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一、基于强化学习DQN的股票预测【股票交易】 二、基于CNN的股票预测方法【卷积神经网络】 三、基于隐马尔可夫模型的股票预测【HMM】 文章目录 基于机器学习方法的股票预测系列文章目录一、HMM模型简介#xff08;1#xff09;前向后…基于机器学习方法的股票预测系列文章目录
一、基于强化学习DQN的股票预测【股票交易】 二、基于CNN的股票预测方法【卷积神经网络】 三、基于隐马尔可夫模型的股票预测【HMM】 文章目录 基于机器学习方法的股票预测系列文章目录一、HMM模型简介1前向后向算法2概率计算3对数似然函数4Baum-Welch算法5预测下一个观测值6Kmeans参数初始化 二、Python代码分析1高斯分布函数2GaussianHMM 类1 初始化2 K-means参数初始化3 前向算法4 后向算法5 观测概率计算6 Baum-Welch算法7 预测8 预测更多时刻9 解码 3总结 三、实验分析1对股票指数建模的模型参数2不同states下的对数似然变化3不同states下的股票指数拟合效果4不同states下的误差及MSE5HMM模型单支股票预测小结6多支股票训练模型 本文探讨了利用隐马尔可夫模型Hidden Markov Model, HMM进行股票预测的建模方法并详细介绍了模型的原理、参数初始化以及实验分析。HMM模型通过一个隐藏的马尔可夫链生成不可观测的状态序列并由这些状态生成观测序列。本文假设观测概率分布为高斯分布并利用前向后向算法进行概率计算和参数估计完整代码放在GitHub上——Stock-Prediction-Using-Machine-Learing。
一、HMM模型简介
隐马尔可夫模型 (Hidden Markov Model, HMM模型 是关于时序的概率模型, 描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列, 再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。HMM模型有两个基本假设
齐次马尔可夫性假设: 即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻t的状态只依赖于其前一时刻的状态, 与其他时刻的状态及观测无关, 也与时刻 t无关。观测独立性假设: 即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态与其他观测及状态无关。
隐马尔可夫模型由初始概率分布 π \pi π 、状态转移概率分布 A A A 以及观测概率分布 B B B 确定, 故可将隐马尔可夫模型 λ \lambda λ 用三元符号表示: λ ( A , B , π ) \lambda(A, B, \pi) λ(A,B,π) 在本次股票预测中, 可假设观测概率分布为 P ( x ∣ i ) 1 ( 2 π ) d ∣ Σ i ∣ exp ( − 1 2 ( x − μ i ) T Σ i − 1 ( x − μ i ) ) P(x \mid i)\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{d}\left|\Sigma_{i}\right|}} \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{i}\right)^{T} \Sigma_{i}^{-1}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{i}\right)\right) P(x∣i)(2π)d∣Σi∣ 1exp(−21(x−μi)TΣi−1(x−μi)) 由此得到高斯隐马尔可夫模型。
股票价格是可以看作连续值所以利用隐马尔可夫模型对股票进行建模时假设观测概率为高斯分布然后便可以进行HMM模型参数估计、相应的概率计算详细原理下面展开叙述。
1前向后向算法
前向算法: 给定隐马尔可夫模型 λ \lambda λ, 定义到时刻t部分观测序列为 x 1 , x 2 , ⋯ ⋯ , x t x_{1}, x_{2}, \cdots \cdots, x_{t} x1,x2,⋯⋯,xt, 且状态为 i的概率为前向概率, 记作: α t ( i ) P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x t , i t i ∣ λ ) \alpha_{t}(i)P\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{t}, i_{t}i \mid \lambda\right) αt(i)P(x1,x2,⋯,xt,iti∣λ) 后向算法: 给定隐马尔可夫模型 λ \lambda λ, 定义到时刻t部分观测序列为 x 1 , x 2 , ⋯ ⋯ , x t \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \cdots \cdots, \mathrm{x}_{t} x1,x2,⋯⋯,xt, 且状态为 i \mathrm{i} i 的概率为后向概率, 记作 β t ( i ) P ( x t 1 , x t 2 , ⋯ , x T ∣ i t i , λ ) \beta_{t}(i)P\left(x_{t1}, x_{t2}, \cdots, x_{T} \mid i_{t}i, \lambda\right) βt(i)P(xt1,xt2,⋯,xT∣iti,λ) 