建站工具缺点,济南网站,四川南充网站建设,建设厅网站贵州人事考试信息网目录 一、真值 1.1、真值联结词 1.2、真值联结词与逻辑联结词的区别 1.3、真值形式 1.3.1、真值符号的优先级和结合性规则 1.4、真值规则 1.4.1、条件式#xff08;蕴含式#xff09; P → Q 的真值规则 1.4.2、双条件式#xff08;等值式#xff09; P ↔ Q 的真值规则 1.…目录 一、真值 1.1、真值联结词 1.2、真值联结词与逻辑联结词的区别 1.3、真值形式 1.3.1、真值符号的优先级和结合性规则 1.4、真值规则 1.4.1、条件式蕴含式 P → Q 的真值规则 1.4.2、双条件式等值式 P ↔ Q 的真值规则 1.5、函数 1.5.1、数学中的函数概念 1.5.2、逻辑学中的函数概念 1.5.3、真值函数也叫真值函项 1.5.3.1、真值函数的种类 1.5.4、重言式 二、命题的真值判定方法 2.1、真值表法 2.2、归谬赋值法 三、命题的自然推理 3.1、一些概念 3.2、自然推理系统的主要规则 四、练习题 上海人民出版社《普通逻辑第五版》学习记录
一、真值 真和假是命题仅有的两个值。统称为“真值”。 1.1、真值联结词 用于定义复合命题的真值如何依赖于其肢命题真值的联结词。 有五个
否定¬合取∧即逻辑与析取∨即逻辑或条件也叫蕴含→即如果...就一定...双条件也叫等值↔即当且仅当
这和逻辑联结词看起来一样二者有何区别呢
1.2、真值联结词与逻辑联结词的区别 二者是紧密相关的大多数时候被认为是同义的。 联结词具有两个功能 将肢命题组合成复合命题。在发挥这个功能时联结词叫做逻辑联结词。确定复合命题的真假。在发挥这个功能时联结词叫做真值联结词。 例1
P今天下雨。
Q我带了伞。
可以使用联结词来构建复合命题。例如
合取∧“今天下雨且我带了伞。”P ∧ Q
析取∨“今天下雨或我没有带伞。”P ∨ ¬Q
这里用联结词将单个命题组合成更复杂的表达式。联结词发挥了作用在生成一个复合命题的过程中起联结作用。即并没有涉及到复合命题的真假的讨论这时候的联结词叫做逻辑联结词。
例2
假设
P今天下雨是真的。
Q我带了伞也是真的。
那么根据真值表可以得出
对于合取命题 P∧Q今天下雨且我带了伞因为两个肢命题都是真的所以这个复合命题也是真的。
对于析取命题 P∨¬Q今天下雨或我没有带伞由于 P 是真的即使 ¬Q即“我没有带伞”是假的整个析取命题仍然是真的。
在这种情况下联结词的功能是根据各个肢命题的真假来决定整个复合命题的真假。复合命题的真假由肢命题的真假和联结词的性质决定。联结词发挥了作用参与确定复合命题的真假这时候的联结词叫做真值联结词。
1.3、真值形式 由命题变项用字母如 P、Q、R 等表示和真值联结词组成的表达式。 它的结果即整个表达式的真值完全取决于其中命题变项的真值。也就是说只要确定了命题变项是真还是假通过真值联结词的运算规则就能确定整个真值形式的真假。
基本形式
合取式P ∧ Q析取式P ∨ Q条件式蕴含式P → Q双条件式等值式P ↔ Q否定式¬P
1.3.1、真值符号的优先级和结合性规则
1、优先级规则 从高到低的优先级顺序为否定¬合取∧析取∨蕴含→等值↔ 例表达式 ¬P ∧ Q → R
首先计算 ¬P然后进行 ¬P 与 Q 的合取操作¬P ∧ Q最后考虑蕴含关系¬P ∧ Q → R。
2、结合性规则
否定¬ 只对紧跟其后的一个命题变元起作用不存在结合性的问题。 合取∧和析取∨ 具有结合性它们满足结合律。例如P ∧ Q ∧ R P ∧ Q ∧ R。 在没有括号的情况下从左到右依次进行运算。例如在表达式 P ∧ Q ∧ R 中先计算 P ∧ Q然后再将结果与 R 进行合取。 蕴含→ 不满足结合律即P → Q→ R 与 P →Q → R是不同的逻辑表达式。 等值↔ 不满足结合律即 P ↔ Q↔ R 与 P ↔ Q ↔ R是不同的逻辑表达式。 括号 可以改变运算的顺序当需要改变默认的优先级顺序时就要使用括号。 1.4、真值规则
