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0 问题引出#xff1a;什么是秩#xff1f;
概念备注#xff1a;
1 先厘清#xff1a;什么是维数#xff1f;
1.1 真实世界的维度数
1.2 向量空间的维数
1.2.1 向量空间#xff0c;就是一组最大线性无关的向量组/基张成的空间
1.3 向量α的维数
1.3.1 向量的…目录
0 问题引出什么是秩
概念备注
1 先厘清什么是维数
1.1 真实世界的维度数
1.2 向量空间的维数
1.2.1 向量空间就是一组最大线性无关的向量组/基张成的空间
1.3 向量α的维数
1.3.1 向量的维数分量(数字/标量)个数
1.4 向量组/矩阵 A 的维数
1.4.1 什么是向量组的维度:
1.4.2 那如果把向量组拆成 列向量组/行向量组呢
1列空间与列秩
2行空间与行秩
3向量组的行秩列秩
2 不同的点线面向量组的2种展示形式方程组矩阵函数
2.1 向量空间的点线面等用方程的形式展示
2.2 可表示为的点线面的向量组等如何用向量组表示呢
2.2.0 为什么这里考虑向量组可表示为的点线面
2.2.1 向量空间的点一般维数是1但是特例原点维数是0
2.2.2 向量空间的直线维数是1
1第一种向量空间里非原点的向量都可以认为是射线线段直线
2第2种传统的直线方法也可以认为是两个向量加减所得的1个新向量
2.2.3 向量空间的平面维数是2
2.2.4 向量空间的立体空间维数是3 2.2.5 综上所述向量空间的维度 ≠ 其中向量组的向量的个数(而是)
1.5 两种方法等价吗
→点线面等向量组/矩阵表示和方程表示等价吗
0维向量
1维向量
2维向量组
3维向量组
2 向量的维度和向量组的维度
2.1 维度数的定义
2.2 向量组的维数
向量组只有秩没有维度
2.3 向量维数与空间维数的区别
3 向量和向量组的秩
3.1 向量的秩
3.1.1 向量没有秩
3.1.2 如果把向量看成1*n 或m*1的矩阵那么向量的秩1
3.2 向量组的秩
3.2.1 向量组的秩的严格定义
3.2.2 向量组的秩的其他定义秩是实际占用的维度
3.2.3 区分3维空间的1个平面向量组和2维平面向量组的区别
3.3 举例各种向量组的秩分别为多少
3.3.1 向量组的秩的例子1
3.3.2 向量组的秩的例子2
3.4 向量的秩的判断
4 维度和秩的关系
4.1 维度和秩的区别
4.2 维度和秩之间的关系
5 向量组的秩的各种定理
5.1 定理1矩阵的秩列秩行秩
5.2 定理2在自然定义域下矩阵函数Axy的值域就是A的列空间
5.3 定理3 列满秩 and 行满秩 满秩矩阵 必须是方阵
5.4 定理4矩阵转秩后行列空间互换不会改变矩阵的秩
5.5 定理5 所有的初等行矩阵都是满秩矩阵
5.6 定理6rank(AB)min(rank(A),rank(B))
5.7 定理7假设P,Q为满秩矩阵rank(A)rank(PA)rank(AQ)rank(PAQ)
5.8 定理8假设A,B为同型矩阵rank(AB)rank(A)rank(B)
5.9 定理9对于矩阵函数来说定义域是向量空间时其值域也为向量空间且定义域的维度值域的维度
5.10 定理10当定义域是向量空间时
若矩阵函数是单射 等价于 定义域的维度值域的维度
若矩阵函数是非单射 等价于 定义域的维度值域的维度
5.11 定理11 在自然定义域下
A是列满秩矩阵 等于矩阵函数是单射
当矩阵函数是单射AXy是单射 等价 A是列满秩矩阵
若矩阵函数是单射 等价于 定义域的维度值域的维度
5.12 定理12 在自然定义域下
当矩阵是非单射时值域中的每个向量都有无数定义域中的向量与之对应
若矩阵函数是非单射 等价于 定义域的维度值域的维度
5.13 定理13 在自然定义域下
