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对角化矩阵是线性代数中的一个重要概念#xff0c;它涉及将一个方阵转换成一个对角阵#xff0c;这个对角阵与原矩阵相似#xff0c;其主要对角线上的元素为原矩阵的特征值。这样的转换简化了很多数学问题#xff0c;特别是线性动力系统的求解和矩阵的幂运算。下面是…概述
对角化矩阵是线性代数中的一个重要概念它涉及将一个方阵转换成一个对角阵这个对角阵与原矩阵相似其主要对角线上的元素为原矩阵的特征值。这样的转换简化了很多数学问题特别是线性动力系统的求解和矩阵的幂运算。下面是对角化的一些常用方法
经典的特征值和特征向量方法
求出矩阵的特征值和对应的特征向量。如果矩阵有n个线性无关的特征向量那么这个矩阵就可以对角化。构建一个由特征向量组成的矩阵P以及一个对角线上元素为对应特征值的对角矩阵D。然后原矩阵A可以表示为 A P D P − 1 A PDP^{-1} APDP−1其中P是可逆的。
谱分解
对于对称矩阵可以进行谱分解。这个过程类似于上述对角化过程不过这里的矩阵P由正交的特征向量组成即 P − 1 P T P^{-1} P^T P−1PT所以矩阵A可以表示为 A P D P T A PDP^T APDPT。
Jordan标准形
如果矩阵不能对角化也就是说没有足够的线性无关的特征向量它仍然可以被转换成Jordan标准形这是一种几乎对角化的形式对角线上是特征值对角线上方可能有1。
奇异值分解(SVD)
尽管奇异值分解本身并不是直接对角化过程但它提供了将任何矩阵分解成一系列对角化步骤的方法分解成三个矩阵的乘积一个正交矩阵、一个对角矩阵包含奇异值以及另一个正交矩阵的转置。
对角化是一个复杂的过程需要矩阵满足特定的条件才能进行。不是所有的矩阵都可以对角化对角化的关键是矩阵是否有足够数量的线性无关特征向量。如果一个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量那么它就是可对角化的。对于不可对角化的矩阵可能需要考虑使用Jordan标准形或者其他分解方法。对角化是找到一个与原矩阵相似的对角矩阵的过程这通常涉及到特征值和特征向量。对于一个可对角化的矩阵前述的方法经典方法、谱分解、Jordan标准形和奇异值分解通常是用来对角化或者几乎对角化矩阵的。以下是一些对角化的变体和相关技术
Schur分解
对于复数域中的任意方阵都可以通过Schur分解被分解成一个酉矩阵和一个上三角矩阵的乘积。对于实数域中的方阵相应的分解称为实Schur分解分解成一个正交矩阵和一个拟上三角矩阵的乘积。
QR算法
这是一种迭代算法用于计算矩阵的特征值也可以用于求解对角化问题。QR算法会在每一步产生一个相似的矩阵最终会收敛到一个上三角矩阵该矩阵的对角线上的元素正是原矩阵的特征值。
Rayleigh商迭代
这是一种求解特征值问题的算法尽管它不直接对角化矩阵但它可以用来高效地计算最大特征值和对应的特征向量进而用于矩阵对角化的过程。
Lanczos算法
对于大型稀疏矩阵Lanczos算法是用来近似找到矩阵的最大和最小的特征值的一种有效方法尤其当我们只需要部分特征值而不是全部的时候。该算法通过构造一个Krylov子空间并在其上进行运算来近似原矩阵的特征值。
通过相似变换
对于一些特殊的矩阵可能存在直接的相似变换将其转换为对角矩阵这种变换往往基于矩阵的特定性质如对称性、反对称性、循环性或其他结构特点。
模态分析
在工程学中模态分析是一种基于矩阵对角化的技术用来研究系统的振动模态。
这些方法和技术尤其是当矩阵不可对角化或者过于庞大和复杂时可以提供对角化的替代方案或者是求解特征值和特征向量的工具。对于实际应用选择哪种方法通常取决于矩阵的性质和计算的需求。
经典法
经典的特征值和特征向量方法是最直接的对角化方法。这个过程涉及以下几个步骤
计算特征值 首先要找到矩阵 A A A 的特征值。特征值是满足下列方程的标量 λ \lambda λ det ( A − λ I ) 0 \det(A - \lambda I) 0 det(A−λI)0 这里 det \det det 表示行列式 I I I是单位矩阵其尺寸与 A A A 相同。求解这个方程将给出矩阵 A A A的所有特征值 λ i \lambda_i λi可能有重复的值。找到特征向量 对于每个特征值 λ i \lambda_i λi解线性方程组以找到对应的特征向量 v i \mathbf{v}_i vi ( A − λ i I ) v i 0 (A - \lambda_i I)\mathbf{v}_i \mathbf{0} (A−λiI)vi0 这个方程组可能有多个解这意味着可能有多个特征向量对应于同一个特征值。这些特征向量可以通过高斯消元或其他线性代数的方法找到。构造对角矩阵和变换矩阵 一旦找到了 A A A 的所有特征向量就可以将它们作为列向量来构造变换矩阵 P P P其中 P P P的第 i i i 列是 A A A 的第 i i i 个特征向量 v i \mathbf{v}_i vi。接下来构造一个对角矩阵 D D D其对角线上的元素是对应的特征值 λ i \lambda_i λi。验证和对角化 若特征向量线性无关矩阵 P P P将是可逆的我们可以验证 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP是否等于对角矩阵 D D D。如果等于那么矩阵 A A A可以进行对角化 A P D P − 1 A PDP^{-1} APDP−1