为避免计算过程中数值的上溢与下溢, 作如下处理, 令: S α , t 1 max i α t ( i ) , S β , t 1 max i β t ( i ) α t ( i ) S α , t α t ( i ) , β t ( i ) S β , t β t ( i ) \begin{aligned} S_{\alpha, t} \frac{1}{\max _{i} \alpha_{t}(i)}, S_{\beta, t}\frac{1}{\max _{i} \beta_{t}(i)} \\ \alpha_{t}(i) S_{\alpha, t} \alpha_{t}(i), \beta_{t}(i)S_{\beta, t} \beta_{t}(i) \end{aligned} Sα,tαt(i)maxiαt(i)1,Sβ,tmaxiβt(i)1Sα,tαt(i),βt(i)Sβ,tβt(i)
2概率计算
推导可知, 给定模型 λ \lambda λ 和观测 O O O, 在时刻 t t t 处于i的概率记为: γ t ( i ) α t ( i ) β t ( i ) ∑ j α t ( j ) β t ( j ) \gamma_{t}(i)\frac{\alpha_{t}(i) \beta_{t}(i)}{\sum_{j} \alpha_{t}(j) \beta_{t}(j)} γt(i)∑jαt(j)βt(j)αt(i)βt(i) 给定模型 λ \lambda λ 和观测 O O O, 在时刻 t t t 处于状态i且在时刻 t 1 \mathrm{t}1 t1 处于状态 j \mathrm{j} j 的概率记为 γ t , t 1 ( i , j ) α t ( i ) P ( j ∣ i ) β t 1 ( j ) P ( x t 1 ∣ j ) ∑ k , l α t ( k ) P ( l ∣ k ) β t 1 ( l ) P ( x t 1 ∣ l ) \gamma_{t, t1}(i, j)\frac{\alpha_{t}(i) P(j \mid i) \beta_{t1}(j) P\left(\boldsymbol{x}_{t1} \mid j\right)}{\sum_{k, l} \alpha_{t}(k) P(l \mid k) \beta_{t1}(l) P\left(\boldsymbol{x}_{t1} \mid l\right)} γt,t1(i,j)∑k,lαt(k)P(l∣k)βt1(l)P(xt1∣l)αt(i)P(j∣i)βt1(j)P(xt1∣j)
3对数似然函数
在利用最大似然对HMM模型进行参数估计的时候其对数似然函数如下 L log P ( O ∣ λ ) log ∑ i 1 N α T ( i ) \begin{aligned} L \log P(O \mid \lambda) \\ \log \sum_{i1}^{N} \alpha_{T}(i) \end{aligned} LlogP(O∣λ)logi1∑NαT(i) 因为每次进行了归一化: α t ( i ) S α , t ⋅ α t ( i ) \alpha_{t}(i)S_{\alpha, t} \cdot \alpha_{t}(i) αt(i)Sα,t⋅αt(i) 递推到T时可得: α T ( i ) S α , 1 ⋅ S α , 2 ⋯ S α , T ⋅ α T ( i ) \alpha_{T}(i)S_{\alpha, 1} \cdot S_{\alpha, 2} \cdots S_{\alpha, T} \cdot \alpha_{T}(i) αT(i)Sα,1⋅Sα,2⋯Sα,T⋅αT(i) 故最终对数似然函数为: L log P ( O ∣ λ ) log ∑ i 1 N α T ( i ) log ∑ i 1 N α T ( i ) Π i 1 T S α , i log ∑ i 1 N α T ( i ) − ∑ i 1 T log S α , i \begin{aligned} L \log P(O \mid \lambda) \\ \log \sum_{i1}^{N} \alpha_{T}(i) \\ \log \sum_{i1}^{N} \frac{\alpha_{T}(i)}{\Pi_{i1}^{T} S_{\alpha, i}} \\ \log \sum_{i1}^{N} \alpha_{T}(i)-\sum_{i1}^{T} \log S_{\alpha, i} \end{aligned} LlogP(O∣λ)logi1∑NαT(i)logi1∑NΠi1TSα,iαT(i)logi1∑NαT(i)−i1∑TlogSα,i
4Baum-Welch算法
模型参数的学习问题,即给定观测序列 O { O 1 , O 2 , … , O T } O\{O_1,O_2,…,O_T\} O{O1,O2,…,OT}估计模型 λ ( A , B , π ) λ(A,B,\pi) λ(A,B,π)的参数,对HMM模型参数的估计可以由监督学习和非监督学习的方法实现而Baum-Welch算法是监督学习的方法。Baum-Welch算法是EM算法在隐马尔可夫模型学习中的具体实现, 由BW算法可推知隐马尔可夫模型的参数递推表达式:
