长沙本地网站推广,wordpress设置永久链接404,新余做网站公司,网站开发怎么根据设计稿的尺寸算图片高度动量ppp有三个分量#xff0c;为pxp_xpx等。它们分别满足与位置坐标的对易关系#xff0c;比如px−iℏ∂∂xp_x-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}px−iℏ∂x∂。可以用位置坐标梯度算符表示即p−iℏ∇\bm{p}-i\hbar\nablap−iℏ∇。位置矢量用r\bm{r}r表示。
在d3r…动量ppp有三个分量为pxp_xpx等。它们分别满足与位置坐标的对易关系比如px−iℏ∂∂xp_x-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}px−iℏ∂x∂。可以用位置坐标梯度算符表示即p−iℏ∇\bm{p}-i\hbar\nablap−iℏ∇。位置矢量用r\bm{r}r表示。
在d3rd^3\bm{r}d3r我喜欢写作dVdVdV区域发现它的概率是∣Ψ(r,t)∣2dV|\Psi(\bm{r},t)|^2dV∣Ψ(r,t)∣2dV。那么归一化条件是∫∣Ψ∣2dV1\int |\Psi|^2dV1∫∣Ψ∣2dV1。
如果势能与时间无关那么可以确定一组完备的定态Ψn(r,t)ψn(r)e−iEnt/ℏ\Psi_n(\bm{r},t)\psi_n(\bm{r})e^{-iE_nt/\hbar}Ψn(r,t)ψn(r)e−iEnt/ℏn1,2,…n1,2,\dotsn1,2,…。
基本量对易性
xxx和yyy显然可以对易这是常识。
根据动量位置算符关系可以算出pxp_xpx和pyp_ypy也对易对xxx和yyy的求导顺序不影响。
不同维度的坐标和动量例如xxx和pyp_ypy对易。
Ehrenfest定理
根据黄金期变公式与坐标、动量、时间有关的量QQQ满足d⟨Q⟩dtiℏ⟨[H^,Q^]⟩⟨∂Q∂t⟩\frac{d\lang Q\rang}{dt}\frac{i}{\hbar}\braket {[\hat H,\hat Q]}\left\lang {\frac{\partial Q}{\partial t}}\right\rangdtd⟨Q⟩ℏi⟨[H^,Q^]⟩⟨∂t∂Q⟩
第二项在求的时候是0。用上述公式就可以得出Ehrenfest定理。d⟨r⟩dt⟨p⟩m\frac{d\braket {\bm{r}}}{dt}\frac{\braket{\bm{p}}}{m}dtd⟨r⟩m⟨p⟩d⟨p⟩dt⟨−∇V⟩\frac{d\braket{\bm{p}}}{dt}\braket{-\nabla V}dtd⟨p⟩⟨−∇V⟩
球坐标波函数
因为没时间了所以之后会写得简略。
波函数由三个球坐标决定。可以分成半径部分和两个角的部分。ψRY\psiRYψRY。
球坐标nabla算子(1/r2)(r2?Pr)Pr(1/r2sinθ)(sinθ?Pθ)Pθ(1/r2sin2θ)?P2ϕ(1/r^2)(r^2?_Pr)_Pr(1/r^2\sin \theta)(\sin\theta?_P\theta)_P\theta(1/r^2\sin^2\theta)?_{P^2}\phi(1/r2)(r2?Pr)Pr(1/r2sinθ)(sinθ?Pθ)Pθ(1/r2sin2θ)?P2ϕ。
把球坐标nabla算子放进薛定谔方程就可以得到球坐标薛定谔方程。然后代入上述的分成两个部分。
然后两边乘上一个因子就可以把径向部分和角部分分开。径向部分只与R,rR,rR,r有关令其等于l(l1)l(l1)l(l1)角部分只与Y,θ,ϕY,\theta,\phiY,θ,ϕ有关令其等于−l(l1)-l(l1)−l(l1)。
不同基态组合得到同一个状态称为这个状态的简并度(degeneracy)。
YYY可以进一步对两个角分别分成YΘΦY\Theta\PhiYΘΦ。代入方程同样是乘上一个因子分成极角部分和方位角部分。令极角部分等于m2m^2m2方位角部分等于−m2-m^2−m2。
方位角的方程很好解可以记为Φeimϕ\Phie^{im\phi}Φeimϕ。由于ϕ\phiϕ增减2π2\pi2π其实是一样的也就是Φ(ϕ)Φ(ϕ2π)\Phi(\phi)\Phi(\phi2\pi)Φ(ϕ)Φ(ϕ2π)。这个条件要求mmm必须是整数。