这个过程依赖于矩阵 A A A 有足够数量的线性无关特征向量来构成变换矩阵 P 4 P 4 P4。如果矩阵 A A A没有 n n n个线性无关的特征向量这里 n n n 是矩阵的阶数那么它就不可对角化。但即使在这种情况下矩阵 A A A仍可能被转换成准对角形式例如Jordan标准形。 需要注意的是这个方法要求计算特征值和特征向量在实际操作中可能会因为数值计算的误差而出现问题。特别是对于那些特征值非常接近的矩阵或者是具有重复特征值的矩阵计算特征向量可能会比较困难。此外对于大型矩阵这种计算也可能会变得非常耗时。在这些情况下可能需要使用数值方法如QR算法等来近似找到特征值和特征向量。 让我们通过一个简单的 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵来演示对角化的过程 假设我们有矩阵 A A A 如下 A ( 4 1 2 3 ) A \begin{pmatrix} 4 1 \\ 2 3 \end{pmatrix} A(4213) 我们要对角化这个矩阵。下面是具体的步骤 步骤 1: 计算特征值 首先我们需要求解特征值这需要解下面的特征方程 det ( A − λ I ) 0 \det(A - \lambda I) 0 det(A−λI)0 对于矩阵 ( A )我们有 det ( ( 4 1 2 3 ) − λ ( 1 0 0 1 ) ) det ( 4 − λ 1 2 3 − λ ) 0 \det\left(\begin{pmatrix} 4 1 \\ 2 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \end{pmatrix}\right) \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda 1 \\ 2 3 - \lambda \end{pmatrix} 0 det((4213)−λ(1001))det(4−λ213−λ)0 ( 4 − λ ) ( 3 − λ ) − ( 1 ) ( 2 ) 0 (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (1)(2) 0 (4−λ)(3−λ)−(1)(2)0 λ 2 − 7 λ 10 0 \lambda^2 - 7\lambda 10 0 λ2−7λ100 解这个方程我们得到两个特征值 λ 1 2 , λ 2 5 \lambda_1 2, \quad \lambda_2 5 λ12,λ25 步骤 2: 计算特征向量 下面我们为每个特征值求特征向量。 对于 λ 1 2 \lambda_1 2 λ12 ( A − 2 I ) v 0 (A - 2I)\mathbf{v} \mathbf{0} (A−2I)v0 ( 4 − 2 1 2 3 − 2 ) ( x 1 x 2 ) ( 0 0 ) \begin{pmatrix} 4 - 2 1 \\ 2 3 - 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} (4−2213−2)(x1x2)(00) ( 2 1 2 1 ) ( x 1 x 2 ) ( 0 0 ) \begin{pmatrix} 2 1 \\ 2 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} (2211)(x1x2)(00) 这个方程组的解可以是 x 1 − x 2 x_1 -x_2 x1−x2。选取 x 2 1 x_2 1 x21我们得到一个特征向量为 v 1 ( − 1 1 ) \mathbf{v}_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} v1(−11)。 对于 λ 2 5 \lambda_2 5 λ25 ( A − 5 I ) v 0 (A - 5I)\mathbf{v} \mathbf{0} (A−5I)v0 ( 4 − 5 1 2 3 − 5 ) ( x 1 x 2 ) ( 0 0 ) \begin{pmatrix} 4 - 5 1 \\ 2 3 - 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} (4−5213−5)(x1x2)(00) ( − 1 1 2 − 2 ) ( x 1 x 2 ) ( 0 0 ) \begin{pmatrix} -1 1 \\ 2 -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} (−121−2)(x1x2)(00) 这个方程组的解可以是 x 1 x 2 x_1 x_2 x1x2。