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前言
一、不定积分与定积分
1.原函数与不定积分
2.定积分
#xff08;1#xff09;定义
#xff08;2#xff09;性质
3.存在定理
#xff08;1#xff09;不定积分存在定理
#xff08;2#xff09;定积分存在定理
二、变限积分
1.性质
三、反常积分…目录
前言
一、不定积分与定积分
1.原函数与不定积分
2.定积分
1定义
2性质
3.存在定理
1不定积分存在定理
2定积分存在定理
二、变限积分
1.性质
三、反常积分
1.概念
1反常积分的敛散性
2敛散性判别
2.例题
结论 IDHL_5461
前言
本文为张宇老师《基础三十讲》高数第八讲的自用笔记。不做商用侵删致歉
例题的序号以1.2.1为例意思是一里第2的第1个例题总之从标题一一、二、三酱紫的往里数就是。
这一章重点在不定积分和定积分的存在定理、定积分、变限积分的性质难点是反常积分的敛散性判别。 一、不定积分与定积分
虽然这俩名字相像在计算上也有相似但是个人感觉性质这里还是把它们看成完全不同的东西便于理解放一起说是便于区分
1.原函数与不定积分
求不定积分其实就是算一个函数的全体原函数比如只是一个记号代表求的全体原函数。或者把它写作会更好理解一点。
也就说定积分内部的函数与其结果是导数与函数的关系。这和后面的变限积分有着明显区别变限积分只在特殊连续情况下与得到的函数是函数与导数关系。这也导致了不定积分与变限积分和性质的不同变限积分后面说。 正如前面所说是的导数所以必可导可导函数又必连续可以根据这个直接看函数是否连续或可导在选择题中判断中选项是否是原函数。而作为导函数必须有介质性这也是不定积分存在定理后面详谈 2.定积分
定积分求的是曲线与x轴所围面积的代数和
1定义
①定义式
②特殊形式 特殊形式可用于n趋于无穷的n项和计算做不出来再考虑放缩 例1.2.1求 思路 先考虑定积分做不出来再考虑放缩 2性质
①保号性 特殊地有 ②估值定理
③中值定理
3.存在定理
1不定积分存在定理
如果往导函数的性质上面去想这个就挺明显了无穷间断点和第一类间断点都不符合导函数“介质性”所以这两个一定没有原函数即不定积分不存在
①连续函数必有原函数
②有震荡间断点的不一定有原函数
③有第一类间断点和无穷间断点的一定没有原函数
2定积分存在定理
定积分求的是面积所以要定积分存在只需曲线可以“围起来”即可
所以定积分存在的必要条件是
①定积分存在则函数在有界区间上必有界
充分条件是比必要条件更“广泛”的条件必要条件可以看作充分条件的子集所以直接引申
②在上连续则定积分存在
③在上单调则定积分存在
④在上有界且只有有限个间断点则定积分存在 二、变限积分
是表示一个面积的函数很神奇的再大多数情况下它是的原函数但不代表因为前者永远是的原函数但后者只在一些情况下成立。
1.性质
①变限积分本质是一个函数该函数存在即连续
②可积则连续
③连续则可导且导数为
④为跳跃间断点则在不可导
⑤为可去间断点则在可导但导数不为而是 三、反常积分
1.概念
前面说定积分的必要条件是区间有界和函数有界那么如果不有界就成了反常积分
1反常积分的敛散性
在的邻域内无界则为瑕点瑕点和统称为奇点
若是唯一奇点则两个积分都收敛则反常积分收敛。反常积分不能用“偶倍奇零”计算
2敛散性判别
这部分虽是难点但其实和之前算极值是一样的因为除了少数放缩下面的方法①的其余都是无穷大小比阶的问题而且瑕点也就那几个0或者其它点那都极少极少。极限计算掌握熟练的其实比阶上面差不多一眼就能看出来了
①比较反常积分里面的函数大的收敛小的必收敛小的发散大的必发散 注意这里要求函数都大于0但是由于函数的绝对值收敛函数也收敛所以得出的结果是一样的但是大题最好多写一步比如例3.1的D选项 ②奇点为比较函数无穷小的阶次同阶一致低阶无穷小收敛高阶无穷小必收敛高阶无穷小发散低阶无穷小必发散
③奇点为瑕点比较函数无穷大的阶次同阶一致低阶无穷小发散高阶无穷小必发散高阶无穷小收敛散低阶无穷小必收敛
④ 2.例题
例3.1以下反常积分发散的是
A
B
C
D 思路 A不太好比阶所以考虑放缩还是很容易想到由拉格朗日中值定理推的那个不等式所以与同阶“抓大头”具有相同敛散性而收敛根据①所以A收敛 B有两个瑕点注意先拆分。首先看第一个趋于0时下面是常数所以看的敛散性根据④当时是收敛的而在前面学到过的速度是远没有幂函数快的是低阶无穷大由③收敛后半部分“抓大头”由决定收敛所以后半部分收敛。B收敛 C与同阶发散所以C发散 D有两个瑕点注意先拆分。奇偶函数看一半就好了。这里可别傻了吧唧的与同阶直接代掉了毕竟0可不是瑕点要看无穷无穷时和可不同阶。没法代了不好算那就回到①。①的话有个函数都大于0的条件所以加个绝对值来算然后你就会发现回到最初的起点~收敛吧。根据①所以带绝对值那个收敛。①后面还补充了啥来着函数的绝对值收敛函数也收敛所以去了绝对值也收敛。奇函数根据原点对称另一半也收敛所以D收敛 结论
一天一篇这两天高产似那啥不是
这一篇的敛散性判别确实有难度可以去复习一下无穷大无穷小比阶再回来看会有不一样的收获~
