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1、问题描述 某宾馆有150间客房#xff0c;经过一段时间的经营#xff0c;该宾馆经理得到一些数据#xff1a;如果每间客房定价为200元#xff0c;入住率为55#xff05;#xff1b;定价为180元#xff0c;入住率为65#xff05;#xff1b;定价为160元…一、入门示例1
1、问题描述 某宾馆有150间客房经过一段时间的经营该宾馆经理得到一些数据如果每间客房定价为200元入住率为55定价为180元入住率为65定价为160元入住率为75定价为140元入住率为85。 经理想要使每天的收入最高问每间客房的定价应为多少
2、模型假设 假设1每间客房的最高定价为200元。 假设2根据题目提供的数据可设随着房价的下降入住率呈线性增长。 假设3宾馆的每间客房的定价相等。
3、模型建立 设表示宾馆一天的总收入与200元相比每间客房降低的房价为元。由假设2可得每降低1元房价入住率就增加。 因此150间客房最高房价2001元入住率为0.005可以如下公式 由可知。于是问题转化为求当时总收入的最大值是多少
4、模型求解 我们整理一下上面的方程。 然后利用一元函数微分令 可得当即房价定为155元时可获得最高收入18018.75元。此时相应的入住率为77.5。
二、入门示例2
1、问题描述 人口统计学家已经发现每个城市的市中心人口密度最大离市中心越远人口越稀少、密度越小。最为常见的人口密度模型为每平方千米人口数其中为大于0的常数是距市中心的距离。如何求某城市的总人口数 根据相关数据某城市市中心的人口密度为。 在距离市中心10km时的人口密度为。 该城市为半径30km的圆形区域。
2、问题分析 为了确定区间设市中心位于坐标原点于是从而人口密度函数为。
3、模型求解 先确定人口密度中的常数ac。 由可得 因此人口密度函数为 从而该城市的总人口数就是人口密度函数的积分其中积分区域D为即