A是行满秩矩阵 等价 AXy是满射
5.14 定理14 在自然定义域下
A是满秩矩阵 等价 AXy是双射
5.15 定理15 在自然定义域下
A是满秩矩阵对应矩阵函数为双射且A存在反函数称为A可逆
5.16 定理16假设P,Q为满秩矩阵
5.17 定理17如果可以通过一系列初等变化矩阵Ei将A变成I那么A的逆矩阵就是这些Ei的乘积
5.18 如A可逆那么A-也可以逆(A-)-A
5.24 定理24
6 求秩的方法
6.1 求秩的方法
6.2 行列式方法
6.3 线性变换方法
6.4 化简矩阵
7 秩的性质 0 问题引出什么是秩 其实看线代一直挺模糊的对这个概念感觉好像就是维度但好像又不是. 更不清楚为什么有了维度为啥要搞出一个秩的概念。一般大家初步的想法就是向量矩阵/向量组不都有维度吗 而且大家经常会问的问题秩和维度什么关系秩维度吗
概念备注
本文里把向量数组 向量组矩阵这2组概念混用。 1 先厘清什么是维数
问什么是秩需要先搞清楚什么是维度数 维数:维度的数量
讨论维度首先需要明确对象谁的维度因为不同对象的维度定义不同
真实世界得维度向量的维度向量组的维度向量空间的维度... 1.1 真实世界的维度数
0维空间点1维空间一条线直线/曲线。但强调是1条线2维空间一个面平面/曲面。但强调是1个面3维空间立体图形3维世界4维空间加时间加啥的各种说法都有。。。。。。。。 1.2 向量空间的维数
1.2.1 向量空间就是一组最大线性无关的向量组/基张成的空间
一组最大线性无关的向量组基一组最新线性无关的向量组/基 张成的空间是指这些这个向量空间内的所有向量都可以由这组线性无关的向量组线性变换而成。这也是向量空间的封闭性。 1.3 向量α的维数
维数维度数量
1.3.1 向量的维数分量(数字/标量)个数
向量的维数数就是向量的分量数向量内部的元素之间只需要数个数不再考虑这些元素数字之间的关系。
向量的维数就是向量的分量的个数比如α1 [a11,a12......a1m] 有m个分量维度就是m列向量α1 [a11,a12......a1m]其分量的个数为m所以列向量的维度就是m行向量α1T[a11,a12......a1m]T其分量的个数为m所以行向量的维度就是m 1.4 向量组/矩阵 A 的维数
1.4.1 什么是向量组的维度: 向量有维度概念但是向量组的组成成分是向量可以认为向量组只包含向量个数没有维度。向量组只有向量个数层面的向量个数秩等。
3个概念
向量里的数字/标量个数维度向量组的向量个数秩向量组的秩 1.4.2 那如果把向量组拆成 列向量组/行向量组呢
向量组本身是由多个向量组成的同时又可以拆为多个行向量./列向量 如下构成的向量组 向量α1[a11,a12......a1m]向量α2[a21,a22......a2m]....因为向量组矩阵A[α1, α2.......αn] 向量组是什么向量组其实就是矩阵
如果用row column分别表示行和列向量组可以转化为列向量组比如[c1,c2.....cn]-----组成列空间向量组可以转化为行向量组比如[r1,r2.....rn]-------组成行空间 1列空间与列秩
矩阵的列空间向量组可以拆为多个列向量进而组成列空间列空间有秩列秩记作 rank(colsp(A)) 可以转成列向量组 直接 A*X 因此在自然定义域下矩阵函数Axy的值域就是A的列空间矩阵函数Axy的值域的维度就是A的列空间的维度
在自然定义域下矩阵的秩 等于 矩阵函数Axy的值域的维度Amn*Xn1Ym1展开为列向量不好算Amn*Xn1{c1,c2.....,cn}*Xn1 {Cm1,Cm1....,Cm1}*Xn{Cm1*x1,Cm1*X2.....Cm1*xn}Y。因此可见Y值域的维度就是由A*x 决定的确切的说是由A决定的因为是A*XA左乘XA是基。 向量组A[c1, c2......cn] 的维度数不再关注其中每个元素向量里包含的下级元素数量了 而重点只关心向量组A[c1, c2......cn]的列向量的个数就是n 但是列向量的个数n就是维数吗NO 列向量组组成的列空间的维数 列向量组内列向量的个数列向量组组成的列空间的维数 列向量组所在向量空间的维数 2行空间与行秩
