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一、图像退化与恢复概述
二、图像退化中的噪声模型
1、使用 imnoise 函数添加噪声
#xff08;1#xff09;imnoise 函数的概述
#xff08;2#xff09;函数语法
#xff08;3#xff09;支持的噪声类型与具体语法
#xff08;4#xff09;噪声类型的详细…目录
一、图像退化与恢复概述
二、图像退化中的噪声模型
1、使用 imnoise 函数添加噪声
1imnoise 函数的概述
2函数语法
3支持的噪声类型与具体语法
4噪声类型的详细说明
5示例与实践指导
2、生成具有特定分布的随机噪声
1随机噪声生成的理论基础
2随机变量的类型及其特性
i、分布类型及其特性
ii、各分布的特点与应用场景
3各噪声MATLAB代码示例与直方图展示
3、周期噪声
1周期噪声信号及其傅里叶变换
2MATLAB 代码生成周期噪声
4、噪声参数估计
1独立噪声对图像的影响
2周期噪声对图像的影响
3噪声参数估计
4独立噪声与周期噪声的对比
5噪声参数估计的重要性
三、空间域滤波处理噪声
1、噪声模型与空间域滤波
2、均值滤波器
1几种均值滤波器
2滤波示例
3、顺序统计滤波器
1几种顺序统计滤波器
2顺序统计滤波效果
3自适应中值滤波器
i、原理与算法
ii、自适应中值滤波效果
iii、椒盐噪声处理总结
4、综合总结
四、频域滤波去除周期噪声
1、带阻滤波器Bandreject Filters
2. 带阻滤波器的应用
3. 带通滤波器Bandpass Filters
4. 陷波滤波器Optimum Notch Filtering
1基本概念
2数学表示
3频率域滤波步骤
4应用示例
5最优陷波滤波器不懂
6结论
五、退化函数估计
1、图像退化函数的估计
2、大气湍流模型
3、运动模糊建模
1假设图像的模糊是由于线性匀速运动造成的
2傅里叶变换的推导
3运动模糊的传递函数
4不同的运动模型解析
i、匀速直线运动沿 x 方向
ii、匀速直线运动沿任意方向
5、综合分析
六、直接逆滤波恢复图像
1. 直接反滤波的基本理论
2. 图像退化与噪声问题
七、维纳滤波Wiener Filtering
1、Wiener 滤波的理论基础
2、Wiener 滤波的优点与应用
3、实际效果对比
4、MATLAB 实现
5、总结
八、约束最小二乘滤波
1、约束最小二乘滤波的理论基础
2、约束最小二乘滤波的数学推导
3、噪声水平的估计与约束参数
4、约束最小二乘滤波的实验效果
附录
1、随机噪声生成的理论基础
1理论背景与核心内容
2原理推导
3为什么逆变换法有效
4定量证明 服从 的分布
1. 问题描述
2. 基本思路
3. 证明过程
5定性分析 一、图像退化与恢复概述 退化与恢复的概念
退化通过退化函数H 和噪声 模拟图像退化。恢复通过恢复滤波器恢复被退化的图像。
图像退化公式 图像恢复
改善图像使其在某种预定义的标准下更好。根据退化模式选择不同的恢复滤波器 二、图像退化中的噪声模型
1、使用 imnoise 函数添加噪声
1imnoise 函数的概述
imnoise 是 MATLAB 中用于向图像添加噪声的函数具有强大的功能和广泛的应用。它通过模拟现实环境中的噪声干扰如传感器误差、传输噪声等为图像处理算法的开发和测试提供数据支持。
2函数语法 f输入图像可以是灰度图像或RGB图像。type噪声类型指定添加哪种噪声例如高斯噪声、椒盐噪声。parameters根据噪声类型不同需要传入不同的参数来控制噪声的特性。g输出噪声图像。
3支持的噪声类型与具体语法
噪声类型函数语法参数含义解释与特点高斯噪声G imnoise(f, gaussian, m, var)m均值var方差。模拟随机高斯噪声广泛存在于传感器图像中。局部方差噪声G imnoise(f, localvar, V)V局部方差分布矩阵。适用于局部噪声强度变化的场景噪声非均匀分布。椒盐噪声G imnoise(f, salt pepper, d)d噪声密度范围 [0, 1]。随机替换部分像素为最小值黑色或最大值白色。斑点噪声G imnoise(f, speckle, var)var噪声方差。乘性噪声图像噪声与强度值成比例常见于超声成像。泊松噪声G imnoise(f, poisson)无需参数由图像像素值自动决定。基于泊松分布常见于光学成像光子计数噪声。