初始状态概率向量: π ( i ) ∑ X γ 1 X ( i ) ∑ X 1 \pi(i)\frac{\sum_{X} \gamma_{1}^{X}(i)}{\sum_{X} 1} π(i)∑X1∑Xγ1X(i)状态转移概率矩阵: P ( j ∣ i ) ∑ t 1 T − 1 γ t , t 1 ( i , j ) ∑ t 1 T − 1 γ t ( i ) P(j \mid i)\frac{\sum_{t1}^{T-1} \gamma_{t, t1}(i, j)}{\sum_{t1}^{T-1} \gamma_{t}(i)} P(j∣i)∑t1T−1γt(i)∑t1T−1γt,t1(i,j)观测概率矩阵: μ i ∑ t γ t ( i ) x t ∑ t γ t ( i ) , Σ i ∑ t γ t ( i ) ( x t − μ i ) ( x t − μ i ) T ∑ t γ t ( i ) \boldsymbol{\mu}_{i}\frac{\sum_{t} \gamma_{t}(i) \boldsymbol{x}_{t}}{\sum_{t} \gamma_{t}(i)}, \Sigma_{i}\frac{\sum_{t} \gamma_{t}(i)\left(\boldsymbol{x}_{t}-\mu_{i}\right)\left(\boldsymbol{x}_{t}-\mu_{i}\right)^{T}}{\sum_{t} \gamma_{t}(i)} μi∑tγt(i)∑tγt(i)xt,Σi∑tγt(i)∑tγt(i)(xt−μi)(xt−μi)T
通过前后向算法可以得到相应的概率值然后将相应的概率值代入上面的递推表达式进行迭代便可以得到HMM模型的参数。
5预测下一个观测值
由 α t ( i ) \alpha_{\mathrm{t}}(i) αt(i) 的定义, 给定观测序列 x 1 : t \boldsymbol{x}_{1: t} x1:t, 状态为 i \mathrm{i} i 的概率为 P ( i ∣ x 1 : t ) α t ( i ) ∑ j α t ( j ) P\left(i \mid \boldsymbol{x}_{1: t}\right)\frac{\alpha_{t}(i)}{\sum_{j} \alpha_{t}(j)} P(i∣x1:t)∑jαt(j)αt(i) 则给定观测序列 x 1 : t , t 1 x_{1: t}, t1 x1:t,t1 时刻伏态为 j \mathrm{j} j 的概率为: ∑ i P ( i ∣ x 1 : t ) P ( j ∣ i ) \sum_{i} P\left(i \mid \boldsymbol{x}_{1: t}\right) P(j \mid i) ∑iP(i∣x1:t)P(j∣i), 从而由全概率公式 t 1 t1 t1 时刻观测值为 x t 1 \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{t}1} xt1 的概率为: P ( x t 1 ∣ x 1 : t ) ∑ j P ( x ∣ j ) ∑ i P ( i ∣ x 1 : t ) P ( j ∣ i ) P\left(\boldsymbol{x}_{t1} \mid \boldsymbol{x}_{1: t}\right)\sum_{j} P(\boldsymbol{x} \mid j) \sum_{i} P\left(i \mid \boldsymbol{x}_{1: t}\right) P(j \mid i) P(xt1∣x1:t)j∑P(x∣j)i∑P(i∣x1:t)P(j∣i) 由最小均方误差估计(MMSE), 可得 t 1 t1 t1 时刻观测值 x t 1 x_{t1} xt1 的估计值为: x ^ t 1 E [ x t 1 ∣ x 1 : t ] \hat{\boldsymbol{x}}_{t1}E\left[\boldsymbol{x}_{t1} \mid \boldsymbol{x}_{1: t}\right] x^t1E[xt1∣x1:t] 即 x ^ t 1 ∑ i P ( i ∣ x 1 : t ) ∑ j P ( j ∣ i ) E ( x ∣ j ) \hat{\boldsymbol{x}}_{t1}\sum_{i} P\left(i \mid \boldsymbol{x}_{1: t}\right) \sum_{j} P(j \mid i) E(\boldsymbol{x} \mid j) x^t1i∑P(i∣x1:t)j∑P(j∣i)E(x∣j)
6Kmeans参数初始化
在利用HMM可夫模型进行建模的过程中我们发现模型对参数的初始化十分敏感不同的初始化最后得到的模型效果差异非常的经过不同的方法尝试我们发现利用Kmeans的方法对模型进行初始化效果非常好。利用Kmeans初始化的步骤如下
选定HMM模型隐状态数n将股票收盘价数据聚为n类令模型参数中观测矩阵的初始均值聚类中心的值
二、Python代码分析
Github上的hmm.py文件实现了一个高斯隐马尔可夫模型Gaussian Hidden Markov Model, GaussianHMM用于时间序列数据的建模和预测。模型通过EM算法Baum-Welch算法进行参数估计并包含前向后向算法、预测和解码等功能主要函数和方法如下。
1高斯分布函数
def gauss2D(x, mean, cov):z -np.dot(np.dot((x-mean).T,inv(cov)),(x-mean))/2.0temp pow(sqrt(2.0*pi),len(x))*sqrt(det(cov))return (1.0/temp)*exp(z)该函数计算二元高斯分布的概率密度。输入为样本点x均值mean和协方差矩阵cov。
2GaussianHMM 类
1 初始化