矩阵的行空间向量组可以拆为多个行向量进而组成行空间列空间有秩列秩记作 rank(rowsp(A)) 可以转成行向量组 把行向量组进行转置后*X, 即可At*X 3向量组的行秩列秩
向量组的行秩列秩详细见下面 2 不同的点线面向量组的2种展示形式方程组矩阵函数
以三维空间为例这些向量组组成的图形都是这个3维向量空间的子空间
点对应的向量组线对应的向量组面对应的向量组立体空间对应的向量组 2.1 向量空间的点线面等用方程的形式展示
比如
3维直角坐标系中点的方程为AxD0 → x常数3维直角坐标系中直线方程为AxByD03维直角坐标系中平面方程为AxByCzD0... 2.2 可表示为的点线面的向量组等如何用向量组表示呢
2.2.0 为什么这里考虑向量组可表示为的点线面
因为把向量组表示为点线面可以获得向量组维度的直观感受用眼睛都能看出来向量组的维数下面以三维空间为例下面以三维空间为例下面以三维空间为例 2.2.1 向量空间的点一般维数是1但是特例原点维数是0
点里还由特殊情况只有零向量维度是0普通的一个点对应的向量维度是1比如向量 维度是0比如向量 维度是1也可以认为是一条射线线段直线 2.2.2 向量空间的直线维数是1
1第一种向量空间里非原点的向量都可以认为是射线线段直线
点里还由特殊情况只有零向量维度是0普通的一个点对应的向量维度是1比如向量 或 其实向量空间都可以认为是一条射线线段直线维数是1 2第2种传统的直线方法也可以认为是两个向量加减所得的1个新向量
直线无非就是2点之间的连线但是向量空间内两个点之间的线段也可以认为是两个向量加减所得的1个新向量比如 可以看成2个列向量[c1,c2 ]但是其就是一条直线维数是1也就是说虽然看起来是2个列向量但是图形的维度是1比如 可以看成2个列向量[c1,c2 ]也是一条直线维数是1也就是说虽然看起来是2个列向量但是图形的维度是1 2.2.3 向量空间的平面维数是2
平面这样一种面面上任意两点的连线整个落在此面上平面一般需要3个点形成一个面但是在向量空间里平面可以是2条直线非线性相关的向量张成的空间比如 和都是一条直线但不是平面因为过了零点零向量但是也不能组成一个平面因为c1和 c2分别是 和线性相关其实在同一条直线上见下图不能通过线性变换倍加倍数交换的方式组成其他平面空间内的向量也就是说虽然看起来是2个列向量但是图形的维度是1但是就会组成一个平面可以看成2个列向量[c1,c2 ]因为 和线性无关可以组成一个平面也就是说看起来是2个列向量实际图形的维度也是2 举个最简单的例子但是就会组成一个平面因为 和线性无关可以组成一个平面这个平面在XYZ空间里实际上就是XOY平面 2.2.4 向量空间的立体空间维数是3
错误例子向量组里有3个列向量一定可以组成一个3维的空间FALSE 但是如果就会组成一个平面因为 和和线性相关不能线性变换组成一个三维空间 而是共线维度是1 正确举例是3维空间中的立体空间其实是3维空间中子空间
依然用线性无关向量组张成3维空间的角度来看
举个最简单的例子但是就会组成一个平面因为 和和线性无关可以组成一个三维空间这个三维空就是向量空间本身也就是XYZ空间里其实这3个列向量就是自然基也是正交基 2.2.5 综上所述向量空间的维度 ≠ 其中向量组的向量的个数(而是)
向量空间内的某些向量组如列向量组组成的维度向量空间的维度 ≠ 向量组的向量个数