1.4.1、条件式蕴含式 P → Q 的真值规则 用这个例子说明
P下雨了。
Q地面湿了。
P → Q如果下雨地面会湿。
1、T-T 确实下雨了P而且地面确实变湿了Q。这与“如果下雨地面会湿”P → Q的表述一致P → Q 描述的情况发生了。 2、T-F 如果确实发生了下雨了P但是地面没有变湿¬Q比如有遮挡物且雨很小的情况。P → Q 描述的情况没有发生。 3、F-T重点 如果没有下雨¬P但是地面变湿了Q这种情况照理来说无法判断“如果下雨地面会湿”P → Q是否会成立。 实际上如果前提 P 为假而结论 Q 为真那么整个命题 P → Q 仍然是真的。 这种情况可能看起来有些反直觉但在逻辑学中当一个条件的前提不成立时无论结论是什么这个条件总是被视为真实的。这是因为该条件无法否定结论。 一个约定 在逻辑推理与论证的语境中可将 “当无法证伪时逻辑关系暂且被认为是真的” 作为一种实用的约定方式。这是因为倘若在无法证伪时便认定逻辑关系为假那么在面对复杂的逻辑推理和论证情境时会不可避免地滋生大量矛盾与不确定性因素从而致使逻辑推理的进程难以有效推进。 然而需要明确的是这种 “无法证伪即为真” 的约定并非绝对可靠它只是在特定的认知局限与推理需求背景下的一种权宜之计。在科学探索以及逻辑分析的进程中人们依然期望能够通过更为坚实的证据、严谨的证明或者充分的事实依据来确切判定逻辑关系的真假而非单纯依赖于能否证伪这一单一标准。 4、F-F 如果没有下雨¬P而且地面没有湿¬Q这也无法证伪“如果下雨地面会湿”P → Q。依据上述的约定这种情况 P → Q 也被认为是真。 1.4.2、双条件式等值式 P ↔ Q 的真值规则 用这个例子说明
P我会带伞。
Q我预估明天下雨。
P ↔ Q我会带伞当且仅当我预估明天下雨。
1、T-T 我会带伞P我预估明天下雨Q。那么这与“我会带伞当且仅当我预估明天下雨”P ↔ Q的描述是一致的。 2、T-F 我会带伞P且我预估明天不会下雨¬Q。那么这与“我会带伞当且仅当我预估明天下雨”P ↔ Q是矛盾的。P ↔ Q描述的情况没有发生。 3、F-T 我不会带伞¬P且我预估明天下雨Q。那么这与“我会带伞当且仅当我预估明天下雨”P ↔ Q是矛盾的。P ↔ Q描述的情况没有发生。 4、F-F 双条件式实际上等价于P → Q∧Q → P。 本例中 P → Q如果我会带伞那么一定是我预估了明天下雨。Q → P如果我预估明天下雨那么我一定会带伞。 参见上面的1.4.1的第四点。 我不会带伞¬P且我预估明天不会下雨¬Q都不能证伪 P → Q 和 Q → P 所以依据上面说的约定它的真值是 true。 1.5、函数
1.5.1、数学中的函数概念 从定义域到值域的映射。每个来自定义域的输入元素都恰好对应一个值域中的输出元素。 例
计算一个数平方的函数 f(x) x^2 。即着对于定义域中的每一个 ( x )输出 ( f(x) ) 就是 ( x ) 的平方。
1.5.2、逻辑学中的函数概念 一种接受一个或多个输入参数并根据这些输入计算出唯一确定输出结果的规则或表达式。 例1自动售货机
函数选择商品并投入相应金额 - 输出商品。
逻辑规则如果选择了商品A并且投入了足够的钱例如2元则输出商品A否则不输出商品并且可能返回投入的硬币。
例2交通信号灯
函数时间 当前颜色 - 下一个颜色。
逻辑规则如果当前是绿灯并且经过了一定的时间则变为黄灯如果是黄灯则变为红灯如果是红灯则变为绿灯。这个过程可以根据预设的时间间隔和当前状态确定下一个状态。