4噪声类型的详细说明 高斯噪声 (Gaussian Noise) 数学模型高斯噪声服从正态分布 其中 μ 为均值 为方差。特点 噪声均匀分布在整个图像中适合模拟传感器噪声。图像整体出现细微随机抖动。应用 模拟真实图像采集中的噪声干扰。测试去噪算法的效果如均值滤波、维纳滤波。 局部方差噪声 (Local Variance Noise) 特点 噪声强度在局部区域内变化与图像的纹理和局部强度分布相关。优势 适合模拟复杂噪声环境如自然图像或光学系统中非均匀噪声。 椒盐噪声 (Salt Pepper Noise) 数学描述 噪声以概率 d 随机替换像素为0黑色或1白色。视觉效果图像中出现随机的黑点和白点。应用 模拟传输错误、像素损坏导致的噪声。测试中值滤波去噪算法的效果。 斑点噪声 (Speckle Noise) 特点 噪声与图像强度成正比表现为斑点状纹理。乘性噪声模型 其中 是均值为0的高斯噪声。应用 模拟超声图像、SAR雷达图像中的噪声干扰。 泊松噪声 (Poisson Noise) 数学背景基于泊松分布 其中 与图像的像素值成比例。特点 噪声强度随像素值增加而增加。应用 模拟光学成像中的光子噪声例如天文图像。
5示例与实践指导
通过示例代码向图像添加噪声
% 读取输入图像
f imread(cameraman.tif);% 添加不同类型的噪声
G1 imnoise(f, gaussian, 0, 0.01); % 高斯噪声
G2 imnoise(f, salt pepper, 0.02); % 椒盐噪声
G3 imnoise(f, speckle, 0.05); % 斑点噪声
G4 imnoise(f, poisson); % 泊松噪声% 显示噪声效果
figure;
subplot(2,2,1); imshow(G1); title(Gaussian Noise);
subplot(2,2,2); imshow(G2); title(Salt Pepper Noise);
subplot(2,2,3); imshow(G3); title(Speckle Noise);
subplot(2,2,4); imshow(G4); title(Poisson Noise);输出
原图和带有不同噪声的图像直观对比清晰展示各类噪声的特征。 2、生成具有特定分布的随机噪声
1随机噪声生成的理论基础
详细分析见附录1 随机噪声的生成 如果 w 是一个区间 (0,1) 内均匀分布的随机变量可以通过累积分布函数 (CDF) 的逆函数 来生成服从指定分布的随机变量 z。 公式如下 Rayleigh分布的示例 累积分布函数 (CDF) 定义为 由此解出 z
分析 理论支撑 提供了从均匀分布生成指定分布随机数的通用方法通过CDF逆变换实现。公式清晰Rayleigh分布作为示例有代表性说明了如何从均匀分布生成Rayleigh噪声。 Rayleigh分布的具体实现 a平移参数。b控制噪声的扩展程度。
2随机变量的类型及其特性
i、分布类型及其特性
名称 (Name)PDF (概率密度函数)均值与方差 (Mean Variance)CDF (累积分布函数)生成方法Uniform (均匀分布)MATLAB 函数randGaussian (高斯分布)MATLAB 函数randnSalt Pepper (椒盐噪声) 分段定义MATLAB 函数rand 逻辑条件Lognormal (对数正态分布)通过指数变换 Rayleigh (瑞利分布)Exponential (指数分布)Erlang (厄兰分布)通过累加 k 个指数分布变量生成 ii、各分布的特点与应用场景
提供了6种概率分布的PDF图示