class GaussianHMM:def __init__(self, n_state1, x_size1, iter20, if_kmeansTrue):self.n_state n_stateself.x_size x_sizeself.start_prob np.ones(n_state) * (1.0 / n_state)self.transmat_prob np.ones((n_state, n_state)) * (1.0 / n_state)self.trained Falseself.n_iter iterself.observe_mean np.zeros((n_state, x_size))self.observe_vars np.zeros((n_state, x_size, x_size))for i in range(n_state): self.observe_vars[i] np.random.randint(0,10)self.kmeans if_kmeans该函数初始化HMM模型的参数包括隐状态数n_state、输入维度x_size、EM算法迭代次数iter、是否使用KMeans进行初始化if_kmeans等。
2 K-means参数初始化
def _init(self, X):mean_kmeans cluster.KMeans(n_clustersself.n_state)mean_kmeans.fit(X)if self.kmeans:self.observe_mean mean_kmeans.cluster_centers_print(聚类初始化成功)else:self.observe_mean np.random.randn(self.n_state, 1) * 2print(随机初始化成功)for i in range(self.n_state):self.observe_vars[i] np.cov(X.T) 0.01 * np.eye(len(X[0]))通过K-means聚类方法对观测矩阵的均值进行初始化并计算协方差矩阵。
3 前向算法
def forward(self, X):X_length len(X)alpha np.zeros((X_length, self.n_state))alpha[0] self.observe_prob(X[0]) * self.start_probS_alpha np.zeros(X_length)S_alpha[0] 1 / np.max(alpha[0])alpha[0] alpha[0] * S_alpha[0]for i in range(X_length):if i 0:continuealpha[i] self.observe_prob(X[i]) * np.dot(alpha[i - 1], self.transmat_prob)S_alpha[i] 1 / np.max(alpha[i])if S_alpha[i] 0:continuealpha[i] alpha[i] * S_alpha[i]return alpha, S_alpha计算前向概率并进行归一化处理防止数值上溢或下溢。
4 后向算法
def backward(self, X):X_length len(X)beta np.zeros((X_length, self.n_state))beta[X_length - 1] np.ones((self.n_state))S_beta np.zeros(X_length)S_beta[X_length - 1] np.max(beta[X_length - 1])beta[X_length - 1] beta[X_length - 1] / S_beta[X_length - 1]for i in reversed(range(X_length)):if i X_length - 1:continuebeta[i] np.dot(beta[i 1] * self.observe_prob(X[i 1]), self.transmat_prob.T)S_beta[i] np.max(beta[i])if S_beta[i] 0:continuebeta[i] beta[i] / S_beta[i]return beta计算后向概率并进行归一化处理。
5 观测概率计算
def observe_prob(self, x):prob np.zeros((self.n_state))for i in range(self.n_state):prob[i] gauss2D(x, self.observe_mean[i], self.observe_vars[i])return prob计算当前观测值在各个隐状态下的观测概率。
6 Baum-Welch算法
def train(self, X):self.trained TrueX_length len(X)self._init(X)print(开始训练)start_time time.time()self.L []for _ in tqdm(range(self.n_iter)):alpha, S_alpha self.forward(X)beta self.backward(X)L np.log(np.sum(alpha[-1])) - np.sum(np.log(S_alpha))self.L.append(L)post_state alpha * beta / (np.sum(alpha * beta, axis1)).reshape(-1, 1)post_adj_state np.zeros((self.n_state, self.n_state))for i in range(X_length):if i 0:continuenow_post_adj_state np.outer(alpha[i - 