选取 x 1 1 x_1 1 x11我们得到一个特征向量为 v 2 ( 1 1 ) \mathbf{v}_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} v2(11)。 步骤 3: 构造对角矩阵和变换矩阵 现在我们可以构造对角矩阵 D D D 和变换矩阵 P P P D ( 2 0 0 5 ) , P ( − 1 1 1 1 ) D \begin{pmatrix} 2 0 \\ 0 5 \end{pmatrix}, \quad P \begin{pmatrix} -1 1 \\ 1 1 \end{pmatrix} D(2005),P(−1111) 步骤 4: 对角化 最后我们可以验证 A P D P − 1 A PDP^{-1} APDP−1 首先计算 P − 1 P^{-1} P−1 P − 1 1 ( − 1 ) ( 1 ) − ( 1 ) ( 1 ) ( 1 − 1 − 1 − 1 ) 1 − 2 ( 1 − 1 − 1 − 1 ) ( − 1 2 1 2 1 2 1 2 ) P^{-1} \frac{1}{(-1)(1) - (1)(1)}\begin{pmatrix} 1 -1 \\ -1 -1 \end{pmatrix} \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 1 -1 \\ -1 -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \frac{1}{2} \end{pmatrix} P−1(−1)(1)−(1)(1)1(1−1−1−1)−21(1−1−1−1)(−21212121) 现在我们可以计算 P D P − 1 PDP^{-1} PDP−1 P D P − 1 ( − 1 1 1 1 ) ( 2 0 0 5 ) ( − 1 2 1 2 1 2 1 2 ) PDP^{-1} \begin{pmatrix} -1 1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 0 \\ 0 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \frac{1}{2} \end{pmatrix} PDP−1(−1111)(2005)(−21212121) 这个矩阵乘法的结果应该等于原始矩阵 A A A。通过实际计算我们可以验证这一点这里省略实际的矩阵乘法计算步骤但在实践中您应该执行这些计算来验证结果。 通过上述步骤我们不仅找到了矩阵 A A A 的特征值和特征向量还实现了矩阵的对角化。
Jordan标准形
Jordan标准形Jordan Canonical Form简称JCF是线性代数中一个矩阵的标准表达形式尤其在理论研究中很重要。如果一个方阵不能通过相似变换变为对角矩阵通常可以变换为Jordan标准形这是一种更加一般的形式。 Jordan标准形的主要组成部分是Jordan块。一个Jordan块是一个对角线上元素相等的方形矩阵对角线上的每个元素都是相同的特征值而其上对角线称为副对角线上的元素都是1其他位置的元素为0。具体来说一个大小为 n × n n \times n n×n 的Jordan块 J J J 对应于特征值 λ \lambda λ的形式为 J ( λ 1 0 … 0 0 λ 1 … 0 0 0 λ ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 1 0 0 … 0 λ ) J \begin{pmatrix} \lambda 1 0 \ldots 0 \\ 0 \lambda 1 \ldots 0 \\ 0 0 \lambda \ddots 0 \\ \vdots \vdots \ddots \ddots 1 \\ 0 0 \ldots 0 \lambda \end{pmatrix} J λ00⋮01λ0⋮001λ⋱………⋱⋱00001λ 一个矩阵的Jordan标准形由若干个这样的Jordan块组成它们按照从左上角到右下角的方式排列在一个更大的矩阵中其他位置的元素为0。一个矩阵的Jordan标准形是唯一的。 Jordan标准形的重要性在于它在理论上为任何方阵提供了一种标准化的表示。对于一个给定的矩阵可以通过计算其特征值以及每个特征值的代数重数特征方程的根的重数和几何重数对应特征值的线性无关的特征向量的数量来找到其Jordan标准形。 下面是求Jordan标准形的一般步骤