如3维向量空间里的0向量[0,0,0]就是0维的如3维向量空间里的一条直线 可以看成2个列向量[c1,c2]虽然向量组里的个数2但是就是1维的如3维向量空间里的向量组虽然列向量个数是5但是是1维的是直线如3维向量空间里的向量组虽然列向量个数是5但是就是2维的是一个平面
向量空间内的某些向量组如列向量组组成的维度不可能超过向量空间的维度否则就违背了空间的封闭性原则
如3维向量空间里的所有向量向量组的维度不可能大于3而是3
向量空间内的某些向量组如列向量组组成的维度可能看起来大于向量空间的维度但是实际上因为这些向量组之间是线性相关的实际的维度并不会大于向量的维度。 2.3 两种方法等价吗
→点线面等向量组/矩阵表示和方程表示等价吗 我觉得两者应该是等价的实际可以这样推导
0维向量
0维度向量向量 1维向量
比如向量 维度是1可扩展为 2维向量组
比如向量 3维向量组
比如向量组
可见矩阵和这些图形的方程是等价的 比如 3维直角坐标系中点的方程为AxD0 → x常数3维直角坐标系中直线方程为AxByD03维直角坐标系中平面方程为AxByCzD0... 2 向量的维度和向量组的维度
2.1 维度数的定义
向量的维数
向量的维数是指向量在分量的个数如:a,b,c,这就是一个三维向量.向量有多少个分量如abc这就是一个三维向量 2.2 向量组的维数
向量组的维度数其实就是向量空间的维数向量组只有秩而只有向量组的元素向量才有维度 向量组只有秩没有维度
行秩列秩 2.3 向量维数与空间维数的区别
所谓空间维数指的是空间基当中向量的个数,并不是由向量组的维数确定的.如x|xk(a,b,c),k为任意常数这就是一维向量空间.就是空间当中的一条直线. 3 向量和向量组的秩
3.1 向量的秩
3.1.1 向量没有秩
秩是向量组/矩阵才有的概念 3.1.2 如果把向量看成1*n 或m*1的矩阵那么向量的秩1
矩阵可以等价于向量组同样向量其实也可以等价于矩阵
向量其实可以看成n*1矩阵 的或者1*n的矩阵
列向量相当于n*1 矩阵行向量相当于1*n 矩阵 如果把向量看成1*n 或m*1的矩阵那么向量的秩1向量的秩都为1从把列向量/行向量看成矩阵可知其实都是1维的秩为1为什么呢因为向量的秩序 rank()列秩行秩必然只能是1当然也有特例。如果是原点零向量[0,0] [0,0,0] 这样子的秩0.零向量还有一个特性是与所处向量空间任意其他向量都是线性相关的。 3.2 向量组的秩
3.2.1 向量组的秩的严格定义
引用下面这个知乎的定义向量组的秩是是描述向量组在所在的向量空间内所受到的局限性的维度。
比如一个3维空间里的向量组虽然坐标都是3维的但是 实际只能做出一个2维的平面所以局限的维度是2秩2
为什么要引入矩阵的秩这一概念 - 知乎一个n维空间的维数是n它的任何一个局部的空间(子空间)的维数也是n但一个局部空间的秩就不一定是n了…https://www.zhihu.com/question/265684815/answer/2051914057 我经常搞混高等代数里的各种秩和维数可以帮我梳理一下不同数学对象的秩和维数的区别和联系吗 - 知乎维数与秩是两件事维数是指一个数组(学名向量)里面含有几个数字每一个数字占据一个维度数字越多说…https://www.zhihu.com/question/503134151/answer/2256555187 3.2.2 向量组的秩的其他定义秩是实际占用的维度
向量组的秩是向量组在所在向量空间内实际占用的维度我自己定义的
或者用前面知乎的是受局限的维度。 秩可以代表实际占用的维度数量 秩可以代表实际受限制的几何分布情况 若从几何空间角度看就是这些向量是怎么分布的。 我们以三维空间为例(便于理解) 如果一组向量的秩为1那么就说明它们全部分布在一根直线上也就是全部局限在一个秩1的空间中但这时它们依旧都是三维向量并没有降维成一维向量若秩为2就表明它们都处在一个扁平的空间里它们都被局限在一个秩2的空间里但它们也依旧都是三维向量并没有降维成二维向量如果它们之间的关系是秩3的则表明它们在三维空间中的分布没有受到限制是可以满(三维)世界分布的。对于一组非零向量最受限制的分布状态就是秩1了这时所有的向量都汇聚在一起统统“共线”。 简短定义
