做网盘搜索网站合法吗,南京江北新区规划图,seo排名点击工具,沈阳网站建设制作文章目录 #x1f308; Ⅰ 二叉树的顺序结构#x1f308; Ⅱ 堆的概念与性质#x1f308; Ⅲ 堆的基本操作01. 堆的定义02. 初始化堆03. 堆的销毁04. 堆的插入05. 向上调整堆06. 堆的创建07. 获取堆顶数据08. 堆的删除09. 向下调整堆10. 判断堆空 #x1f308; Ⅳ 堆的基本… 文章目录 Ⅰ 二叉树的顺序结构 Ⅱ 堆的概念与性质 Ⅲ 堆的基本操作01. 堆的定义02. 初始化堆03. 堆的销毁04. 堆的插入05. 向上调整堆06. 堆的创建07. 获取堆顶数据08. 堆的删除09. 向下调整堆10. 判断堆空 Ⅳ 堆的基本应用01. 堆排序的实现02. TOP K 问题 Ⅰ 二叉树的顺序结构
1. 顺序存储结构概念
顺序存储结构就是使用数组来存储二叉树的数据。这种结构下的逻辑结构是二叉树物理结构是数组。数组内的值是将二叉树自上而下、自左而右依次存储反过来数组构建二叉树也是这个顺序。 2. 顺序存储结构优势
使用这种结构可以很容易得出父子结点的下标。
双亲结点下标 ( 左或右孩子结点下标 - 1 ) / 2左孩子结点下标 双亲结点下标 * 2 1右孩子结点下标 双亲结点下标 * 2 2
3. 适合顺序存储的二叉树
只有满二叉树或完全二叉树这种能够有效利用数组空间适合使用顺序存储。 Ⅱ 堆的概念与性质
1. 堆的概念
将一组数据构建成一棵完全二叉树如果根节点的值 大于 / 小于 左右子树的所有值则称该完全二叉树为一个堆。将根节点最大的堆称做大根堆将根节点最小的堆称为小根堆。
2. 堆的性质
堆总是一棵完全二叉树。有序数组一定是堆反之却不一定。小根堆堆中所有双亲结点的值总是 其孩子结点根结点的值最小。大根堆堆中所有双亲结点的值总是 其孩子结点根结点的值最大。 Ⅲ 堆的基本操作
01. 堆的定义
堆在计算机看来实际就是个数组但不能只用数组表示堆还需要记录下每个堆的有效数据个数以及对应堆的容量。因此就要建立一个堆的结构体来管理每个堆。
typedef int HPDataType; // 堆中每个结点的数据类型typedef struct Heap
{int size; // 记录数组中有效数据个数int capacity; // 记录开辟的数组空间大小HPDataType* data; // 为堆空间开辟的数组
}Heap;注意因为 size 是用来记录堆中有效数据的个数因此 size 天生是最后一个有效数据的后一个位置的下标。
02. 初始化堆
void HeapInit(Heap* hp)
{assert(hp);hp-data NULL;hp-size hp-capacity 0;
}03. 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);free(hp-data);hp-data NULL;hp-size hp-capacity 0;
}04. 堆的插入
堆的本质实际上是个数组因此往堆中插入数据就将数据尾插到数组中。当前有一组数据为 [68, 34, 49, 25, 18, 19, 15] 的数组构成的大根堆往最后插入一个 10。 void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);if (hp-capacity hp-size) //是否要扩容{int newcapacity hp-capacity 0 ? 4 : 2 * hp-capacity;HPDataType* tmp (HPDataType*)realloc(hp-data, newcapacity * sizeof(HPDataType));assert(tmp);hp-capacity newcapacity;hp-data tmp;}hp-data[hp-size] x; //插入新数据AdjustUp(hp-data, hp-size - 1); //堆向上调整
}05. 向上调整堆
1. 为何要向上调整堆
插入数据之后可能导致破坏堆的结构可能要对堆进行调整。往一个堆中插入不同的值时需要判断会不会破会堆的结构。 下图中插入了 10 不会破坏大根堆插入 100 却会。 2. 根据堆的性质判断是否要调堆 小根堆中只需要判断新插入的数据是否 其双亲结点的值如果是则和其双亲结点交换。 大根堆中只需要判断新插入的数据是否 其双亲结点的值如果是则和其双亲结点交换。 在交换了之后新结点可能比它双亲的双亲还 小 / 大要一直交换到符合堆的定义为止。 新结点 100 和它的双亲交换之后还是大于其新的双亲要交换到符合堆定义为止。 如下图所示的将 100 向上调整到它最终位置即为堆的向上调整。 3. 堆的向上调整实现思路
