超级大气的一款工作室网站制作网络科技公司站点源码直接可用,app营销的特点,化妆网站源码,农安县建设局官方网站前两篇文章介绍了离散时间的批量估计、离散时间的递归平滑#xff0c;本文着重介绍离散时间的递归滤波。
前两篇位置#xff1a;【状态估计】线性高斯系统的状态估计——离散时间的批量估计、【状态估计】线性高斯系统的状态估计——离散时间的递归平滑。 离散时间的递归滤波…前两篇文章介绍了离散时间的批量估计、离散时间的递归平滑本文着重介绍离散时间的递归滤波。
前两篇位置【状态估计】线性高斯系统的状态估计——离散时间的批量估计、【状态估计】线性高斯系统的状态估计——离散时间的递归平滑。 离散时间的递归滤波算法
批量优化的方案及其对应的平滑算法方案是LG问题下能找到的最好的方法了。它利用了所有能用的数据来估计所有时刻的状态。不过这个方法有一个致命的问题无法在线运行因为它需要用未来时刻的信息估计过去的状态。为了在实时场合下使用当前时刻的状态只能由它之前时间的信息决定而卡尔曼滤波则是对这样一个问题的传统解决方案。
之前讲述了如何从Cholesky分解推导出卡尔曼滤波实际上并不需要这么复杂接下来介绍几种推导卡尔曼滤波的方法。
通过MAP推导卡尔曼滤波
假设已经有了 k − 1 k-1 k−1时刻的前向估计 { x ^ k − 1 , P ^ k − 1 } \{\hat x_{k-1},\hat P_{k-1}\} {x^k−1,P^k−1}
这两个量是根据初始时刻到 k − 1 k-1 k−1时刻的数据推导出来的。目标是计算 { x ^ k , P ^ k } \{\hat x_k,\hat P_k\} {x^k,P^k}
其中需要用到直到 k k k时刻的数据。实际上没有必要再从初始时刻开始而是简单地用 k − 1 k-1 k−1时刻的状态以及 k k k时刻的 v k v_k vk、 y k y_k yk就能估计出 k k k时刻的状态了 { x ^ k − 1 , P ^ k − 1 , v k , y k } − − { x ^ k , P ^ k } \{\hat x_{k-1},\hat P_{k-1},v_k,y_k\}--\{\hat x_k,\hat P_k\} {x^k−1,P^k−1,vk,yk}−−{x^k,P^k}
为了推导这个过程定义 z [ x ^ k − 1 v k y k ] z\begin{bmatrix}\hat x_{k-1}\\v_k\\y_k\end{bmatrix} z x^k−1vkyk H [ 1 − A k − 1 1 C k ] H\begin{bmatrix}1\\-A_{k-1}1\\C_k\end{bmatrix} H 1−Ak−11Ck W [ P ^ k − 1 Q k R k ] W\begin{bmatrix}\hat P_{k-1}\\Q_k\\R_k\end{bmatrix} W P^k−1QkRk x ^ [ x ^ k − 1 ′ x ^ k ] \hat x\begin{bmatrix}\hat x_{k-1}^{}\\\hat x_k\end{bmatrix} x^[x^k−1′x^k]
其中 x ^ k − 1 ′ \hat x_{k-1}^{} x^k−1′表示使用了直到 k k k时刻的数据计算的 k − 1 k-1 k−1时刻的状态估计而 x ^ k − 1 \hat x_{k-1} x^k−1表示使用了直到 k − 1 k-1 k−1时刻的数据计算的 k − 1 k-1 k−1时刻的状态估计两者之间相差一个 k k k时刻的后向估计。
通常MAP的最优解 x ^ \hat x x^写成 ( H T W − 1 H ) x ^ H T W − 1 z (H^TW^{-1}H)\hat xH^TW^{-1}z (HTW−1H)x^HTW−1z
将上面的定义代入 [ P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 − A k − 1 T Q k − 1 − Q k − 1 A k − 1 Q k − 1 C k T R k − 1 C k ] [ x ^ k − 1 ′ x ^ k ] [ P ^ k − 1 − 1 x ^ k − 1 − A k − 1 T Q k − 1 v k Q k − 1 v k C k T R k − 1 y k ] \begin{bmatrix}\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1}-A_{k-1}^TQ_k^{-1}\\-Q_k^{-1}A_{k-1}Q_k^{-1}C_k^TR_k^{-1}C_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat x_{k-1}^{}\\\hat x_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat P_{k-1}^{-1}\hat x_{k-1}-A_{k-1}^TQ_k^{-1}v_k\\Q_k^{-1}v_kC^T_kR_k^{-1}y_k\end{bmatrix} [P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1−Qk−1Ak−1−Ak−1TQk−1Qk−1CkTRk−1Ck][x^k−1′x^k][P^k−1−1x^k−1−Ak−1TQk−1vkQk−1vkCkTRk−1yk]