1], beta[i] * self.observe_prob(X[i])) * self.transmat_probpost_adj_state now_post_adj_state / np.sum(now_post_adj_state)self.start_prob post_state[0] / np.sum(post_state[0])for k in range(self.n_state):self.transmat_prob[k] post_adj_state[k] / np.sum(post_adj_state[k])self.observe_prob_updated(X, post_state)total_time time.time() - start_timeprint(f训练完成,耗时{round(total_time, 2)}sec)通过Baum-Welch算法进行模型参数的估计。包括E步骤计算前向后向概率和后验概率和M步骤更新模型参数。
7 预测
def predict(self, origin_X, t):X origin_X[:t]alpha, _ self.forward(X)post_state alpha / (np.sum(alpha, axis1)).reshape(-1, 1)now_post_state post_statex_pre 0for state in range(self.n_state):p_state now_post_state[:, state]temp 0for next_state in range(self.n_state):temp self.observe_mean[next_state] * self.transmat_prob[state][next_state]x_pre p_state * tempreturn x_pre预测时刻t的观测值。
8 预测更多时刻
def predict_more(self, origin_X, t):X origin_X.copy()X_length len(X)while X_length t:alpha, _ self.forward(X)post_state alpha / (np.sum(alpha, axis1)).reshape(-1, 1)now_post_state post_statex_pre 0for state in range(self.n_state):p_state now_post_state[:, state]temp 0for next_state in range(self.n_state):temp self.observe_mean[next_state] * self.transmat_prob[state][next_state]x_pre p_state * tempX np.concatenate([X, x_pre[-1].reshape(-1, 1)])X_length 1return X预测更多时刻的观测值。
9 解码
def decode(self, X):X_length len(X)state np.zeros(X_length)pre_state np.zeros((X_length, self.n_state))max_pro_state np.zeros((X_length, self.n_state))max_pro_state[0] self.observe_prob(X[0]) * self.start_probfor i in range(X_length):if i 0:continuefor k in range(self.n_state):prob_state self.observe_prob(X[i])[k] * self.transmat_prob[:, k] * max_pro_state[i - 1]max_pro_state[i][k] np.max(prob_state)pre_state[i][k] np.argmax(prob_state)state[X_length - 1] np.argmax(max_pro_state[X_length - 1, :])for i in reversed(range(X_length)):if i X_length - 1:continuestate[i] pre_state[i 1][int(state[i 1])]return state利用维特比算法解码观测序列求其最可能的隐藏状态序列。
3总结
该代码实现了一个功能完备的高斯隐马尔可夫模型GaussianHMM包括初始化、前向后向算法、Baum-Welch算法进行参数估计、预测和解码等功能。通过K-means聚类进行初始化可以提高模型的初始参数设置从而提高模型的训练效果。
三、实验分析
1对股票指数建模的模型参数
以DJ指数的收盘价为观测序列, 隐状态数量states分别设为 4 , 8 , 16 , 32 4,8,16,32 4,8,16,32, 我们得到了不同情况下的HMM模型, 其中以states 8 8 8 为例, 学习得到的参数为:
初始概率分布: ( 0.000044 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.999956 ) (\begin{array}{lllllll}0.000044 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.999956\end{array}) (0.0000440.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.999956)