定义的函数形参 data 是一个存储堆中数据的数组child 是新插入的结点的下标。算出新结点的双亲结点然后与其双亲结点比较如果不符合 大 / 小根堆的定义则交换。交换了之后原来双亲结点的位置就变为了新结点的位置再算出该结点新的双亲结点去比较。当将新结点向上调整到符合 大 / 小 根堆的定义时停止调整最坏情况新结点会被调成根结点。
4. 堆的向上调整代码实现
该代码适用于调成 大 / 小 根堆。
void AdjustUp(HPDataType* data, int child) // 向上调整堆
{int parent (child - 1) / 2; // 算出新结点的双亲结点while (child 0) // 最坏情况新结点会被调成根结点{// if (data[child] data[parent]) // 按照 小根堆 定义向上调整if (data[child] data[parent]) // 按照 大根堆 定义向上调整{swap(data[child], data[parent]); // 交换双亲和孩子结点的数据child parent; // 原双亲结点的位置给了新结点parent (parent - 1) / 2; // 求新结点双亲的双亲的位置}else // 结点被调到符合 大/小 根堆{break; }}
}06. 堆的创建
实现思路
将一组数据从第一个开始依次进堆每放一个数据进堆就调用一次向上调整算法。 当前有一组数据将它们依次插入进堆然后调用向上调整算法。 代码实现
int main()
{int test[] {85,9,1,7,6,7,5,45,13,54};size_t size sizeof(test) / sizeof(test[0]);Heap hp;HeapInit(hp);// 将 test 数组内的值依次插入进堆for (int i 0; i size; i){HeapPush(hp, test[i]);}return 0;
}07. 获取堆顶数据
数组的 0 号位置就是堆顶元素直接返回该位置的值即可。
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp-size 0); // 堆中有元素可被获取return hp-data[0]; // 堆中结点的值不一定是 int 类型
}08. 堆的删除
堆的删除规定删除根结点的数据即删除堆顶结点。
实现思路
将堆顶元素和堆尾元素交换然后将堆中有效数据个数 -1 即可实现删除。 代码实现
void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp-size 0); // 堆中有元素swap(hp-data[0], hp-data[hp-size - 1]); // 堆顶和堆尾互换hp-size--; // 删除最后一个元素AdjustDown(hp-data, hp-size, 0); // 将堆顶元素向下调整
}09. 向下调整堆
1. 为何要向下调整堆
某些情况下堆中的某一个非叶子结点可能要比其孩子结点 大 / 小不符合 小 / 大 根堆的定义。 如上图将 9 换到根结点之后明显就破坏了大根堆的结构要将其向下调整到合适位置。
2. 向下调整实现思路
比较要下沉的结点 k 的左右孩子的值找出值较 大 / 小 的那个孩子出来。如果是大根堆就用最大孩子和 k 互换如果是小根堆就用最小孩子和 k 互换。重复上述步骤直到将 k 调到它应在的位置即可。 3. 向下调整代码实现
按照小根堆的定义向下调整
void AdjustDown(HPDataType* data, int size, int parent)
{int child parent * 2 1; // 假设是结点的左孩子比较小while (child size) // 不能超过数组的范围{// 如果右孩子 左孩子则最小孩子结点换成右孩子if (child 1 size data[child 1] data[child]){child;}//最小孩子结点 其双亲结点则要交换if (data[child] data[parent]){swap(data[child], data[parent]);child child * 2 1;parent parent * 2 1;}else{break;}}