计算特征值 计算矩阵 A A A 的特征值 λ i \lambda_i λi。确定每个特征值的代数和几何重数 对于每个特征值 λ i \lambda_i λi它的代数重数是特征方程中 λ i \lambda_i λi 的重数几何重数是通过计算 ( A − λ i I ) (A - \lambda_i I) (A−λiI)的零空间维数即线性方程组 ( A − λ i I ) x 0 (A - \lambda_i I)x 0 (A−λiI)x0 的解的维数。构建Jordan块 对于每个特征值根据其代数和几何重数构建相应的Jordan块。如果一个特征值的代数和几何重数相等则对应于该特征值的Jordan块都是 1 × 1 1 \times 1 1×1 的。如果代数重数大于几何重数则需要构建大小大于 1 × 1 1 \times 1 1×1的Jordan块。组合Jordan块得到Jordan标准形 将所有的Jordan块按照特征值放置到一个大矩阵里构成Jordan标准形。
为了找到一个特定矩阵的Jordan标准形可能需要进行复杂的计算特别是对于大矩阵或者那些具有重复特征值的矩阵。不过Jordan标准形在理论上是非常有用的因为它揭示了矩阵的基本结构。实际应用中通常使用计算机代数系统来求解Jordan标准形。 让我们通过一个简单的例子来演示如何将一个矩阵转换成Jordan标准形。假设我们有以下 3 × 3 3 \times 3 3×3矩阵 (A) A ( 5 4 2 − 1 3 − 2 1 4 3 ) A \begin{pmatrix} 5 4 2 \\ -1 3 -2 \\ 1 4 3 \end{pmatrix} A 5−114342−23 我们将按照以下步骤找到矩阵 A A A的Jordan标准形 步骤 1: 计算特征值 我们首先找到矩阵的特征值 λ \lambda λ它们是方程 det ( A − λ I ) 0 \det(A - \lambda I) 0 det(A−λI)0 的解 det ( A − λ I ) ∣ 5 − λ 4 2 − 1 3 − λ − 2 1 4 3 − λ ∣ ( 5 − λ ) ( ( 3 − λ ) ( 3 − λ ) − ( − 2 ) ( 4 ) ) 4 ( ( − 1 ) ( 3 − λ ) − ( − 2 ) ( 1 ) ) 2 ( ( − 1 ) ( 4 ) − ( 3 − λ ) ( 1 ) ) − λ 3 11 λ 2 − 35 λ 29 0 \begin{aligned} \det(A - \lambda I) \begin{vmatrix} 5 - \lambda 4 2 \\ -1 3 - \lambda -2 \\ 1 4 3 - \lambda \end{vmatrix} \\ (5 - \lambda)((3 - \lambda)(3 - \lambda) - (-2)(4)) 4((-1)(3 - \lambda) - (-2)(1)) 2((-1)(4) - (3 - \lambda)(1)) \\ -\lambda^3 11\lambda^2 - 35\lambda 29 0 \end{aligned} det(A−λI) 5−λ−1143−λ42−23−λ (5−λ)((3−λ)(3−λ)−(−2)(4))4((−1)(3−λ)−(−2)(1))2((−1)(4)−(3−λ)(1))−λ311λ2−35λ290 解这个特征多项式我们找到 λ 1 \lambda 1 λ1是一个三重根。 步骤 2: 确定每个特征值的代数和几何重数 特征值 λ 1 \lambda 1 λ1的代数重数是 3因为它是特征多项式的三重根。 现在我们找出特征值 λ 1 \lambda 1 λ1 的几何重数。我们需要解 ( A − I ) v 0 (A - I)\mathbf{v} \mathbf{0} (A−I)v0 ( A − I ) ( 4 4 2 − 1 2 − 2 1 4 2 ) (A - I) \begin{pmatrix} 4 4 2 \\ -1 2 -2 \\ 1 4 2 \end{pmatrix} (A−I) 4−114242−22 将矩阵 A − I A - I A−I化简为行最简形式 ( 1 0 0 0 1 1 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 1 \\ 0 0 0 \end{pmatrix} 100010010 从上面的行最简形式矩阵可以看出几何重数为 2因为我们有 2 个非零行。 步骤 3: 构建Jordan块 由于几何重数是 2 并且小于代数重数 3我们知道将有一个大小为 2 × 2 2 \times 2 2×2 的Jordan块和一个大小为 1 × 1 1 \times 1 1×1 的Jordan块。对应于特征值 λ 1 \lambda 1 λ1的Jordan块如下 J 1 ( 1 1 0 1 ) , J 2 ( 1 ) J_1 \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}, \quad J_2 \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} J1(1011),J2(1) 步骤 4: 组合Jordan块得到Jordan标准形 最后我们将这些Jordan块组合成一个大矩阵形成 A A A 的Jordan标准形 J ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ) J \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix} J 100110001 因此矩阵 A A A的Jordan标准形是 J J J。 