由于并不关心 x ^ k − 1 ′ \hat x_{k-1}^{} x^k−1′的实际值因此可以将它边缘化等式两侧左乘 [ 1 0 Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 1 ] \begin{bmatrix}10\\Q_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}1\end{bmatrix} [1Qk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−101]
这是一元线性方程的行操作于是变成 [ P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 − A k − 1 T Q k − 1 0 Q k − 1 − Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 A k − 1 T Q k − 1 C k T R k − 1 C k ] [ x ^ k − 1 ′ x ^ k ] [ P ^ k − 1 − 1 x ^ k − 1 − A k − 1 T Q k − 1 v k Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 ( P ^ k − 1 − 1 x ^ k − 1 − A k − 1 T Q k − 1 v k ) Q k − 1 v k C k T R k − 1 y k ] \begin{bmatrix}\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1}-A_{k-1}^TQ_k^{-1}\\0Q_k^{-1}-Q_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}C_k^TR_k^{-1}C_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat x_{k-1}^{}\\\hat x_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat P_{k-1}^{-1}\hat x_{k-1}-A_{k-1}^TQ_k^{-1}v_k\\Q_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}(\hat P_{k-1}^{-1}\hat x_{k-1}-A_{k-1}^TQ_k^{-1}v_k)Q_k^{-1}v_kC_k^TR_k^{-1}y_k\end{bmatrix} [P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−10−Ak−1TQk−1Qk−1−Qk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1Ak−1TQk−1CkTRk−1Ck][x^k−1′x^k][P^k−1−1x^k−1−Ak−1TQk−1vkQk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1(P^k−1−1x^k−1−Ak−1TQk−1vk)Qk−1vkCkTRk−1yk]
因此只需要关注 x ^ k \hat x_k x^k ( Q k − 1 − Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 A k − 1 T Q k − 1 C k T R k − 1 C k ) x ^ k Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 ( P ^ k − 1 − 1 x ^ k − 1 − A k − 1 T Q k − 1 v k ) Q k − 1 v k C k T R k − 1 y k (Q_k^{-1}-Q_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}C_k^TR_k^{-1}C_k)\hat