如何建设局域网网站,拉新工作室在哪里接项目,html网页设计工具,哈尔滨做网站哪里好文章目录 二、曲面积分2.2 对坐标的曲面积分#xff08;第二类曲面积分#xff09;1. 问题产生 —— 流量2. 对坐标的曲面积分的定义#xff08;了解#xff09;3. 对坐标的曲面积分的性质4. 对坐标的曲面积分的计算法#xff08;1#xff09; 二重积分法#xff08;2第二类曲面积分1. 问题产生 —— 流量2. 对坐标的曲面积分的定义了解3. 对坐标的曲面积分的性质4. 对坐标的曲面积分的计算法1 二重积分法2高斯公式 5. 两类曲面积分之间的关系 三、场论初步3.1 梯度、旋度、散度3.2 通量与环流量 写在最后 二、曲面积分
2.2 对坐标的曲面积分第二类曲面积分
1. 问题产生 —— 流量
设 Σ \varSigma Σ 为有侧曲面流体的流速为 v → { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{v}\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} v {P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 单位时间内流过指定侧的曲面的流量 Φ \varPhi Φ 的计算思路元素法如下
1任取 d S → { d y d z , d z d x , d x d y } ⊂ Σ d\overrightarrow{S}\{dydz,dzdx,dxdy\}\sub \varSigma dS {dydz,dzdx,dxdy}⊂Σ
2 d Φ v → ⋅ d S → P ( x , y , z ) d y d z Q ( x , y , z ) d z d x R ( x , y , z ) d x d y d\varPhi\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy dΦv ⋅dS P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy
3 Φ ∬ Σ d Φ ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z Q ( x , y , z ) d z d x R ( x , y , z ) d x d y \varPhi\iint_{\varSigma}d\varPhi\iint_{\varSigma}P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy Φ∬ΣdΦ∬ΣP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy 。
2. 对坐标的曲面积分的定义了解 3. 对坐标的曲面积分的性质
这里说明几点特殊的积分区域 Σ \varSigma Σ 是有方向的不同方向得到的积分结果互为相反数对坐标的曲面积分也具有对称性不过若关于 x O y xOy xOy 面变量 z z z 只需要判断 R ( x , y , z ) R(x,y,z) R(x,y,z) 关于 z z z 的奇偶性。需要注意的是如果是奇函数结果是两倍偶函数才为零这和前面是截然相反的
4. 对坐标的曲面积分的计算法
1 二重积分法
对 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint_\varSigma R(x,y,z)dxdy ∬ΣR(x,y,z)dxdy 的计算设 Σ : z u ( x , y ) \varSigma:zu(x,y) Σ:zu(x,y) 其中 ( x , y ) ∈ D x y (x,y)\in D_{xy} (x,y)∈Dxy 则 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y ± ∬ Σ R ( x , y , u ( x , y ) ) d x d y . \iint_{\varSigma} R(x,y,z)dxdy\pm\iint_{\varSigma} R(x,y,u(x,y))dxdy. ∬ΣR(x,y,z)dxdy±∬ΣR(x,y,u(x,y))dxdy. 其中若 Σ \varSigma Σ 上一点的正侧法向量与 z z z 轴的夹角为锐角结果取正否则取负。
其余两个情形可同理进行计算。
【例】设 Σ : ( x − 1 ) 2 y 2 z 2 1 \varSigma:(x-1)^2y^2z^21 Σ:(x−1)2y2z21 取外侧计算 ∬ Σ y 2 z d x d y \iint_{\varSigma}y^2z\space dxdy ∬Σy2z dxdy 。