高斯分布 (Gaussian)瑞利分布 (Rayleigh)伽马分布 (Gamma)指数分布 (Exponential)均匀分布 (Uniform)椒盐分布 (Impulse) 均匀分布 (Uniform Distribution) 特点随机变量在区间 [a,b] 内等概率分布。应用 基础随机数生成。用作生成其他分布如CDF逆变换法中的输入。生成rand 在MATLAB中可直接生成。 高斯分布 (Gaussian Distribution) 特点中心对称的钟形曲线由均值 a 和方差 b 控制形态。应用 噪声建模传感器噪声、自然界随机噪声。数据分析与统计建模。生成randn 在MATLAB中可直接生成标准高斯分布。 椒盐噪声 (Salt Pepper Noise) 特点图像中随机出现“黑点 (0)” 和 “白点 (255)” 噪声。应用 图像处理噪声模拟。用于测试中值滤波等去噪算法。生成结合 rand 和逻辑条件实现。 对数正态分布 (Lognormal Distribution) 特点随机变量的对数服从正态分布。应用 生物统计描述生长现象、经济数据等。信号幅度建模。生成通过 。 瑞利分布 (Rayleigh Distribution) 特点右偏分布常用于幅度建模。应用 无线通信信号衰减建模。噪声模拟超声图像中的噪声。生成通过 。 指数分布 (Exponential Distribution) 特点单调递减分布用于建模时间间隔。应用 等待时间建模系统故障时间、排队问题。噪声模拟。生成通过 。 厄兰分布 (Erlang Distribution) 特点由 k 个独立同分布的指数随机变量累加而成。应用 排队论与服务时间建模。通信系统中的随机过程建模。
3各噪声MATLAB代码示例与直方图展示 图中展示了6种随机噪声的直方图 a. 高斯噪声 b. 均匀噪声 c. 对数正态噪声 d. 瑞利噪声 e. 指数噪声 f. 厄兰噪声 每个直方图清晰呈现了不同噪声的分布特征。 3、周期噪声
1周期噪声信号及其傅里叶变换 周期噪声信号 其中 定义公式振幅控制噪声的强度。频率参数决定噪声在 和 方向的周期性。相位偏移。图像的大小。 周期噪声的傅里叶变换 (FT) 傅里叶变换结果 这里的 表示傅里叶域中的脉冲出现在 和 两个对称位置。
分析与解释 周期噪声的特点 周期噪声在空间域表现为正弦波周期性在傅里叶域表现为两个对称的脉冲。这些脉冲的位置和强度由噪声的频率 和振幅 决定。 傅里叶域表示的物理意义 在 和 的脉冲对应于正弦噪声的频率分量。相位偏移 和 通过指数项引入影响噪声在时域的位置。
2MATLAB 代码生成周期噪声 代码示例 定义周期噪声的参数矩阵 C 这里的 C 定义了不同的噪声频率分量。使用 imnoise3 函数生成噪声 C[0 64;0 128;32 32;64 0;128 0;-32 32];
[r,R,S]imnoise3(512,512,C);
imshow(S,[]);
figure,imshow(r,[]); 结果展示 左侧图像傅里叶域的噪声谱表现为若干个点状脉冲。右侧图像空间域的周期噪声图案呈现为规则的网格状或条纹状结构。 分析与解释 噪声生成的原理 通过指定傅里叶域的频率位置 再进行逆变换得到空间域的周期噪声。C 矩阵的行定义了不同的噪声频率分量因此生成的噪声具有多重周期性。 MATLAB imnoise3 函数 该函数通过傅里叶域的脉冲生成对应的周期噪声是噪声仿真中的一种重要工具。 视觉结果 空间域中的网格状图案是正弦波的叠加。傅里叶域的脉冲清晰展示了噪声的频率分布。 4、噪声参数估计
1独立噪声对图像的影响 这些图展示了6种独立噪声对图像的污染效果包括 Gaussian 噪声高斯噪声Rayleigh 噪声瑞利噪声Gamma 噪声Exponential 噪声指数噪声Uniform 噪声均匀噪声Salt Pepper 噪声椒盐噪声 每种噪声图像下方显示了对应的直方图反映了图像的灰度级分布。
分析与解释 高斯噪声 (Gaussian Noise) 图像随机噪声均匀分布于整个图像呈现出“雪花”状噪声。直方图呈现典型的钟形曲线符合高斯分布的特性。应用模拟传感器的随机噪声或自然界噪声。 瑞利噪声 (Rayleigh Noise) 图像噪声的随机性较明显强度分布不均匀。直方图显示出右偏分布符合Rayleigh分布的特征。应用常用于建模幅度噪声如超声图像中的噪声。 Gamma噪声 (Gamma Noise) 图像噪声分布不均匀有一定的随机性。直方图显示出偏态分布具有较强的尾部特性。应用用于建模信号噪声或光照分布不均匀的情况。 指数噪声 (Exponential Noise) 图像噪声强度逐渐衰减。直方图显示出单调递减的指数形态。应用描述时间间隔、等待时间的噪声。 均匀噪声 (Uniform Noise) 图像噪声随机分布均匀覆盖整个图像。直方图呈现平坦分布表明灰度级分布一致。应用基础随机噪声用于测试滤波器。 椒盐噪声 (Salt Pepper Noise) 图像噪声表现为随机的黑点和白点。直方图直方图上出现极端峰值分别对应最小值 (0) 和最大值 (255)。应用模拟传输错误或传感器故障导致的噪声。