x_kQ_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}(\hat P_{k-1}^{-1}\hat x_{k-1}-A_{k-1}^TQ_k^{-1}v_k)Q_k^{-1}v_kC_k^TR_k^{-1}y_k (Qk−1−Qk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1Ak−1TQk−1CkTRk−1Ck)x^kQk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1(P^k−1−1x^k−1−Ak−1TQk−1vk)Qk−1vkCkTRk−1yk
根据SMW恒等式 Q k − 1 − Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 A k − 1 T Q k − 1 ( Q k A k − 1 P ^ k − 1 A k − 1 T ) − 1 Q_k^{-1}-Q_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}(Q_kA_{k-1}\hat P_{k-1}A_{k-1}^T)^{-1} Qk−1−Qk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1Ak−1TQk−1(QkAk−1P^k−1Ak−1T)−1
定义 P ˇ k Q k A k − 1 P ^ k − 1 A k − 1 T \check P_kQ_kA_{k-1}\hat P_{k-1}A_{k-1}^T PˇkQkAk−1P^k−1Ak−1T P ^ k ( P ˇ k − 1 C k T R k − 1 C k ) − 1 \hat P_k(\check P_k^{-1}C_k^TR_k^{-1}C_k)^{-1} P^k(Pˇk−1CkTRk−1Ck)−1
原式可化简为 P ^ k − 1 x ^ k Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 ( P ^ k − 1 − 1 x ^ k − 1 − A k − 1 T Q k − 1 v k ) Q k − 1 v k C k T R k − 1 y k Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 P ^ k − 1 − 1 x ^ k − 1 ( Q k − 1 − Q k − 1 A k − 1 ( P ^ k − 1 − 1 A k − 1 T Q k − 1 A k − 1 ) − 1 A k − 1 T Q k − 1 ) v k C k T R k − 1 y k P ˇ k − 1 A k − 1 x ^ k − 1 P ˇ k − 1 v k C k T R k − 1 y k P ˇ k − 1 ( A k − 1 x ^ k − 1 v k ) C k T R k − 1 y k P ˇ k − 1 x ˇ k C k T R k − 1 y k \begin{aligned}\hat P_k^{-1}\hat x_kQ_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}(\hat P_{k-1}^{-1}\hat x_{k-1}-A_{k-1}^TQ_k^{-1}v_k)Q_k^{-1}v_kC_k^TR_k^{-1}y_k \\Q_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}\hat P_{k-1}^{-1}\hat x_{k-1}(Q_k^{-1}-Q_k^{-1}A_{k-1}(\hat P_{k-1}^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1}A_{k-1})^{-1}A_{k-1}^TQ_k^{-1})v_kC_k^TR_k^{-1}y_k \\\check P_k^{-1}A_{k-1}\hat x_{k-1}\check P_k^{-1}v_kC_k^TR_k^{-1}y_k \\ \check P_k^{-1}(A_{k-1}\hat x_{k-1}v_k)C_k^TR_k^{-1}y_k \\ \check P_k^{-1}\check x_kC_k^TR_k^{-1}y_k\end{aligned} P^k−1x^kQk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1(P^k−1−1x^k−1−Ak−1TQk−1vk)Qk−1vkCkTRk−1ykQk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1P^k−1−1x^k−1(Qk−1−Qk−1Ak−1(P^k−1−1Ak−1TQk−1Ak−1)−1Ak−1TQk−1)vkCkTRk−1ykPˇk−1Ak−1x^k−1Pˇk−1vkCkTRk−1ykPˇk−1(Ak−1x^k−1vk)CkTRk−1ykPˇk−1xˇkCkTRk−1yk