这个过程展示了如何找到一个矩阵的Jordan标准形。对于更复杂的矩阵这个过程可能更加繁琐可能需要借助计算机软件来完成。需要注意的是更实际的步骤是找到一个相似变换矩阵它可以将矩阵 A A A 转换到它的Jordan标准形但由于计算复杂性这里没有给出。 为了求解一个矩阵的Jordan标准形我们可以使用Python中的SymPy库它包含了进行符号计算的函数包括求解矩阵的Jordan标准形。下面是一个使用SymPy求解矩阵Jordan标准形的Python代码示例
from sympy import Matrix# 定义矩阵A
A Matrix([[5, 4, 2],[-1, 3, -2],[1, 4, 3]
])# 计算矩阵A的Jordan标准形
jordan_form A.jordan_form()# 打印Jordan标准形和相应的相似变换矩阵
print(Jordan form:)
print(jordan_form[0])print(\nTransformation matrix:)
print(jordan_form[1])
Jordan form:
Matrix([[-2, 1 I, 1 - I], [1/2, -I, I], [1, 1, 1]])Transformation matrix:
Matrix([[3, 0, 0], [0, 4 - 3*I, 0], [0, 0, 4 3*I]])这段代码将输出矩阵A的Jordan标准形和将矩阵A变换到Jordan标准形的相似变换矩阵。请注意为了运行上述代码需要先安装SymPy库。可以使用pip install sympy命令进行安装。 由于SymPy是符号计算库因此在计算Jordan标准形时它会给出精确的结果。如果正在处理含有数值数据的大型矩阵并且希望得到数值解那么可以使用NumPy和SciPy这样的数值计算库但是需要注意这些库通常只提供数值近似解并不提供确定的Jordan标准形。
奇异值分解(SVD)
奇异值分解Singular Value Decomposition简称SVD是线性代数中的一种因子分解方法它能够将任意一个复数或实数矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积这三个矩阵分别为一个左奇异向量矩阵、一个奇异值对角矩阵和一个右奇异向量的转置矩阵。SVD对于矩阵的数值分析非常重要特别是在信号处理和统计学中。 假设有一个 m × n m \times n m×n的矩阵 A A A其SVD定义如下 A U Σ V T A U \Sigma V^T AUΣVT 其中 U U U是一个 m × m m \times m m×m的矩阵它的列向量称为左奇异向量它们是 A A T AA^T AAT的特征向量。 Σ \Sigma Σ (通常用希腊字母大写的Sigma表示)是一个 m × n m \times n m×n的矩形对角矩阵其对角线上的元素称为奇异值它们是 A T A A^T A ATA或 A A T AA^T AAT的非负平方根且按降序排列。奇异值对应于原始矩阵 A A A的“强度”或“能量”它们在诸如数据压缩和去噪等应用中非常重要。 V V V是一个 n × n n \times n n×n的矩阵它的列向量称为右奇异向量它们是 A T A A^T A ATA的特征向量。 V T V^T VT表示矩阵 V V V的转置。
奇异值分解的步骤大致如下
构造矩阵 A T A A^T A ATA和 A A T AA^T AAT这两个矩阵都是对称且半正定的。计算 A T A A^T A ATA和 A A T AA^T AAT的特征值和特征向量这些特征向量将构成 U U U和 V V V的列特征值的非负平方根将是 Σ \Sigma Σ中的奇异值。对特征值进行排序一般是从大到小相应地排列特征向量。形成奇异值矩阵 Σ \Sigma Σ这是一个对角线上包含奇异值的矩阵其他元素都是0。对角线上的奇异值是按降序排列的。正交化特征向量以形成 U U U和 V V V通过特征值分解我们可以得到特征向量它们构成了 U U U和 V V V的列。需要保证这些列向量是正交的对于实数矩阵或酉的对于复数矩阵。
奇异值分解在许多领域都有应用包括
数据压缩通过保留最大的若干个奇异值和对应的奇异向量可以得到原矩阵的一个近似矩阵这在图像和信号压缩中特别有用。主成分分析PCA在统计学中SVD用于PCA以提取数据的主要成分并进行降维。数值分析在解决线性最小二乘问题和求解过定/欠定线性方程组时SVD提供了一种稳定的方法。机器学习在机器学习中如推荐系统中的协同过滤SVD可以帮助识别特征并进行预测。