2周期噪声对图像的影响 内容总结
图像被正弦噪声污染表现为规律的条纹状干扰。傅里叶频谱展示了周期噪声的频率成分形成一对共轭脉冲。
分析与解释 空间域表现 周期噪声在空间域中表现为规则的网格或条纹这是由于正弦波的周期性。 傅里叶域特征 在傅里叶域中周期噪声对应于频谱图中的共轭脉冲位置由噪声的频率确定。 实际应用 周期噪声常见于扫描图像或电磁干扰识别并去除周期噪声对于图像质量至关重要。
3噪声参数估计
如何估计噪声参数主要包括
傅里叶域方法 检测周期噪声的频率分量通过观察傅里叶谱的脉冲位置来确定噪声参数。统计参数估计 通过图像的灰度级直方图估计噪声的均值和方差。实现步骤 选择感兴趣区域 (ROI) 进行噪声分析roipoly。使用 MATLAB 函数计算中心矩与均值。公式与方法 中心矩定义 归一化常数。均值。方差。
图像与直方图对应关系
图像展示噪声对图像的影响。直方图反映图像灰度级分布帮助识别噪声类型。 高斯噪声 → 钟形分布。均匀噪声 → 平坦分布。指数噪声 → 右偏分布。椒盐噪声 → 极端峰值。
4独立噪声与周期噪声的对比
类别空间域表现傅里叶域表现常见去噪方法独立噪声随机分布的点状噪声无明显规律。频谱中无明显脉冲呈现散射分布。空间域滤波均值滤波、中值滤波、维纳滤波等。周期噪声规则的条纹或网格状噪声。频谱中出现对称的脉冲。频域滤波带阻滤波器、陷波滤波器等。
5噪声参数估计的重要性 准确建模 通过估计噪声的均值、方差、分布形态等参数可以准确建模噪声为去噪提供理论基础。 去噪算法设计 不同噪声对应不同的滤波器 高斯噪声 → 高斯滤波、维纳滤波。椒盐噪声 → 中值滤波。周期噪声 → 频域滤波。 实现步骤 选择图像区域 (ROI) 进行分析。计算灰度直方图并估计均值与方差。比较直方图形状确定噪声分布类型。 三、空间域滤波处理噪声
1、噪声模型与空间域滤波
内容总结 噪声模型 给定图像模型 其中 原始图像。噪声通常为随机噪声。在频域表示 噪声滤波器 空间噪声滤波器直接在空间域处理噪声例如均值滤波、中值滤波等。自适应空间滤波器根据图像局部统计特性自适应地滤除噪声。
2、均值滤波器
1几种均值滤波器 算术均值滤波器 (Arithmetic Mean Filter) 基本的均值滤波适用于去除高斯噪声。 几何均值滤波器 (Geometric Mean Filter) 对乘积计算适用于细微噪声。 调和均值滤波器 (Harmonic Mean Filter) 对盐噪声效果好但对椒噪声无效。 逆调和均值滤波器 (Contraharmonic Mean Filter) 去除椒噪声去除盐噪声。
应用与局限性
算术均值和几何均值适用于随机噪声如高斯噪声。调和均值和逆调和均值适用于椒盐噪声但无法同时处理两种噪声。
2滤波示例
示例1 a 图是原图 b 图是加入高斯噪声的图 c 图是3×3核尺寸的算数平均滤波 d 图是3×3核尺寸的几何平均滤波
结果分析算术均值 和 几何均值 滤波后噪声显著降低但图像细节模糊。 示例2 a 图是加入椒噪声 b 图是加入盐噪声 c 图是对 a 图进行逆调和均值滤波核尺寸3×3参数 Q1.5 d 图是对 b 图进行逆调和均值滤波核尺寸3×3参数 Q-1.5
结果分析逆调和均值滤波 可以有效去除椒盐噪声但要根据噪声类型调整 Q 值。如果Q值选择错误的话滤波后效果会恶化如下图 第一个图是对上面的加入椒噪声的 a 图进行 Q-1.5 的滤波第二个图是对上面的加入盐噪声的 b 图进行 Q1.5 的滤波 3、顺序统计滤波器
