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一、背景
二、代码 一、背景
数值方法被用于创建电影、游戏或其他媒体中的计算机图形。例如#xff0c;生成“逼真”的烟雾、水或爆炸等动画。本文内容是对头发的模拟#xff0c;要求考虑重力、风力的影响。
假设#xff1a; 1、人的头部是一个半径为10厘米的球体。…目录
一、背景
二、代码 一、背景
数值方法被用于创建电影、游戏或其他媒体中的计算机图形。例如生成“逼真”的烟雾、水或爆炸等动画。本文内容是对头发的模拟要求考虑重力、风力的影响。
假设 1、人的头部是一个半径为10厘米的球体。 2、每根头发都与球体的表面垂直相交。 3、作用在每根头发上的力包括重力在-z方向上和恒定的风力在x方向上。
二、代码
#导入python包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.integrate
import scipy.optimizedef rhs_func_wrapper(f_x, f_g):输入f_x风力、f_g重力输出函数rhs_func,用于包装常微分方程def rhs_func(s, y):输入s弧度自变量y即[角度θ,梯度u]因变量theta y[0]u y[1]dyds np.zeros_like(y)dyds[0] u #一阶导dyds[1] s * f_g * np.cos(theta) s * f_x * np.sin(theta) #二阶常微分方程对应方程(3a)return dydsreturn rhs_funcdef shot(u0, theta_0, L, rhs_func):解决边界值问题BVP返回s弧长、y包含角度和梯度的数组、sol是OdeSolution对象表示常微分方程的解(描述弧长s和角度θ之间关系)y0 np.array([theta_0, u0])interval [0, L] solution scipy.integrate.solve_ivp(rhs_func, interval, #rhs_func中参数s的范围y0, #初始条件max_step1e-2, #设置步长dense_outputTrue) #用于生成sol可以用于在任意点插值解s, y, sol solution.t, solution.y, solution.solreturn s, y, soldef shot_error_wrapper(theta_0, L, rhs_func):计算误差def shot_error(u0):s, y, sol shot(u0, theta_0, L, rhs_func)phi y[1, -1] #提取二维数组y中的梯度的最后一个元素作为误差return phireturn shot_errordef coordinate_rhs_func_wrapper(theta_s):计算头发坐标的导数输入theta_s表示一个描述弧长s和角度θ之间关系的OdeSolution对象def coordinate_rhs_func(s, y):输入弧长s、y表示坐标(x,z)dyds np.zeros_like(y) #初始化一个与y相同大小的数组dyds用于存储导数theta theta_s(s)[0] #计算弧长s对应的角度theta通过调用theta_s(s)获取并取得返回值的第一个元素dyds[0] np.cos(theta) #求导公式dyds[1] np.sin(theta) #求导公式return dydsreturn coordinate_rhs_funcdef hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, f_x, f_g0.1):输入theta_0_list初始角度列表L头发长度R人头半径f_x风力f_g重力默认为0.1rhs_func rhs_func_wrapper(f_x, f_g)x_list [] #初始化两个空列表用于存储解z_list []for theta_0 in theta_0_list: #对于每根头发的初始角度theta_0进行以下步骤shot_error shot_error_wrapper(theta_0, L, rhs_func)u0 scipy.optimize.brentq(shot_error, -10, 10) #在-10~10区间内找到误差最小的初始梯度u0s, y, sol shot(u0, theta_0, L, rhs_func)coordinate_rhs_func coordinate_rhs_func_wrapper(sol)y0 np.array([R * np.cos(theta_0), R * np.sin(theta_0)]) #设置初始条件interval [0, L]solution scipy.integrate.solve_ivp(coordinate_rhs_func, interval, y0,max_step1e-2)x_list.append(solution.y[0]) #402个横坐标z_list.append(solution.y[1]) #402个纵坐标x np.array(x_list)z np.array(z_list)return x, zdef plot_hairs(x, z, R, title):#画人头半径为10的圆颜色为bluetheta_list np.linspace(0, 2 * np.pi, 50)x_head R * np.cos(theta_list)y_head R * np.sin(theta_list)plt.plot(x_head, y_head, cblue)#依次画每根头发颜色为grayfor i in range(x.shape[0]): x_coords x[i, :]z_coords z[i, :]plt.plot(x_coords, z_coords, cgray)ax plt.gca() #获取坐标轴实例ax.set_aspect(1) #纵横单位长度比例为1:1plt.xlabel(x) #横坐标名称plt.ylabel(z) #纵坐标名称plt.title(title) #图的名称plt.show() #打印出来if __name__ __main__:L 4 #头发长度4cmR 10 #人的头部半径10cmtheta_0_list np.linspace(0, np.pi, 20) #0-π按20等分切分print(Task 1 - no gravity)x, z hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, 0, 0)assert x.shape[0] 20 and z.shape[0] 20 and x.shape[1] z.shape[1] #断言如果不满足条件则中断程序plot_hairs(x, z, R, titleTask 1 - no gravity) #生成图像print(Task 2 - no wind)x, z hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, 0)assert x.shape[0] 20 and z.shape[0] 20 and x.shape[1] z.shape[1] plot_hairs(x, z, R, titleTask 2 - no wind) print(Task 3 - wind (f_x0.1))x, z hair_bvp_2d(theta_0_list, L, R, 0.1)assert x.shape[0] 20 and z.shape[0] 20 and x.shape[1] z.shape[1]plot_hairs(x, z, R, titleTask 3 - wind (f_x0.1))运行结果 无重力、无风力 有重力、无风力 有重力、有风力