例3图书馆借书系统
函数会员ID 图书ID - 借阅确认或拒绝。
逻辑规则如果会员有良好的信用记录并且所选书籍可借则允许借阅否则拒绝借阅请求。
1.5.3、真值函数也叫真值函项 一种特殊的函数特殊的规则或表达式。 接受一个或多个命题变量真或假作为输入并根据定义的规则产生一个逻辑值真或假作为输出以此构建复合命题。 真值函数的定义域和值域的取值都是真值。 它的行为可以通过真值表展示其中列举所有可能的输入组合及其对应的确定性输出。 例
P天气好
Q我有空闲时间
可以定义一个逻辑函数 F(P, Q) 来决定是否去公园散步它的结果是真值即 F(P, Q) P ∧ Q。 可以写作
F(1,1) 1F(1,0) 0F(0,1) 0F(0,0) 0
1.5.3.1、真值函数的种类
根据真值函数的取值情况可将不同的真值函数分成几类
1、永真式/重言式 不论命题变元如何取值真值函数的值总是 true。 例P ∨ ¬P。
2、矛盾式常假的 不论命题变元如何取值真值函数的值总是 false。 例P ∧ ¬P。
3、可满足式 真值函数的值与命题变元相关即存在某些命题变元的取值使得真值函数的值为 true也存在某些取值使得真值函数的值为 false。 例P ∧ QP ∨ Q。
1.5.4、重言式
重言式是最常用的真值函数因为命题逻辑中一切正确的推理形式均表现为重言式。
也就是说
一个推理形式
∵A₁, A₂, …, Aₙ
∴A
是有效的当且仅当命题形式 (A₁∧A₂∧…∧Aₙ)→A 是重言式。 推理是从一组前提推导出一个结论的过程。推理形式是指这种推导过程的逻辑结构而不涉及具体命题的内容。一个推理形式是正确的当且仅当在所有前提为真的情况下结论必然为真。 所以正确的推理形式保证了如果前提是真的那么结论一定是真的。 重言式的性质就是无论其中的命题变元如何取值整个公式总是为真。把一个正确的推理形式转化为一个逻辑公式时这个公式必然是重言式。因为它满足在前提变元的任何取值组合下只要前提为真结论就为真这与重言式的定义相符合。 二、命题的真值判定方法
如上所说一个推理形式是有效的当且仅当命题形式重言式。也就是判定了一个蕴涵式→或等值式↔是否是重言式就判定了它所代表的推理形式是否正确即判定了相应的推理是否逻辑有效。
为了判定一个命题形式是否为重言式可以寻找一种判定程序这种程序应是机械的并且在有穷步骤内能够完成。
这里主要介绍真值表法和归谬赋值法。
2.1、真值表法
以真值形式 P → Q∧¬Q → ¬P为例。
步骤一找出给定真值形式里的所有变项列出这些变项的各种真值组合。 此例变项为 P、Q其真值组合为 步骤二根据真值形式的构成过程由简而繁地列出一个真值形式的各个组成部分最后一栏为该形式本身。 步骤三计算出每栏中各组成部分的真值最后得出该形式的真值。 由最后一栏可知该形式的真值不是在所有情况下都是 true所以它是可满足式。
书上的2个例子 2.2、归谬赋值法
真值表法涉及到的项数越多表格的行数列数就越多越复杂。
归谬赋值法是为了简化真值表法而被发明出来的它只能处理条件式或能转化成条件式的双条件式双条件式可以分解成两个条件式和析取式也就是等值命题。但是由于需要判定真值的式子往往是条件式它代表了推理形式所以此方法是非常有用的。
它的原理 对于一个条件式 P → Q先假设它为假也就是假设其前件为真而后件为假。如果在这种假设下出现矛盾比如某个变元既真又假那么就说明原蕴含式是重言式如果不出现矛盾就说明原蕴含式不是重言式。 下面用一个例子来说明判断P → Q∧ ¬Q→ ¬P 是否为重言式。
