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双线性变换法
双线性变换法#xff08;Bilinear Transform#xff09;是一种用于将模拟滤波器转换为数字滤波器的方法。它通过将模拟域中的s平面上的传递函数映射到数字域中的z平面上的传递函数来实现这一转换。双线性变换法保证了频率响应在转换过…前言
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双线性变换法
双线性变换法Bilinear Transform是一种用于将模拟滤波器转换为数字滤波器的方法。它通过将模拟域中的s平面上的传递函数映射到数字域中的z平面上的传递函数来实现这一转换。双线性变换法保证了频率响应在转换过程中不会产生混叠并且在设计IIR滤波器时非常常用。
双线性变换的基本原理
双线性变换通过以下关系将s平面的传递函数转换为z平面的传递函数 s 2 T ⋅ 1 − z − 1 1 z − 1 s \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 z^{-1}} sT2⋅1z−11−z−1
其中 s s s 是模拟域的复数频率变量。 z z z 是数字域的复数频率变量。 T T T 是采样周期。
这个公式将s平面的每一点双线性映射到z平面的一个点上并且这种映射是保角的即保持了角度关系。
双线性变换是一种用于将连续时间系统的频域表示通常用拉普拉斯变换表示转换为离散时间系统频域表示通常用Z变换表示的方法。这种转换特别有用因为它允许我们将连续时间滤波器的设计模拟滤波器转化为离散时间滤波器的设计数字滤波器以便在数字信号处理DSP系统中实现。
作用
双线性变换是将连续时间系统模拟信号的频域表示转换为离散时间系统数字信号频域表示的一种方法。通过这种变换我们可以设计数字滤波器使其频率响应与对应的模拟滤波器尽可能匹配。
转换过程 模拟传递函数 首先从模拟滤波器的设计得到其传递函数 H ( s ) H(s) H(s)。 应用双线性变换 使用双线性变换公式将 s s s 替换为 2 T ⋅ 1 − z − 1 1 z − 1 \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 z^{-1}} T2⋅1z−11−z−1得到数字域的传递函数 H ( z ) H(z) H(z)。 化简传递函数 将得到的 H ( z ) H(z) H(z) 化简为标准形式通常表示为两个多项式的比值。
例子
假设我们有一个一阶低通模拟滤波器其传递函数为 H ( s ) ω c s ω c H(s) \frac{\omega_c}{s \omega_c} H(s)sωcωc
其中 ω c \omega_c ωc 是截止角频率。
步骤1应用双线性变换
使用双线性变换公式将 s s s 替换为 2 T ⋅ 1 − z − 1 1 z − 1 \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 z^{-1}} T2⋅1z−11−z−1 H ( z ) ω c 2 T ⋅ 1 − z − 1 1 z − 1 ω c H(z) \frac{\omega_c}{\frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 z^{-1}} \omega_c} H(z)T2⋅1z−11−z−1ωcωc
步骤2化简传递函数
进行化简 H ( z ) ω c ( 1 z − 1 ) 2 T ( 1 − z − 1 ) ω c ( 1 z − 1 ) H(z) \frac{\omega_c (1 z^{-1})}{\frac{2}{T} (1 - z^{-1}) \omega_c (1 z^{-1})} H(z)T2(1−z−1)ωc(1z−1)ωc(1z−1) H ( z ) ω c ( 1 z − 1 ) 2 T − 2 T z − 1 ω c ω c z − 1 H(z) \frac{\omega_c (1 z^{-1})}{\frac{2}{T} - \frac{2}{T} z^{-1} \omega_c \omega_c z^{-1}} H(z)T2−T2z−1ωcωcz−1ωc(1z−1) H ( z ) ω c ( 1 z − 1 ) ( 2 T ω c ) ( ω c − 2 T ) z − 1 H(z) \frac{\omega_c (1 z^{-1})}{\left( \frac{2}{T} \omega_c \right) \left( \omega_c - \frac{2}{T} \right) z^{-1}} H(z)(T2ωc)(ωc−T2)z−1ωc(1z−1)
最后将分子和分母乘以 T / 2 T/2 T/2 进行化简 H ( z ) ω c T 2 ( 1 z − 1 ) 1 ( ω c T − 2 ω c T 2 ) z − 1 H(z) \frac{\frac{\omega_c T}{2} (1 z^{-1})}{1 \left( \frac{\omega_c T - 2}{\omega_c T 2} \right) z^{-1}} H(z)1(ωcT2ωcT−2)z−12ωcT(1z−1)
这就是数字滤波器的传递函数。