极角的方程很难解。首先是ΘAPlm(cosθ)\ThetaAP_l^m(\cos \theta)ΘAPlm(cosθ)。这里的PlmP_l^mPlm是Associated Legendre Function。定义是什么的一个m/2m/2m/2次方乘上Pl(x)P_l(x)Pl(x)对xxx求∣m∣|m|∣m∣次导。其中PlP_lPl是勒让德多项式。PlP_lPl是一个lll次的多项式奇偶性与lll的奇偶性相同并且在111处总是取111。
显然由于PlP_lPl是lll次的ALP又要求∣m∣|m|∣m∣次导那么如果∣m∣l|m|l∣m∣l求出来就永远是000这不满足归一化条件。所以m,lm,lm,l必须满足∣m∣≤l|m|\le l∣m∣≤l。
这样YYY就解出来了再用归一化条件确定系数就行了。归一化了的YYY称作球谐函数。
现在来看径向部分。之前分成YR的假设已经暗含势能V只与半径r的大小有关。
令urRurRurR代入方程得−ℏ22md2dr2uVeffuEu-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dr^2}uV_{\rm{eff}}uEu−2mℏ2dr2d2uVeffuEu
这个形式和薛定谔方程类似。这个方程叫做径向方程(Radial Equation)。除了VeffVℏ22ml(l1)r2V_{\rm{eff}}V\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l1)}{r^2}VeffV2mℏ2r2l(l1)。正体字母用\rm{XXX}就行。VeffV_{\rm{eff}}Veff比VVV多的叫Centrifugal Term项。
归一化条件是∫∣u∣2dr1\int |u|^2dr1∫∣u∣2dr1。
无限深球势阱
在aaa里面势能是000外面是∞\infty∞。即使是这样的势阱也能解出答案吗
外面是000现在解里面。化为d2udr2(l(l1)r2−k2)u\frac{d^2u}{dr^2}(\frac{l(l1)}{r^2}-k^2)udr2d2u(r2l(l1)−k2)u这里的kkk和之前无限深势阱里的定义一样。
如果lll是000那就很简单uTk(A,B,r)u\mathcal{T}_k(A,B,r)uTk(A,B,r)。
注意径向波函数RRR是r/ur/ur/u如果BBB不是000那么当r→0r\to0r→0时就会爆炸。那么B0B0B0。结果又跟之前一样只有AAA。对于n0,1,2,⋯n0,1,2,\cdotsn0,1,2,⋯有En0E_{n0}En0。其中的000表示lll。
让uuu归一化可以得到A2/aA\sqrt{2/a}A2/a。现在知道了RRR。再乘上球谐函数Y00Y_0^0Y00就是答案因为l0l0l0所以mmm只能是000。这就是ψn00\psi_{n00}ψn00。从此也可以看到波函数和三个量有关但能量只和n,ln,ln,l有关。
对于任意的lll解比较复杂是u(r)Arjl(kr)Brnl(kr)u(r)Arj_l(kr)Brn_l(kr)u(r)Arjl(kr)Brnl(kr)。其中jlj_ljl是球贝塞尔函数nln_lnl是球诺埃曼(Neumann)函数。比如j0sin(x)/x,n0−cos(x)/xj_0sin(x)/x,n_0-cos(x)/xj0sin(x)/x,n0−cos(x)/x。
总之球贝塞尔函数在000处有限但是球诺埃曼函数在000处会嘣的一声爆炸了。那么呢球诺埃曼函数就只能是000了。可惜所以还是B0B0B0uArjl(kr)uArj_l(kr)uArjl(kr)。
无限深球势阱的边界条件有R(a)0R(a)0R(a)0那么jl(ka)0j_l(ka)0jl(ka)0不满足是不行的。也就是说kakaka是球贝塞尔函数的零点。SBF是震荡的所有的SBF都有无数个零点。令人遗憾的是这个零点很难计算。总之让βnl\beta_{nl}βnl是jlj_ljl的第nnn个零点。那么Enlℏ2βnl22ma2E_{nl}\frac{\hbar^2\beta_{nl}^2}{2ma^2}Enl2ma2ℏ2βnl2如果第nnn个零点是nπn\pinπ那就完全是之前的了。
波函数是ψnlm(r,θ,ϕ)Anljl(βnlr/a)Ylm(θ,ϕ)\psi_{nlm}(r,\theta,\phi)A_{nl}j_l(\beta_{nl}r/a)Y_l^m(\theta,\phi)ψnlm(r,θ,ϕ)Anljl(βnlr/a)Ylm(θ,ϕ)
有限深球势阱
l0l0l0的情况和一维的情况差不多参见量子力学1。
氢原子结构