步骤一假设整个式子为假。 因为对于条件式 A → B 为假当且仅当 A 为真而 B 为假见此博文的4.1的第四点。所以令P → Q∧ ¬Q为真¬P 为假。 步骤二对后件进行推导。 此例的后件是 ¬P推导如下 因为 ¬P 为假所以 P 为真。 步骤三对前件进行推导。 此例前件为P → Q∧ ¬Q推导如下 因为P → Q∧ ¬Q为真所以P → Q为真且 ¬Q 为真。因为 ¬Q 为真所以 Q 为假。 步骤四检查是否有矛盾之处。 已知 P 为真、Q 为假、P → Q 为真。这是有矛盾的。 由于假设公式P → Q∧ ¬Q→ ¬P 为假会导致矛盾所以这个公式作为真值函数的值总是true 的也就是这个公式是重言式。
三、命题的自然推理
3.1、一些概念
1、形式语言 一种人工语言按照精确的语法规则和符号系统构建的用于对特定的概念、推理或结构进行严格的表述。 形式语言由两部分构成 符号集包括逻辑常项如 “¬”、“∧”、“∨”、“→”、“↔” 等和逻辑变项如 P、Q、R 等。这是前面一直在使用的。语法规则规定了如何使用符号来组合成公式。 2、逻辑演算系统 用于研究逻辑推理的系统。以形式语言为基础通过明确的规则来对逻辑公式进行变形和推导从而实现对逻辑关系的精确处理。 例
“∧”符号表示的语法规则是“逻辑与”用 P、Q 表示两个命题。
如果 P、Q 都成立那么根据“逻辑与”的性质可以推导P ∧ Q 也成立。
3、公理化系统 一种特殊的逻辑演算系统。它从一组被认为是 “不证自明” 的公理出发通过严格的逻辑推理规则推导出一系列定理。 组成部分 公理基本假设是公理化系统的基础。例如在欧几里得几何公理化系统中“过两点能作且只能作一直线” 就是一条公理。公理都是被设定为真的命题不需要在该系统内进行证明。推理规则和逻辑演算系统类似有一套推理规则用于从公理推导出定理。定理是在公理和推理规则的基础上得到的逻辑结论。例如在几何中根据公理和推理规则可以推导出 “三角形内角和为 180 度” 这样的定理。 特点 严谨性每一个定理都必须基于公理或者已经证明了的其他定理通过严格的逻辑推理得出。这保证了系统的每个部分都是建立在坚实的基础之上。系统性公理化系统试图将一个领域内的所有知识组织成一个连贯的整体。所有的概念、定义、定理等都应该在这个体系内有其明确的位置并且彼此之间存在逻辑联系。非唯一性对于同一个研究对象或领域可能存在多组不同的公理集每组公理都能构建出一套有效的理论体系。不同选择的公理可能会导致完全不同的结果但也可能产生等价的理论体系即两个或多个理论在某种程度上可以互换使用而不影响其有效性。独立性和一致性理想的公理化系统中的公理应该是相互独立的即没有一个公理是可以由其它公理推导出来的并且该系统是一致的即不存在自相矛盾的情况。完备性在一个完备的公理化系统中任何可以用该系统语言表达的命题都可以被证明为真或假。然而哥德尔不完备定理表明在包含足够复杂算术的任何形式系统中总会存在一些命题既不能被证明也不能被证伪。解释性公理化系统可以用于描述现实世界的现象也可以作为抽象思维的工具。它们提供了一种方式来探索和理解复杂的概念和关系。 4、自然推理系统 一种形式化的逻辑演算系统在形式语言的基础上增加若干推理规则无须设定公理而构成。 它的特点是更贴近人们日常的思维和推理方式。它没有像公理化系统那样预先设定的公理而是以假设和推理规则为核心通过引入和消除假设来进行逻辑推导。 例
出门是否带伞的决策过程
假设引入早上你看到天气预报说有的降雨概率。你在考虑出门是否要带伞此时你引入一个假设“今天会下雨”。这就相当于在自然推理系统中引入了一个假设用于后续的推理。推理过程基于 “今天会下雨” 这个假设你开始思考。如果下雨你不带伞就会被淋湿而你不想被淋湿所以你需要带伞来避免被淋湿。推理过程就是根据假设和一些已知的规则在这个例子中规则是 “下雨且不带伞会被淋湿” 以及 “不想被淋湿”进行推导。假设消除最后你得出一个结论“如果今天会下雨那么我就带伞”。这个结论就相当于把之前引入的 “今天会下雨” 这个假设进行了消除将其整合进了一个条件语句中。现在这个结论不再依赖于 “今天真的会下雨” 这个假设本身是否成立。即使最后没有下雨这个条件语句在逻辑上依然是合理的。
