (n 1)) / 2。所以总的时间复杂度为 O((n * (n 1)) / 2)简化后为 O(n^2)。
2. 空间复杂度
我们使用了一个大小为 n1 的数组 dp 来存储中间结果。因此空间复杂度是 O(n)即与输入大小 n 成正比。
综上所述代码的时间复杂度是 O(n^2)空间复杂度是 O(n)。
五、总结知识点 动态规划Dynamic Programming, DP这是一种用于解决优化问题的算法思想它将复杂问题分解为多个子问题通过解决子问题来构建原问题的解。动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。 二叉搜索树Binary Search Tree, BST这是一种特殊的二叉树其中每个节点都满足左子树中的所有元素小于该节点的值右子树中的所有元素大于该节点的值。题目要求计算不同结构的BST的数量。 卡特兰数Catalan number这是一个组合数学中的数列用于计算不同结构的二叉树的数量。第 n 个卡特兰数可以通过公式 C(n) (2n)! / ((n1)! * n!) 计算得出其中 n! 表示 n 的阶乘。 循环结构代码中使用了两个嵌套的 for 循环这是一种常见的控制结构用于重复执行代码块固定的次数。 数组的使用代码中使用了一个整数数组 dp 来存储中间结果这是一种常见的数据结构用于存储多个相同类型的数据项。 累加操作在动态规划的过程中通过累加操作计算 dp 数组的值这是动态规划中更新状态的一种常见方式。 边界条件处理代码中对于 n0 和 n1 的情况进行了特殊处理这是因为在这些情况下BST 的数量是确定的分别为 1。
以上就是解决这个问题的详细步骤希望能够为各位提供启发和帮助。