认为氢原子是一个在原点的不动的质子具有电量eee。还有一个很轻的电子电量−e-e−e绕着它转。根据库仑定律势能是V(r)−e2/(4πϵ0r)V(r)-e^2/(4\pi\epsilon_0r)V(r)−e2/(4πϵ0r)。
把势能代入径向方程我们的目的就是解出波函数并确定对应的能量。
显然根据这个VVV的形式具有束缚态和散射态。
令κ−2mEℏ\kappa\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}κℏ−2mE。令ρκr\rho\kappa rρκr且ρ0me22πϵ0ℏ2κ\rho_0\frac{me^2}{2\pi\epsilon_0\hbar^2\kappa}ρ02πϵ0ℏ2κme2。方程化为d2udρ2(1−ρ0ρl(l1)ρ2)u\begin{equation}\frac{d^2u}{d\rho^2}(1-\frac{\rho_0}{\rho}\frac{l(l1)}{\rho^2})u\end{equation}dρ2d2u(1−ρρ0ρ2l(l1))u
ρ\rhoρ很大的时候d2udρ2u\frac{d^2u}{d\rho^2}udρ2d2uu。那么uE1(A,B)(ρ)u\mathcal{E}_1(A,B)(\rho)uE1(A,B)(ρ)。都说了ρ\rhoρ很大不能爆炸那么B0B0B0就是uAe−ρuAe^{-\rho}uAe−ρ。
ρ\rhoρ很小的时候离心项(centrifugal term)占主导。d2udρ2l(l1)ρ2u\frac{d^2u}{d\rho^2}\frac{l(l1)}{\rho^2}udρ2d2uρ2l(l1)u。通解是u(ρ)Cρl1Dρ−lu(\rho)C\rho^{l1}D\rho^{-l}u(ρ)Cρl1Dρ−ldudρC(l1)ρl−Dlρ−l−1\frac{du}{d\rho}C(l1)\rho^l-Dl\rho^{-l-1}dρduC(l1)ρl−Dlρ−l−1d2udρ2Cl(l1)ρl−1Dl(l1)ρ−l−2l(l1)ρ2u\frac{d^2u}{d\rho^2}Cl(l1)\rho^{l-1}Dl(l1)\rho^{-l-2}\frac{l(l1)}{\rho^2}udρ2d2uCl(l1)ρl−1Dl(l1)ρ−l−2ρ2l(l1)u
第二项爆炸所以D0D0D0。
也可以u(ρ)ρl1e−ρv(ρ)u(\rho)\rho^{l1}e^{-\rho}v(\rho)u(ρ)ρl1e−ρv(ρ)。这样的vvv代入方程1得……
最后我们假设vvv可以表示成ρ\rhoρ的级数系数是cj(j0,1,2,⋯)c_j(j0,1,2,\cdots)cj(j0,1,2,⋯)。
代入方程可以解得cjc_jcj的递推关系。
级数必须在某一级结束比如cjmax10c_{j_{max}1}0cjmax10。根据递推关系也就是2(jmaxl1)−ρ002(j_{max}l1)-\rho_002(jmaxl1)−ρ00。
定义主量子数(principal quantum number) njmaxl1nj_{max}l1njmaxl1。因此ρ02n\rho_02nρ02n。
由于ρ0\rho_0ρ0表示了κ\kappaκκ\kappaκ表示了EEE所以ρ0\rho_0ρ0可以表示EEE。现在用nnn表示。那就是EnwhateverE1n2E_nwhatever\frac{E_1}{n^2}Enwhatevern2E1
这就是波尔公式。
令aaa是波尔半径等于一坨东西。那么κ1/an\kappa1/anκ1/anρr/an\rhor/anρr/an。ρ02/aκ\rho_02/a\kappaρ02/aκ。
现在我们知道了Rnl(r)1rρl1e−ρv(ρ)R_{nl}(r)\frac{1}{r}\rho^{l1}e^{-\rho}v(\rho)Rnl(r)r1ρl1e−ρv(ρ)。其中vvv是级数且次数为jmaxn−l−1j_{max}n-l-1jmaxn−l−1。
最低能量的态也就是基态(ground state)是n1n1n1的时候。这个时候因为njmaxl1nj_{max}l1njmaxl1那么jmaxj_{max}jmax和lll只能是000因为不能是负数。进而mmm也是000。所以E1whocares−ℏ22ma2−13.6(eV)E_1whocares-\frac{\hbar^2}{2ma^2}-13.6(\rm{eV})E1whocares−2ma2ℏ2−13.6(eV)。这就是氢原子的结合能(binding energy)。现在RRR里面只有vvv的唯一一个系数c0c_0c0是不确定的用归一化来确定。再乘上球谐函数。最后得到基态氢原子波函数ψ1πa3e−r/a\psi\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-r/a}ψπa31e−r/a
