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以 A ∗ B C A*BC A∗BC为例#xff0c;其中 矩阵A 是 m ∗ n m*n m∗n ,矩阵B是 n ∗ p n*p n∗p,矩阵C则是 m ∗ p m*p m∗p 单个元素 求矩阵C中的每一个元素#xff0c;公式如下#xff1a; c i … 视频链接 https://www.youtube.com/watch?vFX4C-JpTFgY 3.1 矩阵乘法
以 A ∗ B C A*BC A∗BC为例其中 矩阵A 是 m ∗ n m*n m∗n ,矩阵B是 n ∗ p n*p n∗p,矩阵C则是 m ∗ p m*p m∗p 单个元素 求矩阵C中的每一个元素公式如下 c i j ∑ k 1 n a i k ∗ b k j c_{ij}\sum_{k1}^n a_{ik}*b_{kj} cijk1∑naik∗bkj 整列 将矩阵C按照列考虑矩阵C如下 [ c o l c 1 c o l c 2 c o l c 3 . . . ] \begin{bmatrix} col_{c1}col_{c2}col_{c3}...\end{bmatrix} [colc1colc2colc3...] 那么矩阵C中每一列就是用矩阵A乘以对应的矩阵B中一列公式如下 c o l c i A ∗ c o l b i col_{ci}A*col_{bi} colciA∗colbi 整行 将矩阵C按照行考虑矩阵C如下 [ r o w c 1 r o w c 2 r o w c 3 . . . ] \begin{bmatrix} row_{c1}\\row_{c2}\\row_{c3}\\...\end{bmatrix} rowc1rowc2rowc3... 那么矩阵C中每一行就是用矩阵A中对应的行乘以矩阵B公式如下 r o w c i r o w a i ∗ B row_{ci}row_{ai}*B rowcirowai∗B 行×列 用矩阵A的行乘以矩阵B的列得到多个矩阵再将多个矩阵相加就得到矩阵C公式如下 C ∑ k 1 m r o w a k ∗ c o l b k C\sum_{k1}^m row_{ak}*col_{bk} Ck1∑mrowak∗colbk 分块相乘 将每个矩阵分块得到如下方程 [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] A ∗ [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] B [ C 1 C 2 C 3 C 4 ] C \underset{\text{A}}{\begin{bmatrix} A_1A2\\A_3A_4\end{bmatrix}}*\underset{\text{B}}{\begin{bmatrix} B_1B_2\\B_3B_4\end{bmatrix}}\underset{\text{C}}{\begin{bmatrix} C_1C_2\\C_3C_4\end{bmatrix}} A[A1A3A2A4]∗B[B1B3B2B4]C[C1C3C2C4] 此时分块矩阵C中每一块矩阵计算公式如下 C i A 1 ∗ B 1 A 2 ∗ B 3 C_iA_1*B_1A_2*B_3 CiA1∗B1A2∗B3
3.2 矩阵的逆 逆矩阵 矩阵A乘以矩阵B等于单位矩阵I就称矩阵B为矩阵A的逆矩阵记作 A − 1 A^{-1} A−1如果A为方阵 A − 1 A^{-1} A−1左乘或者右乘都成立 A − 1 ∗ A I A ∗ A − 1 A^{-1}*AIA*A^{-1} A−1∗AIA∗A−1 奇异矩阵 若矩阵A乘以非零向量X等于零则称矩阵A为奇异矩阵此矩阵就没有逆矩阵
3.3 求解逆矩阵 [ 1 3 2 7 ] A ∗ [ a c b d ] A − 1 [ 1 0 0 1 ] C \underset{\text{A}}{\begin{bmatrix} 13\\27\end{bmatrix}}*\underset{A^{-1}}{\begin{bmatrix} ac\\bd\end{bmatrix}}\underset{\text{C}}{\begin{bmatrix} 10\\01\end{bmatrix}} A[1237]∗A−1[abcd]C[1001] 方法一 分别求解下面两个矩阵乘法 [ 1 3 2 7 ] ∗ [ a b ] [ 1 0 ] \underset{}{\begin{bmatrix} 13\\27\end{bmatrix}}*\underset{}{\begin{bmatrix} a\\b\end{bmatrix}}\underset{}{\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}} [1237]∗[ab][10] [ 1 3 2 7 ] ∗ [ c d ] [ 0 1 ] \underset{}{\begin{bmatrix} 13\\27\end{bmatrix}}*\underset{}{\begin{bmatrix} c\\d\end{bmatrix}}\underset{}{\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}} [1237]∗[cd][01] 方法二 将矩阵A和单位矩阵I 写成一个长的矩阵 [ A ∣ I ] \begin{bmatrix} A|I\end{bmatrix} [A∣I]记作D用消元法将将D中的前半部分A变换为单位矩阵I这样矩阵D就会变为 [ I ∣ ? ] \begin{bmatrix} I|?\end{bmatrix} [I∣?],得到的后半部分就是矩阵A的逆 A − 1 A^{-1} A−1 [ 1 3 ∣ 1 0 2 7 ∣ 0 1 ] → [ 1 0 ∣ 7 − 3 0 1 ∣ − 2 1 ] \begin{bmatrix} 13|10\\27|01\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} 10|7-3\\01|-21\end{bmatrix} [1237∣∣1001]→[1001∣∣7−2−31] 根据之前的学的消元法就像左乘一个矩阵E E ∗ [ A ∣ I ] [ I ∣ A − 1 ] E*\begin{bmatrix} A|I\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I|A^{-1}\end{bmatrix} E∗[A∣I][I∣A−1] 可以看出来 E ∗ A I E*AI E∗AI,所以 E A − 1 EA^{-1} EA−1