1几种顺序统计滤波器 中值滤波器 (Median Filter) 定义 特点对椒盐噪声效果最好保留边缘细节。 最大和最小滤波器 (Max Min Filters) 最大滤波器 去除椒噪声。最小滤波器 去除盐噪声。 中点滤波器 (Midpoint Filter) 计算最大和最小值的平均 Alpha裁剪均值滤波器 (Alpha-Trimmed Mean Filter) 去除部分极端值 其中 d 表示被裁剪的元素数量。
2顺序统计滤波效果
示例1 中值滤波 (b)、(c)、(d) 展示了中值滤波连续多次应用的效果随着迭代次数增加椒盐噪声逐渐去除。
示例2 最大与最小滤波
a图最大滤波器去除了椒噪声但会引入图像膨胀效果。b图最小滤波器去除了盐噪声但会引入图像收缩效果。
3自适应中值滤波器
i、原理与算法
自适应中值滤波器的核心思想是根据噪声的局部统计特性自适应地调整滤波窗口大小进一步提高去噪效果。 符号定义 邻域内的最小灰度值。邻域内的最大灰度值。邻域内的中值。当前像素点的灰度值。 算法步骤 Level A 判断 如果满足继续 Level B。否则增加窗口大小直到最大窗口 。Level B 判断 如果满足输出 。否则输出 。
ii、自适应中值滤波效果 (a) 输入图像被椒盐噪声污染。(b) 使用标准中值滤波器进行处理部分噪声被去除。(c) 使用自适应中值滤波器窗口最大尺寸 噪声被有效去除图像细节得到较好保留。 优势 能够处理椒盐噪声密度较高的图像。自适应调整窗口大小避免过度平滑图像细节。 局限性 对于噪声密度极高的图像可能需要更大窗口导致计算量增加。
iii、椒盐噪声处理总结
低密度噪声 使用中值滤波器即可达到良好的效果。高密度噪声 使用自适应中值滤波器能够有效去噪并保持图像细节。单一噪声 使用逆调和均值滤波器根据噪声类型设定 Q 值Q0椒噪声Q0盐噪声。 4、综合总结
噪声与滤波器选择对比
噪声类型最佳滤波器优势局限性高斯噪声算术均值、几何均值、调和均值滤波器有效降低随机噪声图像细节模糊盐噪声中值滤波、逆调和均值滤波 (Q 0)有效去除白色点噪声逆调和均值需选择合适的 Q椒噪声中值滤波、逆调和均值滤波 (Q 0)有效去除黑色点噪声逆调和均值无法同时处理盐椒噪声椒盐噪声中值滤波同时处理盐噪声和椒噪声多次迭代可能导致细节丢失
总结滤波器的使用策略
随机噪声如高斯噪声使用均值滤波器。椒盐噪声使用中值滤波器或逆调和均值滤波器需要根据 QQQ 值调整。噪声参数估计通过直方图或局部统计量确定噪声类型。 四、频域滤波去除周期噪声
1、带阻滤波器Bandreject Filters 带阻滤波器的目标是去除特定频带的噪声信号同时尽量保留其他有效信号。 三种带阻滤波器 理想带阻滤波器 特征具有严格的频带截止但会产生振铃效应。巴特沃斯带阻滤波器Butterworth 特征频带过渡较平滑减少振铃效应。高斯带阻滤波器Gaussian 特征具有平滑的频率响应没有振铃效应。 图示Figure 5.15 左侧理想带阻滤波器锐利的截断环。中间巴特沃斯带阻滤波器平滑的过渡。右侧高斯带阻滤波器平滑且柔和的响应。
2. 带阻滤波器的应用
应用示例 噪声图像图像被周期性正弦噪声污染Figure 5.16(a)。频谱分析在频域中观察到明显的周期性噪声频率尖峰Figure 5.16(b)。带阻滤波器应用 使用巴特沃斯带阻滤波器Figure 5.16(c)去除噪声频率成分。滤波结果Figure 5.16(d)噪声被去除图像得到有效恢复。
3. 带通滤波器Bandpass Filters
带通滤波器是带阻滤波器的补集其传递函数为 应用 滤出Figure 5.16a的噪声成分以便分析Figure 5.17。滤波后观察得到的噪声图案验证了噪声的频率分布。 4. 陷波滤波器Optimum Notch Filtering
1基本概念
陷波滤波器Notch Filter是一种特殊类型的滤波器用于抑制特定频率或频率范围内的信号而不影响其他频率成分。它主要用于去除图像中的周期性噪声例如网格状或条纹噪声。 理想、巴特沃斯、高斯陷波滤波器Figure 5.18。 2数学表示
陷波滤波器的频率域函数 表达如下 理想陷波滤波器Ideal Notch Filter 其中 和 是到噪声频率点的距离。 是一个阈值定义了“陷波”的半径。 巴特沃斯陷波滤波器Butterworth Notch Filter n 是滤波器的阶数决定了滤波器过渡的平滑程度。阶数越高滤波器越接近理想滤波器。 高斯陷波滤波器Gaussian Notch Filter 高斯滤波器具有无穷平滑的过渡特性。 距离函数 两个距离函数 和 分别表示到噪声频率点 和 的距离 其中 M 和 N 是图像的尺寸 是噪声频率位置。