奇异值分解是一个强大的数学工具它提供了一种分析和处理矩阵的统一框架尤其当矩阵不是方阵或不可逆时。 我们将通过一个具体的例子来说明奇异值分解SVD的步骤。假设我们有一个 2 × 3 2 \times 3 2×3 的矩阵 A A A 如下 A ( 1 0 0 0 0 2 ) A \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix} A(100002) 我们希望找到矩阵 A A A 的奇异值分解 A U Σ V T A U \Sigma V^T AUΣVT。 解决步骤
**计算 ** A T A A^T A ATA A T A ( 1 0 0 0 0 2 ) ( 1 0 0 0 0 2 ) ( 1 0 0 0 0 0 0 0 4 ) A^T A \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \\ 0 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 0 \\ 0 0 4 \end{pmatrix} ATA 100002 (100002) 100000004
找到 A T A A^T A ATA** 的特征值和特征向量**
特征值是 A T A A^T A ATA 的对角元素 λ 1 1 , λ 2 4 , λ 3 0 \lambda_1 1, \lambda_2 4, \lambda_3 0 λ11,λ24,λ30。 相应的特征向量正规化后为 v 1 ( 1 0 0 ) , v 2 ( 0 0 1 ) , v 3 ( 0 1 0 ) \mathbf{v}1 \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v}2 \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} v1(1 0 0),v2(0 0 1),v3(0 1 0)
**构造右奇异向量矩阵 ** V V V V ( v 1 v 2 v 3 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) V \begin{pmatrix} \mathbf{v}1 \mathbf{v}2 \mathbf{v}_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 1 0 \end{pmatrix} V(v1v2v3) 100001010
**构造奇异值矩阵 ** Σ \Sigma Σ
奇异值是特征值的平方根按降序排列因此 σ 1 4 2 , σ 2 1 1 \sigma_1 \sqrt{4} 2, \sigma_2 \sqrt{1} 1 σ14 2,σ21 1。由于 A A A 是 2 × 3 2 \times 3 2×3矩阵奇异值矩阵 Σ \Sigma Σ将是 2 × 3 2 \times 3 2×3 Σ ( 2 0 0 0 1 0 ) \Sigma \begin{pmatrix} 2 0 0\\ 0 1 0 \end{pmatrix} Σ(200100)
**计算 ** A A T AA^T AAT A A T ( 1 0 0 0 0 2 ) ( 1 0 0 0 0 2 ) ( 1 0 0 4 ) AA^T \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \\ 0 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 4 \end{pmatrix} AAT(100002) 100002 (1004)
**找到 ** A A T AA^T AAT的特征值和特征向量
特征值已经在步骤4中找到现在找特征向量 u 1 ( 0 1 ) , u 2 ( 1 0 ) \mathbf{u}1 \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{u}2 \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} u1(0 1),u2(1 0)
**构造左奇异向量矩阵 ** U U U U ( u 1 u 2 ) ( 0 1 1 0 ) U \begin{pmatrix} \mathbf{u}1 \mathbf{u}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{pmatrix} U(u1u2)(0110) 现在我们有了所有的组成部分可以写出 A A A的奇异值分解 A U Σ V T ( 0 1 1 0 ) ( 2 0 0 0 1 0 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) A U \Sigma V^T \begin{pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 0 0\\ 0 1 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 1 0 \end{pmatrix} AUΣVT(0110)(200100) 100001010 请注意这个过程在手工计算时很简单但对于更大和更复杂的矩阵通常需要通过计算机算法来完成。在Python中可以用NumPy库中的numpy.linalg.svd函数很方便地计算任意矩阵的奇异值分解。
谱分解方法