梳理一下整个过程
预测 x ˇ k A k − 1 x ^ k − 1 v k P ˇ k A k − 1 P ^ k − 1 A k − 1 T Q k \begin{aligned}\check x_kA_{k-1}\hat x_{k-1}v_k \\ \check P_kA_{k-1}\hat P_{k-1}A_{k-1}^TQ_k\end{aligned} xˇkPˇkAk−1x^k−1vkAk−1P^k−1Ak−1TQk
更新 P ^ k ( P ˇ k − 1 C k T R k − 1 C k ) − 1 P ^ k − 1 x ^ k P ˇ k − 1 x ˇ k C k T R k − 1 y k \begin{aligned}\hat P_k(\check P_k^{-1}C_k^TR_k^{-1}C_k)^{-1} \\ \hat P_k^{-1}\hat x_k\check P_k^{-1}\check x_kC_k^TR_k^{-1}y_k\end{aligned} P^kP^k−1x^k(Pˇk−1CkTRk−1Ck)−1Pˇk−1xˇkCkTRk−1yk
这是逆协方差形式信息形式的卡尔曼滤波。为了得到经典形式的卡尔曼滤波需要定义卡尔曼增益 K k K_k Kk K k P ^ k C k T R k − 1 K_k\hat P_kC_k^TR_k^{-1} KkP^kCkTRk−1
经过化简更新 K k P ˇ k C k T ( C k P ˇ k C k T R k ) − 1 P ^ k ( 1 − K k C k ) P ˇ k x ^ k x ˇ k K k ( y k − C k x ˇ k ) \begin{aligned}K_k\check P_kC_k^T(C_k\check P_kC_k^TR_k)^{-1} \\ \hat P_k(1-K_kC_k)\check P_k \\\hat x_k\check x_kK_k(y_k-C_k\check x_k)\end{aligned} KkP^kx^kPˇkCkT(CkPˇkCkTRk)−1(1−KkCk)PˇkxˇkKk(yk−Ckxˇk)
其中 y k − C k x ˇ k y_k-C_k\check x_k yk−Ckxˇk称为更新量指的是实际与期望观测量的误差而卡尔曼增益则是这部分更新量对估计值的权重。
通过贝叶斯推断推导卡尔曼滤波
使用贝叶斯推断方法还能够以更简洁的方式推出卡尔曼滤波。假设 k − 1 k-1 k−1时刻的高斯先验为 p ( x k − 1 ∣ x ˇ 0 , v 1 : k − 1 , y 0 : k − 1 ) N ( x ^ k − 1 , P ^ k − 1 ) p(x_{k-1}|\check x_0,v_{1:k-1},y_{0:k-1})N(\hat x_{k-1},\hat P_{k-1}) p(xk−1∣xˇ0,v1:k−1,y0:k−1)N(x^k−1,P^k−1)
首先对于预测部份考虑最近时刻的输入 v k v_{k} vk来计算 k k k时刻的先验 p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) N ( x ˇ k , P ˇ k ) p(x_k|\check x_0,v_{1:k},y_{0:k-1})N(\check x_k,\check P_k) p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)N(xˇk,Pˇk)
其中 x ˇ k E [ x k ] E [ A k − 1 x k − 1 v k w k ] A k − 1 x ^ k − 1 v k \check x_kE[x_k]E[A_{k-1}x_{k-1}v_kw_k]A_{k-1}\hat x_{k-1}v_k xˇkE[xk]E[Ak−1xk−1vkwk]Ak−1x^k−1vk P ˇ k E [ ( x k − E [ x k ] ) ( x k − E [ x k ] ) T ] A k − 1 E [ ( x k − 1 − x ^ k − 1 ) ( x k − 1 − x ^ k − 1 ) T ] A k − 1 T E [ w k w k t ] A k − 1 P ^ k − 1 A k − 1 T Q k \begin{aligned}\check P_kE[(x_k-E[x_k])(x_k-E[x_k])^T]\\A_{k-1}E[(x_{k-1}-\hat x_{k-1})(x_{k-1}-\hat x_{k-1})^T]A_{k-1}^TE[w_kw_k^t]\\A_{k-1}\hat P_{k-1}A_{k-1}^TQ_k\end{aligned} PˇkE[(xk−E[xk])(xk−E[xk])T]Ak−1E[(xk−1−x^k−1)(xk−1−x^k−1)T]Ak−1TE[wkwkt]Ak−1P^k−1Ak−1TQk