}按照大根堆的定义向下调整将两个 if 里用于比较左右孩子大小的 换成 即可。 第一个 if将 data[child 1] data[child] 换成 data[child 1] data[child] 第二个 if将 data[child] data[parent] 换成 data[child] data[parent]
void AdjustDown(HPDataType* data, int size, int parent)
{int child parent * 2 1; // 假设是结点的左孩子比较大while (child size) // 不能超过数组的范围{// 如果右孩子 左孩子则最大孩子结点换成右孩子if (child 1 size data[child 1] data[child]){child;}//最大孩子结点 其双亲结点则要交换if (data[child] data[parent]){swap(data[child], data[parent]);child child * 2 1;parent parent * 2 1;}else{break;}}
}10. 判断堆空
判断堆中有效数据的个数是否为 0 即可。
int HeapEmpty(Heap* hp)
{assert(hp);return 0 hp-size;
}Ⅳ 堆的基本应用
01. 堆排序的实现
排序思路
事先声明排升序用大根堆排降序用小根堆 (默认为升序)
将待排序的 n 个数据使用向下调整造成一个大根堆此时堆顶就是整个数组的最大值。将堆顶和堆尾互换此时堆尾的数就变成了最大值剩余的待排序数组元素个数为 n - 1 个。将剩余的 n - 1 个数调整回大根堆将新的大根堆的新的堆顶和新的堆尾互换。重复执行上述步骤即可得到有序数组。
举个例子
当前有数据为 [ 8, 9, 4, 74, 12, 15, 6 ] 现对其进行升序排序要先构成大根堆。 代码实现
data 指向原数组空间n 表示要排序的数据个数。
// 排成升序
void HeapSort(int* data, int n)
{int i 0;int end n - 1;// 从最后一个非叶子结点开始依次往前向下调整构建大根堆// n - 1 是最后一个结点的下标(n - 1 - 1) / 2 是最后一个结点的夫结点下标// 也就是最后一个非叶子结点for (i (n - 1 - 1) / 2; i 0; i--){// 要使用建大堆的向下调整算法AdjustDown(data, n, i);}// 0 和 end 夹着的是待排序数据end 是待排序数据的个数// 每次都选出一个最大的数放到 end 处然后待排序数据个数 end - 1while (end 0){swap(data[0], data[end]); // 互换堆顶和堆尾的数据AdjustDown(data, end, 0); // 从根位置 (0) 开始的向下调整end--; // 缩小待排序数据区间且个数 - 1}
}02. TOP K 问题
问题概述
在 n 个数中找出最大 / 最小的前 k 个数 (前提n 远大于 k)
实现思路
用这 n 个数的前 k 个数来构建一个堆这个堆就只有 k 个数。 求前 k 个最大的元素就建小根堆。 求前 k 个最小的元素就建大根堆。 用剩余的 n - k 个元素依次与堆顶元素比较。 求前 k 个最大的元素就用比小根堆顶 大 的数和其互换然后向下调整堆。 求前 k 个最小的元素就用比大根堆顶 小 的数和其互换然后向下调整堆。
举个栗子
当前有如下一组数据现求其最大的前 3 个数 [ 4, 6, 5, 2, 3, 7, 9, 1, 8 ] 建成小堆能将后面比堆顶小的数全部挡在外面最后堆中剩下的 3 个值就是最大的那三个。 代码实现
void TopK(int* data, int n, int k)
{int i 0;int j 0;HPDataType* MinHeap (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * k);assert(MinHeap);for (i 0; i k; i) // 将前 k 个数先插入进堆中{MinHeap[i] data[i];}for (i (k - 2) / 2; i 0; i--) // 将这 k 个数的堆向下调整成小根堆{AdjustDown(MinHeap, k, i);}for(j k; j n; j) // 将 k 之后的数据依次和堆顶比较{if (MinHeap[0] data[j]) // 后续数据大于堆顶则和堆顶互换后调整{MinHeap[0] data[j];AdjustDown(MinHeap, k, 0);}}
}