谱分解Spectral Decomposition又称本征分解或特征分解Eigen Decomposition是矩阵理论中一种将矩阵分解成一组特征值和特征向量的方法。它是线性代数中的一个重要概念适用于方阵特别是对称矩阵或正规矩阵即满足矩阵与其共轭转置可交换的矩阵。 谱分解的核心思想是将一个矩阵分解为一系列的外积每个外积对应一个特征值和其对应的特征向量。如果矩阵 A A A是 n × n n \times n n×n的对称阵则它可以被分解为 A Q Λ Q T A Q \Lambda Q^T AQΛQT 其中 Q Q Q是一个由矩阵 A A A的所有特征向量组成的正交矩阵即 Q T Q Q Q T I Q^T Q Q Q^T I QTQQQTI其中 I I I是单位矩阵。 Λ \Lambda Λ是一个对角阵其对角线上的元素是矩阵 (A) 的特征值。
谱分解步骤
计算特征值求解矩阵 A A A 的特征多项式的根即解方程 det ( A − λ I ) 0 \det(A - \lambda I) 0 det(A−λI)0其中 det \det det表示行列式 I I I是单位矩阵。计算特征向量对每个特征值 λ i \lambda_i λi求解方程 ( A − λ i I ) v 0 (A - \lambda_i I) \mathbf{v} 0 (A−λiI)v0 来找到对应的特征向量 v \mathbf{v} v。正交化特征向量如果特征值是重复的你可能需要使用如Gram-Schmidt过程来正交化特征向量。**组成 Q Q Q 和 ** Λ \Lambda Λ将正交化后的特征向量放置在 Q Q Q的列中将特征值放入 Λ \Lambda Λ的对角线上。构造谱分解使用上面找到的 Q Q Q 和 Λ \Lambda Λ构造 A Q Λ Q T A Q \Lambda Q^T AQΛQT。
举例 假设我们有一个 2 × 2 2 \times 2 2×2 的对称矩阵 A A A如下 A ( 2 − 1 − 1 2 ) A \begin{pmatrix} 2 -1 \\ -1 2 \end{pmatrix} A(2−1−12) 要对 A A A 进行谱分解我们需要
计算特征值
解方程 det ( A − λ I ) 0 \det(A - \lambda I) 0 det(A−λI)0得到特征值 λ 1 1 \lambda_1 1 λ11 和 λ 2 3 \lambda_2 3 λ23。
计算特征向量
对 λ 1 1 \lambda_1 1 λ11解方程 ( A − λ 1 I ) v 0 ) 得到 ( v 1 1 2 ( 1 1 ) (A - \lambda_1 I) \mathbf{v} 0 ) 得到 (\mathbf{v}_1 \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} (A−λ1I)v0)得到(v12 1(1 1)。 对 λ 2 3 \lambda_2 3 λ23解方程 ( A − λ 2 I ) v 0 (A - \lambda_2 I) \mathbf{v} 0 (A−λ2I)v0 得到 v 2 1 2 ( 1 − 1 ) \mathbf{v}_2 \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} v22 1(1 −1)。
**构成 Q Q Q 和 ** Λ \Lambda Λ Q ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) , Λ ( 1 0 0 3 ) Q \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad \Lambda \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 3 \end{pmatrix} Q(2 12 12 1−2 1),Λ(1003)
谱分解 A Q Λ Q T ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 1 0 0 3 ) ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) T A Q \Lambda Q^T \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^T AQΛQT(2 12 12 1−2 1)(1003)(2 12 12 1−2 1)T 这个分解显示了矩阵 (A) 可以通过其特征值和特征向量完全重构。谱分解在理论上和计算上都非常重要它在信号处理、量子力学、主成分分析PCA等领域有广泛应用。