然后对于更新部分将状态与最新一次测量即 k k k时刻写成联合高斯分布的形式 p ( x k , y k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k − 1 ) N ( [ μ x μ y ] , [ Σ x x Σ x y Σ y x Σ y y ] ) N ( [ x ˇ k C k x ˇ k ] , [ P ˇ k P ˇ k C k T C k P ˇ k C k P ˇ k C k T R k ] ) p(x_k,y_k|\check x_0,v_{1:k},y_{0:k-1})N(\begin{bmatrix}\mu_x\\\mu_y\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\Sigma_{xx}\Sigma_{xy}\\\Sigma_{yx}\Sigma_{yy}\end{bmatrix})N(\begin{bmatrix}\check x_k\\C_k\check x_k\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\check P_k\check P_kC_k^T\\C_k\check P_kC_k\check P_kC_k^TR_k\end{bmatrix}) p(xk,yk∣xˇ0,v1:k,y0:k−1)N([μxμy],[ΣxxΣyxΣxyΣyy])N([xˇkCkxˇk],[PˇkCkPˇkPˇkCkTCkPˇkCkTRk])
根据高斯推断可以得到 p ( x k ∣ x ˇ 0 , v 1 : k , y 0 : k ) N ( μ x Σ x y Σ y y − 1 ( y k − μ y ) , Σ x x − Σ x y Σ y y − 1 Σ y x ) p(x_k|\check x_0,v_{1:k},y_{0:k})N(\mu_x\Sigma_{xy}\Sigma_{yy}^{-1}(y_k-\mu_y),\Sigma_{xx}-\Sigma_{xy}\Sigma_{yy}^{-1}\Sigma_{yx}) p(xk∣xˇ0,v1:k,y0:k)N(μxΣxyΣyy−1(yk−μy),Σxx−ΣxyΣyy−1Σyx)
代入之前的结果有 K k P ˇ k C k T ( C k P ˇ k C k T R k ) − 1 P ^ k ( 1 − K k C k ) P ˇ k x ^ k x ˇ k K k ( y k − C k x ˇ k ) \begin{aligned}K_k\check P_kC_k^T(C_k\check P_kC_k^TR_k)^{-1} \\ \hat P_k(1-K_kC_k)\check P_k \\ \hat x_k\check x_kK_k(y_k-C_k\check x_k)\end{aligned} KkP^kx^kPˇkCkT(CkPˇkCkTRk)−1(1−KkCk)PˇkxˇkKk(yk−Ckxˇk)
这与MAP给出的更新步骤的方程是完全一致的。
重申一遍这件事情的根本在于使用了线性模型且噪声和先验也都是高斯的。在这些条件下后验概率也是高斯的于是它的均值和模正巧是一样的。然而在使用非线性模型之后就不能保证这个性质了。
从增益最优化的角度来看卡尔曼滤波
通常来说卡尔曼滤波是线性高斯系统下的最优解。因此也可以从其他的角度来看卡尔曼滤波的最优特性。下面介绍其中的一个
假设有一个估计器形式如下 x ^ k x ˇ k K k ( y k − C k x ˇ k ) \hat x_k\check x_kK_k(y_k-C_k\check x_k) x^kxˇkKk(yk−Ckxˇk)
但是此时并不知道如何选取 K k K_k Kk的值才能正确地衡量修正部分的权重。如果定义状态的误差为估计值 - 真值 e ^ k x ^ k − x k \hat e_k\hat x_k-x_k e^kx^k−xk