状态转移概率矩阵: ( 0.9498 0 0 0 0 0 0.0317 0.0185 0 0.9729 0 0 0.0158 0.0113 0 0 0 0 0.9433 0 0 0.0205 0.0362 0 0 0 0 0.9923 0.0077 0 0 0 0 0.0338 0 0.0178 0.9484 0 0 0 0 0.0091 0.0136 0 0 0.9773 0 0 0.0242 0 0.0296 0 0 0 0.9462 0 0.0238 0 0 0 0 0 0 0.9762 ) \left(\begin{array}{rrrrrrrr}0.9498 0 0 0 0 0 0.0317 0.0185 \\ 0 0.9729 0 0 0.0158 0.0113 0 0 \\ 0 0 0.9433 0 0 0.0205 0.0362 0 \\ 0 0 0 0.9923 0.0077 0 0 0 \\ 0 0.0338 0 0.0178 0.9484 0 0 0 \\ 0 0.0091 0.0136 0 0 0.9773 0 0 \\ 0.0242 0 0.0296 0 0 0 0.9462 0 \\ 0.0238 0 0 0 0 0 0 0.9762\end{array}\right) 0.9498000000.02420.023800.9729000.03380.009100000.9433000.01360.029600000.99230.017800000.015800.00770.948400000.01130.0205000.9773000.031700.03620000.946200.01850000000.9762
观测概率分布: 均值: ( 12519.93 9640.24 10388.37 13541.56 13009.42 12052.83 8276.14 11241.26 ) (\begin{array}{llllllll}12519.93 9640.24 10388.37 13541.56 13009.42 12052.83 8276.14 11241.26\end{array}) (12519.939640.2410388.3713541.5613009.4212052.838276.1411241.26) 协方差: ( 23834.89 71700.85 45532.26 57449.12 26262.64 28852.07 338454.89 68110.31 ) (23834.89 \quad 71700.85 \quad 45532.26 \quad 57449 .12 \quad 26262.64 \quad 28852.07 \quad 338454.89 \quad 68110 .31) (23834.8971700.8545532.2657449.1226262.6428852.07338454.8968110.31)
我们可以看到模型最终参数中观测概率分布中的均值和一开始聚类初始化的均值十分接近这也是为什么Kmeans均值初始化效果非常好的原因。
2不同states下的对数似然变化
不同states下的对数似然变化情况如下图所示 我们可以看到随着迭代次数的增加对数似然越来越大说明模型拟合效果越来越好。并且隐状态数目越多最终对数似然函数值也越大说明隐状态越多模型效果越好。
3不同states下的股票指数拟合效果
不同states下的股票指数拟合效果如下图所示 由上面不同隐状态下模型拟合效果图可知states数越多模型拟合效果越好但是需要根据BIC和AIC准则以及训练模型的代价以及是否过拟合等方面来进行模型选择。
4不同states下的误差及MSE
不同states下的误差及MSE如下图所示 观察图中数据可知states数越多绝对误差与MSE越小说明拟合效果越好。
5HMM模型单支股票预测小结
以DJI指数的收盘价为观测序列隐状态数量states分别设为4,8,16,32我们得到了不同情况下的HMM模型并比较了训练所消耗时间训练结果的AIC、BIC预测结果的平均误差、均方误差结果如下表所示
StatesTrain TimesAICBICMean ErrorMSE425.84 sec20237.6520258.46384.13242865.78846.93 sec18827.6618869.28217.1892793.061678.43 sec17752.7717836.00145.2440568.6332147.48 sec17074.8417241.30114.5125777.90
我们可以看到随着隐状态数的增加
模型的拟合误差不断减小AIC和BIC指数不断上升对数似然也越来越大但是模型训练时间也成倍上升
所以在实际应用的过程中我们需要考虑模型越复杂带来提升的效果和代价并且在两者之间找到一个权衡而在后面的对比分析中我们便采用的是隐状态数16。关于AIC和BIC的介绍可以看我这篇文章——时间序列分析入门概念、模型与应用【ARMA、ARIMA模型】。
6多支股票训练模型
在前面的分析中我们是对单只股票或者股票指数进行HMM建模但事实上可以利用HMM对多只股票进行建模这时多只股票共用同一个HMM参数和隐状态序列我们以AAPL单支股票训练HMM模型得到如下结果 可以看到单只股票建模相对误差率为3.1%我们以AAPL与BAC、AAPL与C为例训练模型得到的预测效果如下图所示 观察上两图知多支股票数据训练出来的模型效果不如单支股票的效果且由相关性分析知相关性越大的两支股票组成的数据训练出的模型有更好的预测效果。不过这里面的原因可能比较复杂有可能有负迁移的影响不相关的股票数据导致共同建模效果反而不好。