用波尔能级公式可以非常简单的求出其它nnn的能量。222以上的态称为激发态(excited state)。根据玻尔公式氢原子能级只与nnn有关。如果l0l0l0那vvv就有两项因为有递推关系所以都可以用c0c_0c0表示那就可以归一化确定。
n2n2n2时(l,m)的组合可能有(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1) n3n3n3时(l,m)的组合可能有(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2)。 显然能级EnE_nEn的简并度是n2n^2n2。简并度就是不同的波函数本征函数对应同一个能量本征值
vvv可以用关联拉盖尔(Laguerre)多项式和拉盖尔多项式表示但是这里太小了我写不下。
基态下电子居然最可能在rarara处找到。
如果需要时间相关的波函数乘上e−iEnte^{-iE_nt}e−iEnt就行了nnn就是ψn\psi_nψn的nnn。
氢原子光谱
两个能级之间跃迁光子频率满足νEγ/h(Einit−Efin)/h(−13.6eV)(1/ni2−1/nf2)/h\nuE_\gamma/h(E_{init}-E_{fin})/h(-13.6eV)(1/n_i^2-1/n_f^2)/hνEγ/h(Einit−Efin)/h(−13.6eV)(1/ni2−1/nf2)/h。
光子波长的导数为1/λν/c1/\lambda\nu/c1/λν/c。因此里德伯(Rydberg)常量R−13.6eV/(ch)R-13.6eV/(ch)R−13.6eV/(ch)。
角动量
Lr×p\bm{L}\bm{r}\times\bm{p}Lr×p
对易算符的常用技巧两条
[A,BC][A,B][A,C][A,BC][A,B][A,C][A,BC][A,B][A,C][A,BC]B[A,C][A,B]C[A,BC]B[A,C][A,B]C[A,BC]B[A,C][A,B]C。[AB,C]A[B,C][A,C]B[AB,C]A[B,C][A,C]B[AB,C]A[B,C][A,C]B。左提左右提右。也就是说多个因子乘在一起的对易子一定可以拆成几个原子对易子乘上什么的和。
[Lx,Ly][ypz,zpx][zpy,xpz]ypx[pz,z]xpy[z,pz]−iℏypxiℏxpyiℏLz[L_x,L_y][yp_z,zp_x][zp_y,xp_z]yp_x[p_z,z]xp_y[z,p_z]-i\hbar yp_xi\hbar xp_yi\hbar L_z[Lx,Ly][ypz,zpx][zpy,xpz]ypx[pz,z]xpy[z,pz]−iℏypxiℏxpyiℏLz。
既然这两个不对易我们就立刻想到可以算一个不确定度。σ2σ2≥(12i⟨Lx,Ly⟩)2ℏ24⟨Lz⟩2\sigma^2\sigma^2\ge(\frac{1}{2i}\braket{L_x,L_y})^2\frac{\hbar^2}{4}\braket{L_z}^2σ2σ2≥(2i1⟨Lx,Ly⟩)24ℏ2⟨Lz⟩2。也就是说不能同时确定LxL_xLx和LyL_yLy。
[L2,Lx][Ly2,Lx][Lz2,Lx]Ly(−iℏLz)(−iℏLz)LyiℏLzLyiℏLyLz0[L^2,L_x][L_y^2,L_x][L_z^2,L_x]L_y(-i\hbar L_z)(-i\hbar L_z)L_yi\hbar L_zL_yi\hbar L_yL_z0[L2,Lx][Ly2,Lx][Lz2,Lx]Ly(−iℏLz)(−iℏLz)LyiℏLzLyiℏLyLz0。你个杀软又把ihbar搞掉了千万别忘了
向量形式可以写成[L2,L]0[L^2,\bm{{L}}]0[L2,L]0。
我们知道如果两玩意儿对易那么他们共享本征函数。一般我们用L2L^2L2和LzL_zLz。
升降算符L±≡Lx±iLYL_\pm\equiv L_x\pm iL_YL±≡Lx±iLY。
易知[Lz,L土]士ℏL土[L_z,L_土]士\hbar L_土[Lz,L土]士ℏL土。然后L2L^2L2和升降算符对易。