解 易知 Σ \varSigma Σ 表示的是一个球面关于 x O y xOy xOy 面对称设上半球面为 Σ 1 \varSigma_1 Σ1 有 ∬ Σ y 2 z d x d y 2 ∬ Σ 1 y 2 z d x d y , \iint_{\varSigma}y^2z\space dxdy2\iint_{\varSigma_1}y^2z\space dxdy, ∬Σy2z dxdy2∬Σ1y2z dxdy, 令 Σ 1 : z 1 − ( x − 1 ) 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D x y , D x y : ( x − 1 ) 2 y 2 ≤ 1 \varSigma_1:z\sqrt{1-(x-1)^2-y^2},(x,y)\in D_{xy},D_{xy}:(x-1)^2y^2\leq1 Σ1:z1−(x−1)2−y2 ,(x,y)∈Dxy,Dxy:(x−1)2y2≤1 则 ∬ Σ y 2 z d x d y 2 ∬ D x y y 2 1 − ( x − 1 ) 2 − y 2 d x d y , \iint_{\varSigma}y^2z\space dxdy2\iint_{D_{xy}}y^2\sqrt{1-(x-1)^2-y^2}dxdy, ∬Σy2z dxdy2∬Dxyy21−(x−1)2−y2 dxdy, 令 x 1 r cos θ , y r sin θ , θ ∈ [ 0 , 2 π ] , r ∈ [ 0 , 1 ] x1r\cos\theta,yr\sin\theta,\theta\in[0,2\pi],r\in[0,1] x1rcosθ,yrsinθ,θ∈[0,2π],r∈[0,1] 有 2 ∬ D x y y 2 1 − ( x − 1 ) 2 − y 2 d x d y 2 ∫ 0 2 π sin 2 θ d θ ∫ 0 1 r 3 1 − r 2 d r 4 π 15 . 2\iint_{D_{xy}}y^2\sqrt{1-(x-1)^2-y^2}dxdy2\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta\int_0^1r^3\sqrt{1-r^2}dr\frac{4\pi}{15}. 2∬Dxyy21−(x−1)2−y2 dxdy2∫02πsin2θdθ∫01r31−r2 dr154π.
2高斯公式
定理 —— 设 Ω \Omega Ω 为几何体 Σ \varSigma Σ 为 Ω \Omega Ω 的外侧曲面 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在 Ω \Omega Ω 上一阶连续可偏导则 ∯ Σ P d y d z Q d z d x R d x d y ∭ Ω ( ∂ P / ∂ x ∂ Q / ∂ y ∂ R / ∂ z ) d v . \oiint_{\varSigma}PdydzQdzdxRdxdy\iiint_{\Omega}(\partial P/\partial x\partial Q/\partial y\partial R/\partial z)dv. ∬ ΣPdydzQdzdxRdxdy∭Ω(∂P/∂x∂Q/∂y∂R/∂z)dv.
【例】计算 ∯ Σ x z 2 d y d z ( x 2 y − z 3 ) d z d x ( 2 x y y 2 z ) d x d y \oiint_{\varSigma}xz^2dydz(x^2y-z^3)dzdx(2xyy^2z)dxdy ∬ Σxz2dydz(x2y−z3)dzdx(2xyy2z)dxdy 其中 Σ \varSigma Σ 为 z 1 − x 2 − y 2 z\sqrt{1-x^2-y^2} z1−x2−y2 和 z 0 z0 z0 所围区域表面外侧如下图所示。 解 由高斯公式可知 ∯ Σ x z 2 d y d z ( x 2 y − z 3 ) d z d x ( 2 x y y 2 z ) d x d y ∭ Ω ( z 2 x 2 y 2 ) d v ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 d φ ∫ 0 1 r 2 r 2 sin φ d r 2 π / 5. \oiint_{\varSigma}xz^2dydz(x^2y-z^3)dzdx(2xyy^2z)dxdy\iiint_{\Omega}(z^2x^2y^2)dv\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/2}d\varphi\int_0^1r^2r^2\sin\varphi dr2\pi/5. ∬ Σxz2dydz(x2y−z3)dzdx(2xyy2z)dxdy∭Ω(z2x2y2)dv∫02πdθ∫0π/2dφ∫01r2r2sinφdr2π/5.