3频率域滤波步骤 傅里叶变换 将图像 转换到频率域 。 设计陷波滤波器 根据噪声频率位置和滤波器类型理想、巴特沃斯或高斯设计适当的陷波滤波器。 频率域滤波 将频率域图像与滤波器相乘 反傅里叶变换 对滤波后的频率域图像进行逆傅里叶变换得到处理后的图像 。
4应用示例 示例1 图像被周期性噪声例如传感器扫描线污染Figure 5.19(a)。频谱显示噪声对应的频率成分Figure 5.19(b)。陷波滤波器应用去除噪声成分Figure 5.19(c, d)。最终结果Figure 5.19(e)去除了周期性噪声图像得到恢复。 5最优陷波滤波器不懂
针对复杂噪声最优陷波滤波器通过最小化局部方差的方式达到最佳效果 目标函数 求导并最小化 通过对 求导并设置为零得到最优权重函数 该权重可以自适应调整进一步提高噪声去除效果。
6结论
陷波滤波器通过选择性地抑制特定噪声频率能有效去除周期性噪声。
理想陷波滤波器 适用于简单噪声但易引入伪影。巴特沃斯和高斯陷波滤波器 平滑过渡适用于更复杂的噪声环境。最优陷波滤波器 通过最小化局部方差自适应地调整权重达到最佳去噪效果。
图中的示例清楚地展示了陷波滤波器在去除周期性噪声中的高效性尤其是在频域分析和滤波后的图像恢复方面。 五、退化函数估计
1、图像退化函数的估计
概述
退化模型图像退化是图像质量下降的过程通常由大气湍流、运动模糊等原因引起这里的图像退化并不是噪声引起的。观察到的图像 表示已观测到的图像在频域中的子图像。退化函数估计 从观测图像 和退化模型 的比值推导出退化函数 。如果已知观测图像与噪声较小可用 估计。
建模与实验方法
实验方法其中 A 是观测数据的幅度。基于物理模型的估计 以 Hufnagel 提出的湍流模型为例退化函数表示为 其中 k 表示大气湍流程度。
2、大气湍流模型 图示分析 图5.24展示了一个光脉冲通过湍流后发生的扩散现象。 (a) 原始的光脉冲几乎无扩散。(b) 通过大气湍流后脉冲显著模糊。图5.25展示了不同湍流条件下的地面图像 (a) 无湍流图像清晰。(b) 严重湍流k0.0025图像模糊。(c) 中等湍流k0.001。(d) 轻微湍流k0.00025。分析湍流程度越大图像的高频成分被更多地衰减导致细节丢失。
3、运动模糊建模
1假设图像的模糊是由于线性匀速运动造成的
原始图像 在时间 内发生了位移定义模糊后的图像 为 和 分别表示图像在 x 和 y 方向上的位移。T 是运动的持续时间。 是在 时刻图像 相对于 的位移。
2傅里叶变换的推导
傅里叶变换将空间域表示的图像转换到频域得到 由时域平移性质 3运动模糊的传递函数
由上面推导可以看出模糊的频域表示为 其中 4不同的运动模型解析
i、匀速直线运动沿 x 方向
当 且 时
积分结果为
这个结果表明模糊函数 在频域上是一个正弦函数包络造成了频域的衰减和周期性零点。
ii、匀速直线运动沿任意方向
当 时 这里的 a 和 b 分别表示在 x 和 y 方向上的速度分量。结果同样是一个正弦函数包络但方向由 a 和 b 控制模糊沿着运动方向扩展。
物理意义
模糊现象运动模糊会导致图像的高频成分被平均形成方向性的模糊。运动长度与角度退化函数的幅度与 a,b 决定运动的长度和方向进而影响模糊的程度和方向。
5、综合分析
退化函数估计 通过观测图像或物理建模可估算退化函数 H(u,v)进一步应用于图像复原。大气湍流建模 湍流的退化函数会衰减高频分量导致图像模糊退化程度随湍流参数 k 增大而加剧。运动模糊建模 线性运动导致图像高频成分沿运动方向平均化形成方向性模糊。MATLAB 实验 利用 MATLAB 模拟运动模糊及噪声可以验证理论模型的有效性。 六、直接逆滤波恢复图像
1. 直接反滤波的基本理论
原理介绍
直接反滤波是对退化图像的一种简单恢复方法它基于退化函数 这里并不是去噪是恢复其他类型的退化如模糊、运动等。在频域中对于退化图像 原图像 可以通过如下公式进行估计 如果图像受到退化的影响如模糊、运动等直接反滤波尝试通过对退化函数的逆操作恢复原始图像。
2. 图像退化与噪声问题