那么有 P ^ k E [ e ^ k e ^ k T ] E [ ( x ^ k − x k ) ( x ^ k − x k ) T ] E [ ( x ˇ k K k ( C k x k n k − C k x ˇ k ) − x k ) ( x ˇ k K k ( C k x k n k − C k x ˇ k ) − x k ) T ] E [ ( ( 1 − K k C k ) ( x ˇ k − x k ) K k n k ) ( ( 1 − K k C k ) ( x ˇ k − x k ) K k n k ) T ] ( 1 − K k C k ) E [ ( x ˇ k − x k ) ( x ˇ k − x k ) T ] ( 1 − K k C k ) T K k E [ C k C k T ] K k T ( 1 − K k C k ) P ˇ k ( 1 − K k C k ) T K k R k K k T P ˇ k − K k C k P ˇ k − P ˇ k C k T K k T K k ( C k P ˇ k C k T R k ) K k T \begin{aligned}\hat P_kE[\hat e_k\hat e_k^T]\\E[(\hat x_k-x_k)(\hat x_k-x_k)^T]\\E[(\check x_kK_k(C_kx_kn_k-C_k\check x_k)-x_k)(\check x_kK_k(C_kx_kn_k-C_k\check x_k)-x_k)^T]\\E[((1-K_kC_k)(\check x_k-x_k)K_kn_k)((1-K_kC_k)(\check x_k-x_k)K_kn_k)^T]\\(1-K_kC_k)E[(\check x_k-x_k)(\check x_k-x_k)^T](1-K_kC_k)^TK_kE[C_kC_k^T]K_k^T\\(1-K_kC_k)\check P_k(1-K_kC_k)^TK_kR_kK_k^T \\ \check P_k-K_kC_k\check P_k-\check P_kC_k^TK_k^TK_k(C_k\check P_kC_k^TR_k)K_k^T\end{aligned} P^kE[e^ke^kT]E[(x^k−xk)(x^k−xk)T]E[(xˇkKk(Ckxknk−Ckxˇk)−xk)(xˇkKk(Ckxknk−Ckxˇk)−xk)T]E[((1−KkCk)(xˇk−xk)Kknk)((1−KkCk)(xˇk−xk)Kknk)T](1−KkCk)E[(xˇk−xk)(xˇk−xk)T](1−KkCk)TKkE[CkCkT]KkT(1−KkCk)Pˇk(1−KkCk)TKkRkKkTPˇk−KkCkPˇk−PˇkCkTKkTKk(CkPˇkCkTRk)KkT
接下来最小均方差开始正式登场了。由于协方差矩阵的对角线元素就是方差这样一来把协方差矩阵的对角线元素求和用 t r tr tr来表示这种算子它的学名叫矩阵的迹。
于是可以由它定义出一个代价函数 J ( K k ) t r ( E [ e ^ k e ^ k T ] ) t r ( P ˇ k ) − 2 t r ( K k C k P ˇ k ) t r ( K k ( C k P ˇ k C k T R k ) K k T ) \begin{aligned}J(K_k)tr(E[\hat e_k\hat e_k^T])\\tr(\check P_k)-2tr(K_kC_k\check P_k)tr(K_k(C_k\check P_kC_k^TR_k)K_k^T)\end{aligned} J(Kk)tr(E[e^ke^kT])tr(Pˇk)−2tr(KkCkPˇk)tr(Kk(CkPˇkCkTRk)KkT)
最小均方差就是使得 J ( K k ) J(K_k) J(Kk)最小对未知量 K k K_k Kk求导令导函数等于0 d J ( K k ) d K k − 2 ( C k P ˇ k ) T 2 K k ( C k P ˇ k C k T R k ) \frac{dJ(K_k)}{dK_k}-2(C_k\check P_k)^T2K_k(C_k\check P_kC_k^TR_k) dKkdJ(Kk)−2(CkPˇk)T2Kk(CkPˇkCkTRk)
因此 K k P ˇ k C k T ( C k P ˇ k C k T R k ) − 1 K_k\check P_kC_k^T(C_k\check P_kC_k^TR_k)^{-1} KkPˇkCkT(CkPˇkCkTRk)−1
这正是卡尔曼增益的通常表达式。
关于卡尔曼滤波的讨论
以下是卡尔曼滤波的要点
对于高斯噪声的线性系统卡尔曼滤波器是最优线性无偏估计必须有初始状态 { x ˇ 0 , P ˇ 0 } \{\check x_0,\check P_0\} {xˇ0,Pˇ0}协方差部分与均值部分可以独立地递推。有时甚至可以计算一个固定的 K k K_k Kk用于所有时刻的均值修正这种做法称为固定状态的卡尔曼滤波。