5. 两类曲面积分之间的关系 ∯ Σ P d y d z Q d z d x R d x d y ∬ Σ ( P c o s α Q cos β R cos γ ) d S . \oiint_{\varSigma}PdydzQdzdxRdxdy\iint_{\varSigma}(Pcos\alphaQ\cos\betaR\cos\gamma)dS. ∬ ΣPdydzQdzdxRdxdy∬Σ(PcosαQcosβRcosγ)dS. 其中 cos α , cos β , cos γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ 为曲面 Σ \varSigma Σ 正侧法向量的方向余弦。
【例】设 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 为连续函数 Σ \varSigma Σ 为平面 x − y z − 1 0 x-yz-10 x−yz−10 在第四卦限部分的上侧计算 ∬ Σ [ f ( x , y , z ) x ] d y d z [ 2 f ( x , y , z ) y ] d z d x [ f ( x , y , z ) z ] d x d y . \iint_{\varSigma}[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdy. ∬Σ[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdy. 解 平面 Σ \varSigma Σ 如下图所示 曲面 Σ \varSigma Σ 的法向量为 { 1 , − 1 , 1 } \{1,-1,1\} {1,−1,1} 对应的方向余弦为 cos α 1 / 3 , cos β − 1 / 3 , cos γ 1 / 3 \cos\alpha1/\sqrt{3},\cos\beta-1/\sqrt{3},\cos\gamma1/\sqrt{3} cosα1/3 ,cosβ−1/3 ,cosγ1/3 则原积分可化为 ∬ Σ { [ f ( x , y , z ) x ] / 3 − [ 2 f ( x , y , z ) y ] / 3 [ f ( x , y , z ) z ] / 3 } d S . \iint_{\varSigma}\{[f(x,y,z)x]/\sqrt{3}-[2f(x,y,z)y]/\sqrt{3}[f(x,y,z)z]/\sqrt{3}\}dS. ∬Σ{[f(x,y,z)x]/3 −[2f(x,y,z)y]/3 [f(x,y,z)z]/3 }dS. 即 ∬ Σ ( x z − y ) / 3 d S S / 3 ( 1 / 2 × 2 × 2 × 3 / 2 ) / 3 1 / 2. \iint_{\varSigma}(xz-y)/\sqrt{3}dSS/\sqrt{3}(1/2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}/2)/\sqrt{3}1/2. ∬Σ(xz−y)/3 dSS/3 (1/2×2 ×2 ×3 /2)/3 1/2. 三、场论初步
3.1 梯度、旋度、散度
设 u f ( x , y , z ) uf(x,y,z) uf(x,y,z) 可偏导则 u u u 的梯度为 g r a d u { ∂ f / ∂ x , ∂ f / ∂ y , ∂ f / ∂ z } \pmb{grad}\space u\{\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z\} grad u{∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z} 。这个我们之前接触过是函数在某点处增长最快的方向。
设向量场 A → { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A {P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 则 A → \overrightarrow{A} A 的旋度为 r o t A → ∣ i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ . \pmb{rot}\space\overrightarrow{A}\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} \overrightarrow{j} \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} \\ P Q R\end{vmatrix}. rot A i ∂x∂Pj ∂y∂Qk ∂z∂R . 设向量场 A → { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A {P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 则 A → \overrightarrow{A} A 的散度为 d i v A → ∂ P ∂ x ∂ Q ∂ y ∂ R ∂ z . div\space \overrightarrow{A}\frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial Q}{\partial y}\frac{\partial R}{\partial z}. div A ∂x∂P∂y∂Q∂z∂R. 应该只会考梯度吧我看其他两个连例题都没有。 3.2 通量与环流量
1. 通量
设 A → ( x , y , z ) { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}(x,y,z)\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A (x,y,z){P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 为向量场其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 连续可偏导 Σ \varSigma Σ 为有侧曲面称 Φ ∬ Σ P d y d z Q d z d x R d x d y ∬ Σ A → ⋅ n → d S \varPhi\iint_{\varSigma}PdydzQdzdxRdxdy\iint_{\varSigma}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{n}dS Φ∬ΣPdydzQdzdxRdxdy∬ΣA ⋅n dS 为向量场 A → \overrightarrow{A} A 指向指定侧的流过有侧曲面 Σ \varSigma Σ 的通量或流量其中 n → \overrightarrow{n} n 为曲面 Σ \varSigma Σ 的正侧单位法向量。 好像这个就是两类曲面积分之间的关系 O.O 2. 环流量
设 A → ( x , y , z ) { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \overrightarrow{A}(x,y,z)\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A (x,y,z){P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 为向量场其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R 连续可偏导 L L L 为有向闭曲线称 ∮ L P d x Q d y R d z ∮ L A → ⋅ d s → . \oint_LPdxQdyRdz\oint_L\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{s}. ∮LPdxQdyRdz∮LA ⋅ds . 为向量场 A → ( x , y , z ) \overrightarrow{A}(x,y,z) A (x,y,z) 沿有向闭曲线 L L L 的环流量。 写在最后
曲面积分的学习是痛苦的当然主要还是因为前面的二重、三重、空间解析几何不扎实不过也顺利处理掉了。
那高等数学理论部分到此就全部结束了一个漫长的过程也是三门中分值最大的一部分。剩下的时间里就好好对它进行总结和实践吧。