实际情况下由于噪声的存在恢复公式会引入误差特别是在 的某些值接近零或很小的情况下反滤波会放大噪声导致恢复图像质量下降。
噪声影响公式
其中 是噪声的频域表示。如果 很小那么 的贡献会显著放大。
解决方法
限制滤波频率如图中所示通过在频域中限制滤波器的应用范围避免高频噪声被放大。滤波器半径限制对滤波器 H 施加截止半径如 40、70、85可以改善恢复效果。
结果分析
图示描述
(a) 直接反滤波的结果未对滤波器进行频率截止图像中噪声被显著放大图像模糊且噪声较大。(b) 截止频率 40 的结果一定程度改善部分噪声被抑制但图像仍较模糊。(c) 截止频率 70 的结果图像质量进一步改善细节开始显现。(d) 截止频率 85 的结果恢复效果较好但边缘和细节可能仍有轻微模糊。 七、维纳滤波Wiener Filtering
1、Wiener 滤波的理论基础 目标通过 最小化统计误差函数 来求得最优滤波器恢复被退化的图像 f^\hat{f}f^。 统计误差函数 其中 为期望值操作 是理想图像 是恢复的图像。 频域表示维纳滤波器的解可以在频域中表示为 其中 退化函数噪声功率谱原始图像的功率谱观测到的退化图像的频域表示 的复共轭
2、Wiener 滤波的优点与应用
去噪能力强通过平衡噪声功率谱和图像功率谱维纳滤波器能有效减少噪声影响。优化性能通过最小化误差函数使恢复图像接近真实图像。适应退化不仅适用于退化图像还能处理加性噪声。
3、实际效果对比
示例1
恢复效果对比 (a)使用 全逆滤波 恢复图像导致噪声被放大效果差。(b)限制 H 在某个半径范围外的使用减少了高频噪声放大但恢复效果仍不理想。(c)维纳滤波 恢复效果明显优于逆滤波噪声被有效抑制图像质量更高。
示例2
不同条件下的恢复效果
第一行图像受运动模糊和噪声影响严重。第二行逆滤波虽然恢复了一部分细节但放大了噪声。第三行维纳滤波结果更为平滑噪声被有效减少图像可读性提高。
4、MATLAB 实现 MATLAB 命令 deconvwnr实现维纳滤波。fspecial(motion, len, theta)生成运动模糊的点扩散函数 (PSF)。fft2 和 ifft2对图像进行傅里叶变换和逆变换。代码示例 PSF fspecial(motion, 7, 45); % 运动模糊 PSF
g imread(Fig0507(d).tif); % 读取退化图像
fr1 deconvwnr(g, PSF); % 基本维纳滤波Sn abs(fft2(noise)).^2; % 噪声功率谱
nA sum(Sn(:)) / prod(size(noise)); % 噪声均方值
Sf abs(fft2(f)).^2; % 原始图像功率谱
fA sum(Sf(:)) / prod(size(f)); % 原始图像均方值
R nA / fA; % 噪声与信号的比例
fr2 deconvwnr(g, PSF, R); % 加噪声功率谱的维纳滤波功能说明 deconvwnr 可接受不同参数噪声功率、图像自相关以优化恢复效果。edgetaper 函数用于减少边缘效应。
5、总结 Wiener 滤波优点 能同时处理退化和噪声影响。自适应于噪声和信号的比例最小化恢复误差。对比逆滤波维纳滤波能有效控制噪声放大恢复效果更好。 实际应用 运动模糊恢复运动模糊在特定方向的退化通过 PSF 和 Wiener 滤波可进行有效恢复。噪声抑制适用于加性高斯噪声等不同类型噪声。 限制 需要事先估计噪声功率谱和退化函数 。当图像中噪声水平未知时恢复效果可能受限。 八、约束最小二乘滤波
1、约束最小二乘滤波的理论基础 主要内容 问题恢复退化图像需要了解退化函数 H这是常规方法的难点。Wiener滤波 的缺点需要知道未退化图像和噪声的功率谱实际应用中可能难以获得。约束最小二乘滤波 的优势只需知道噪声的均值和方差而无需详细的功率谱信息。模型公式 观测到的退化图像退化函数点扩散函数PSF原始图像噪声 关键要点 知道退化函数 H 是关键但约束最小二乘方法可以通过平滑度约束在未知 HHH 的情况下实现图像复原。优势只需噪声均值和方差降低了参数依赖性。