向量组内的向量的个数虚胖/过瘦相对比维数维度数向量和向量组所在空间的维度数向量空间的未读数秩 真实使用的维度数/受局限占用的维数比如一个平面虽然秩真实占用维度2但还是在3维的向量空间里。 3.2.3 区分3维空间的1个平面向量组和2维平面向量组的区别
也就是说3维空间的平面 ≠ 2维空间里的平面表示方法 3维空间的平面axbyczd0, 任意一点的坐标为[k1,k2,k3]表示方法 3维空间的平面axbyd0, 任意一点的坐标为[k1,k2]两者完全不同只是都是可以展开为一个平面但是一个属于3维1个属于2维 3.3 举例各种向量组的秩分别为多少
零向量的秩为0点 列向量 行向量的秩为1向量组矩阵秩序能为1,2,3。。。或更多可能对应直线面立体子空间等。
比如在一个三维空间里部分向量组直线/曲线的秩为1部分向量组平面/曲面的秩为2部分向量组立体的子空间的秩为3这个算张量tensor, 高阶向量组吧。。。
3.3.1 向量组的秩的例子1 列向量组[c1, c2......cn]的子集比如[c1, c2,c3] 最大线性无关向量组子集[c1, c2,c3]的元素个数才是列向量空间的维数或者秩比如在一个3维空间内虽然所有的单个向量坐标都是3维的{x1,x2,x3}但是任意取N个这样的向量组所能张成的空间却可能是0维度0向量1维共线等2维平面或3维的列向量组[c1, c2......cn] 有可能比所处空间的维度小比如3维空间里的向量组 就只有2维这2个向量组{c1,c2} 其中 这两个向量线性无关但是只能张成一个3维空间内的一个平面。 列向量组[c1, c2......cn] 有可能刚好和所处空间的维度一样就是这个列向量组内部的列向量全都是线性无关的列向量组[c1, c2......cn] 的向量个数有可能看起来很多但实际维度所处空间的维度比如就是一个看起来列向量组的列向量很多但这些列向量全部线性相关实际可以线性变换为其实就只占1个维度是一个1维的向量组秩1 3.3.2 向量组的秩的例子2 比如这样一个向量组 实际上虽然这个向量组表面看起来可以写成 {c1,c2,c3,c4,c5} 这样5个列向量的组合。但是实际上这5个列向量是共线的所以实际上这个向量组的维度不但不是5甚至也不是3而是1。因为可以线性变换为这样 所以可以看出这个向量组看起来有5个列向量但实际这5个列向量都是线性相关的而{c1,c2,c3,c4,c5}里的最大线性无关组是1个所以其维度1colum-rank1其实也可以转换为行向量{r1,r2,r3}通过线性变化变成 也是一样的 3.4 向量的秩的判断
列秩列向量里最大无关组的向量数量行秩行向量里最大无关组的向量数量列秩行秩如果A是2维的向量/矩阵定义域为维那么输出的内容值域只能是0维1维和2维 4 维度和秩的关系
4.1 维度和秩的区别
维数讲的是向量的结构(几维)秩描绘的是向量之间线性相关的程度。向量组的占用维度数秩是向量组的“特征值”它表明了一个n维向量的组里最大的一组线性无关组里能有几个向量。 4.2 维度和秩之间的关系
秩最多等于维数当秩等于维数时向量组为向量空间的一组基。秩最多等于维数这时向量组的分布被称为“满秩”的若秩比维数小则叫“不满秩”而不满秩的程度就要看秩比维数小多少了。秩越小分布就越受限。 5 向量组的秩的各种定理