3.2、自然推理系统的主要规则 同一律A → A假言推理如果前提中有 A 和 A → B则可以推出 B。条件引入如果在假设 A 的情况下可以推导出 B那么可以得出 A → B 的推论。合取引入如果前提中有 A 和 B则可以得出 A ∧ B 的推论。合取消除如果前提中有 A ∧ B则可以推出 A 和 B。析取引入如果前提中有 A则可以得出 A ∨ B同样地如果前提中有 B则可以得出 A ∨ B。析取消除如果前提中有 A ∨ B并且从 A 可以推导出 C从 B 也可以推导出 C则可以得出 C。归谬法如果在假设 A 的情况下可以推导出矛盾 B ∧ ¬B那么可以得出 ¬A。双重否定消除前提中有 ¬¬A则可以得出 A。等值引入如果从 A 可以推导出 B并且从 B 可以推导出 A则可以得出 A ↔ B。可以在推导中的任何地方引入一个公式作为假设前提。 这11条主要规则中前面10条都非常简单容易理解。 第11条的要说明的是只要能在推理过程中把前面引入的假设消除掉如使用规则3、7、8、10来消除假设使结论不再依赖于假设而存在就可以随意引入。 例
使用自然推理证明如果一个平面图形是三角形P那么它的三个内角和等于180°Q。 引入假设根据规则11引入假设 P即假设 “一个平面图形是三角形”。依据几何知识推导已知如果一个平面图形是三角形那么根据欧几里得几何学的公理可知它的三个内角和等于 180°也就是在假设 P 成立的情况下能够得到 Q 成立。这里相当于利用了利用外部知识几何学原理来辅助逻辑推理过程。运用条件引入规则得出结论因为我们在假设 P 的情况下推导出了 Q 根据上述规则3如果在假设 P 的情况下可以推导出 Q那么可以得出 P → Q 的推论。也就是使用规则3消除了假设使得结论不再依赖于假设即使一个图形平面不是三角形“如果一个平面图形是三角形那么它的三个内角和等于180°”也是成立的。 四、练习题 1、p→q∧r→q∧p∨r→q 先假设前件真而后件假后件假即q为假前件真则p→q为真r→q为真p∨r为真q为假p→q为真则可知p为假p为假r→q为真则可知r为假p为假且r为假与p∨r为真矛盾了所以假设不成立该式是重言式。 2、p→q∧p→r↔p→q∨r 根据此博文的4.1的第6点。先假设这个等值式的负命题成立即前后件不等值。 1、前件真而后件假的情况 p→q∧p→r为真则p→q、p→r为真p→q∨r为假则p真、q∨r为假q∨r为假即q为假和r也为假p→q为真则p和q同真假这已经与上面的推理不符合所以负命题前件真后件假的情况不成立。 2、前件假而后件真的情况 p→q∧p→r为假则p→q、p→r二者至少有一个是假的p→q为假时p为真q为假。这时候p真q假r不确定。p→r为假时p为真r为假。这时候p真q不确定r假。也就是可以确定p为真的q和r中至少一个是假的。p→q∨r为真则有两种情况情况Ap为假则q和r的真假不能确定这与上面p为真的推理不符合。情况Bp为真则q和r都为真这与上面q和r中至少一个是假的推理不符合。所以负命题前件假而后件真的情况不成立。 所以假设不成立该式是重言式。 3、p→q∧q→r→p→r 先假设前件真而后件假p→r假则p为真r为假p→q∧q→r真则p→q、q→r都是真p→q为真且p为真所以q为真q为真r为假这与q→r为真矛盾了所以假设不成立该式是重言式。 1、p∧p→p 使用合取消除规则如果前提中有 A ∧ B则可以推出 A 和 B从 p∧p 可以推出p。