2、约束最小二乘滤波的数学推导 公式和推导 目标是最小化平滑度约束下的代价函数 C 其中 是图像的二阶导数拉普拉斯算子用于衡量图像的平滑度。约束条件 滤波后的估计图像噪声水平 频域解 在频域中最小二乘解为 退化函数的共轭平滑度约束参数拉普拉斯算子的频域表示用于平滑度约束。 拉普拉斯模板 拉普拉斯模板在空间域中体现了平滑约束。
3、噪声水平的估计与约束参数 残差 残差的平方和 表明了重建图像与退化图像的差异。 噪声方差的估计 其中 噪声方差噪声均值。 噪声方差计算公式 关键点 通过估计噪声水平可以调整平滑度约束参数 以获得最优结果。
4、约束最小二乘滤波的实验效果
图5.29 (a)由运动模糊及加性噪声污染的图像(b)逆滤波的结果(c)维纳滤波的结果。(d)~(f)同样的序列,但是噪声幅度的方差小了一个数量级,,(g)-(i)同样的序列但是噪声方差比(a)小5个数景级,注意,在(h)中,去模糊图像透过噪声“宽帘”清晰可见。 图5.30 约東最小二乘方滤波的结果用图5.29(c)(f)和(i)中的结果分别与维纳滤波(a),(b),(c)相比较 直接逆滤波 (Inverse Filtering) 图5.29(b)通过直接逆滤波恢复图像。特点直接恢复但对噪声极其敏感容易放大高频噪声导致恢复质量差。图中表现图像呈现出严重的噪声和模糊。 维纳滤波 (Wiener Filtering) 图5.29(c, f, i) 维纳滤波在频域中平衡退化函数和噪声功率谱得到估计图像。特点通过引入噪声功率与信号功率比降低了对噪声的敏感度恢复效果较好。图中表现相较于直接逆滤波噪声有所抑制但高频细节仍然可能丢失。 约束最小二乘滤波 (Constrained Least Squares Filtering) 图5.30(a, bc)约束最小二乘滤波的结果。特点基于图像平滑度约束如拉普拉斯约束通过调节参数 使得噪声影响最小化。图中表现恢复图像具有更好的平滑性与锐度相较于维纳滤波图5.29(c, f, i) 细节保留更好噪声较少。 附录
1、随机噪声生成的理论基础
1理论背景与核心内容
这一部分基于 累积分布函数CDF逆变换法描述了如何通过均匀分布随机变量 生成服从指定分布的随机变量 z 。具体原理包括 累积分布函数 定义 是随机变量 Z 的CDF即 它表示 Z 小于等于某个值 z 的概率。 逆变换法原理 如果 均匀分布则可以通过逆CDF 将 w 映射为服从指定分布的随机变量 z
2原理推导 均匀分布的特性 均匀分布 的定义是在区间 上每个 w 的出现概率是等同的。换句话说w 是一个在 区间上随机取值的变量。 CDF的性质 是单调递增的且取值范围为 。若我们设定 则 w 也会落在区间 (0,1) 上。 逆变换的关键 已知 我们需要找到满足 的 z 。由于 是单调递增的可以通过其逆函数 求解 z这样 z 就服从 对应的分布。 数学直观 将均匀分布的随机变量 w 通过CDF 映射到 [0,1] 区间上然后通过逆CDF 再映射回原始的随机变量 z。这种映射保证了 z 的分布与 一致。
3为什么逆变换法有效 保持分布一致性 均匀分布随机变量 被逆CDF 转换后其分布自然服从指定的 。 单调性保证唯一性 因为 是单调递增函数逆函数 也是单调的因此对于任意 对应的 z 是唯一的。 概率守恒 通过逆CDF变换w 的概率密度在 [0,1] 区间上的均匀性被“映射”到 z 上保证了 z 的分布符合 。
4定量证明 服从 的分布
1. 问题描述
我们已知
w 是服从均匀分布的随机变量取值范围为 [0,1] 。Z 的累积分布函数 (CDF)它是单调递增的并满足
我们需要证明若 z 通过逆CDF变换 得到 则 z 服从 所定义的分布。
2. 基本思路 是将 w 的均匀分布 映射到随机变量 Z 的分布。证明的核心是通过 推导出 z 的CDF与 相等。
3. 证明过程 (1) 定义 Z 的CDF 对于随机变量 我们要求 其中 。 (2) 的推导 由于 我们可以写 因此满足 的概率可以等价地表示为 由于 是单调递增的 也是单调的因此 (3) 均匀分布的性质 由于 均匀分布的CDF为 将 代入得到 (4) 最终结论 结合以上推导 这表明 Z 的CDF恰好是 因此 z 服从分布 。
5定性分析
高斯分布的PDF和CDF 如下图 为旋转90度
所以当给这个输入一个[0,1]上的均匀分布时输出结果为0附近很多值离0越远值越少符合高斯分布的PDF特性。