5.1 定理1矩阵的秩列秩行秩 因为 A的行秩 A的列秩 因为 A的列秩 A的行秩 所以 A的列秩 A的行秩 5.2 定理2在自然定义域下矩阵函数Axy的值域就是A的列空间 在自然定义域下矩阵函数Axy的值域就是A的列空间在自然定义域下矩阵的秩 等于 矩阵函数Axy的值域的维度Amn*Xn1Ym1展开为列向量不好算Amn*Xn1{c1,c2.....,cn}*Xn1 {Cm1,Cm1....,Cm1}*Xn1展开为行向量好算Amn*Xn1{r1,r2.....,rm}*Xn1 {R1n,R1n....,R1n}*Xn1{R1n*x1,R1n*X2.....R1n*xn}Y。因此可见Y值域的维度就是由A*x 决定的确切的说是由A决定的因为是A*XA左乘XA是基。 矩阵的列空间向量组可以拆为多个列向量进而组成列空间列空间有秩列秩记作 rank(colsp(A)) 可以转成列向量组 直接 A*X 5.3 定理3 列满秩 and 行满秩 满秩矩阵 必须是方阵 如果某矩阵既是列满秩又是行满秩那么就称该矩阵为满秩矩阵就简称满秩。满秩矩阵必为方阵。 5.4 定理4矩阵转秩后行列空间互换不会改变矩阵的秩 rank(A) rank(AT) 5.5 定理5 所有的初等行矩阵都是满秩矩阵 5.6 定理6rank(AB)min(rank(A),rank(B)) 两个矩阵点乘后的矩阵的秩 任意一个矩阵的秩推论 定义域的秩值域的秩rank(AB)rank(A)rank(AB)rank(B) 5.7 定理7假设P,Q为满秩矩阵rank(A)rank(PA)rank(AQ)rank(PAQ) 即如果满秩矩阵和其他矩阵点乘那么所得结果的矩阵的秩只会受其他非满秩矩阵的影响。也就是满秩矩阵不影响最终矩阵的影响rank(A)rank(PA)rank(AQ)rank(PAQ) 5.8 定理8假设A,B为同型矩阵rank(AB)rank(A)rank(B) 因为只有A 和B 只有同型才可以相加rank(AB)rank(A)rank(B)即矩阵的和的秩 任一加数矩阵的秩也就是无论加法还是点乘矩阵的结果的秩都只会变小或不变 5.9 定理9对于矩阵函数来说定义域是向量空间时其值域也为向量空间且定义域的维度值域的维度 对于矩阵函数来说定义域是向量空间时其值域也为向量空间 且定义域的维度值域的维度 从矩阵函数AXY对应的矩阵点乘也能得出一样的结论 5.10 定理10当定义域是向量空间时 若矩阵函数是单射 等价于 定义域的维度值域的维度 若矩阵函数是非单射 等价于 定义域的维度值域的维度 5.11 定理11 在自然定义域下 A是列满秩矩阵 等于矩阵函数是单射 当矩阵函数是单射AXy是单射 等价 A是列满秩矩阵 若矩阵函数是单射 等价于 定义域的维度值域的维度 5.12 定理12 在自然定义域下 当矩阵是非单射时值域中的每个向量都有无数定义域中的向量与之对应 若矩阵函数是非单射 等价于 定义域的维度值域的维度 5.13 定理13 在自然定义域下 A是行满秩矩阵 等价 AXy是满射 5.14 定理14 在自然定义域下 A是满秩矩阵 等价 AXy是双射 总结 在自然定义域下 A是列满秩矩阵 等价于 矩阵函数AXy是单射 A是行满秩矩阵 等价于 矩阵函数AXy是满射 A是满秩矩阵 等价于 矩阵函数AXy是双射 5.15 定理15 在自然定义域下 A是满秩矩阵对应矩阵函数为双射且A存在反函数称为A可逆 5.16 定理16假设P,Q为满秩矩阵
rank(A)rank(PA)rank(AQ)rank(PAQ) 5.17 定理17如果可以通过一系列初等变化矩阵Ei将A变成I那么A的逆矩阵就是这些Ei的乘积 一般顺序要反过来Ei*Ei-1*....E2*E1* AIA-*AIA- Ei*Ei-1*....E2*E1 5.18 如A可逆那么A-也可以逆(A-)-A 5.24 定理24 6 求秩的方法
6.1 求秩的方法
行列式方法线性变换方法化简矩阵 6.2 行列式方法 6.3 线性变换方法 6.4 化简矩阵 7 秩的性质
满秩有逆矩阵
