央企网站群建设中标公告,广州做网站 信科便宜,网络设计工程师是干什么的,如何登陆工商局网站做变更【作者主页】Francek Chen 【专栏介绍】 ⌈ ⌈ ⌈PyTorch深度学习 ⌋ ⌋ ⌋ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上#xff0c;结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重… 【作者主页】Francek Chen 【专栏介绍】 ⌈ ⌈ ⌈PyTorch深度学习 ⌋ ⌋ ⌋ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。 【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。 文章目录 一、范数与权重衰减二、高维线性回归三、权重衰减的从零开始实现一初始化模型参数二定义 L 2 L_2 L2范数惩罚三定义训练代码实现四忽略正则化直接训练五使用权重衰减 四、权重衰减的简洁实现小结 前一节我们描述了过拟合的问题本节我们将介绍一些正则化模型的技术。我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。但这可能成本很高耗时颇多或者完全超出我们的控制因而在短期内不可能做到。假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据我们便可以将重点放在正则化技术上。 回想一下在多项式回归的例子模型选择、欠拟合和过拟合中我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。实际上限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。然而简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。我们继续思考多项式回归的例子考虑高维输入可能发生的情况。多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式monomials也可以说是变量幂的乘积。单项式的阶数是幂的和。例如 x 1 2 x 2 x_1^2 x_2 x12x2和 x 3 x 5 2 x_3 x_5^2 x3x52都是3次单项式。 注意随着阶数 d d d的增长带有阶数 d d d的项数迅速增加。 给定 k k k个变量阶数为 d d d的项的个数为 ( k − 1 d k − 1 ) {k - 1 d} \choose {k - 1} (k−1k−1d)即 C k − 1 d k − 1 ( k − 1 d ) ! ( d ) ! ( k − 1 ) ! C^{k-1}_{k-1d} \frac{(k-1d)!}{(d)!(k-1)!} Ck−1dk−1(d)!(k−1)!(k−1d)!。因此即使是阶数上的微小变化比如从 2 2 2到 3 3 3也会显著增加我们模型的复杂性。仅仅通过简单的限制特征数量在多项式回归中体现为限制阶数可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性使其达到一个合适的平衡位置。
一、范数与权重衰减 在【深度学习基础】预备知识 | 线性代数 中我们已经描述了 L 2 L_2 L2范数和 L 1 L_1 L1范数它们是更为一般的 L p L_p Lp范数的特殊情况。 在训练参数化机器学习模型时权重衰减weight decay是最广泛使用的正则化的技术之一它通常也被称为 L 2 L_2 L2正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度因为在所有函数 f f f中函数 f 0 f 0 f0所有输入都得到值 0 0 0在某种意义上是最简单的。但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢没有一个正确的答案。事实上函数分析和巴拿赫空间理论的研究都在致力于回答这个问题。 一种简单的方法是通过线性函数 f ( x ) w ⊤ x f(\mathbf{x}) \mathbf{w}^\top \mathbf{x} f(x)w⊤x中的权重向量的某个范数来度量其复杂性例如 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。要保证权重向量比较小最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失调整为最小化预测损失和惩罚项之和。现在如果我们的权重向量增长的太大我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。这正是我们想要的。让我们回顾一下【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归 中的线性回归例子。我们的损失由下式给出 L ( w , b ) 1 n ∑ i 1 n 1 2 ( w ⊤ x ( i ) b − y ( i ) ) 2 (1) L(\mathbf{w}, b) \frac{1}{n}\sum_{i1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} b - y^{(i)}\right)^2 \tag{1} L(w,b)n1i1∑n21(w⊤x(i)b−y(i))2(1) 回想一下 x ( i ) \mathbf{x}^{(i)} x(i)是样本 i i i的特征 y ( i ) y^{(i)} y(i)是样本 i i i的标签 ( w , b ) (\mathbf{w}, b) (w,b)是权重和偏置参数。为了惩罚权重向量的大小我们必须以某种方式在损失函数中添加 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失实际上我们通过正则化常数 λ \lambda λ来描述这种权衡这是一个非负超参数我们使用验证数据拟合 L ( w , b ) λ 2 ∥ w ∥ 2 (2) L(\mathbf{w}, b) \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2 \tag{2} L(w,b)2λ∥w∥2(2) 对于 λ 0 \lambda 0 λ0我们恢复了原来的损失函数。对于 λ 0 \lambda 0 λ0我们限制 ∥ w ∥ \| \mathbf{w} \| ∥w∥的大小。这里我们仍然除以 2 2 2当我们取一个二次函数的导数时 2 2 2和 1 / 2 1/2 1/2会抵消以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数即欧几里得距离我们这样做是为了便于计算。通过平方 L 2 L_2 L2范数我们去掉平方根留下权重向量每个分量的平方和。这使得惩罚的导数很容易计算导数的和等于和的导数。 此外为什么我们首先使用 L 2 L_2 L2范数而不是 L 1 L_1 L1范数。事实上这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 L 2 L_2 L2正则化线性模型构成经典的岭回归ridge regression算法 L 1 L_1 L1正则化线性回归是统计学中类似的基本模型通常被称为套索回归lasso regression。使用 L 2 L_2 L2范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下 L 1 L_1 L1惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上而将其他权重清除为零。这称为特征选择feature selection这可能是其他场景下需要的。 使用与随机梯度下降中的相同符号 L 2 L_2 L2正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式 w ← ( 1 − η λ ) w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) b − y ( i ) ) (3) \begin{aligned} \mathbf{w} \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} b - y^{(i)}\right) \tag{3} \end{aligned} w←(1−ηλ)w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)b−y(i))(3) 根据之前章节所讲的我们根据估计值与观测值之间的差异来更新 w \mathbf{w} w。然而我们同时也在试图将 w \mathbf{w} w的大小缩小到零。这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项优化算法在训练的每一步衰减权重。与特征选择相比权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。较小的 λ \lambda λ值对应较少约束的 w \mathbf{w} w而较大的 λ \lambda λ值对 w \mathbf{w} w的约束更大。 是否对相应的偏置 b 2 b^2 b2进行惩罚在不同的实践中会有所不同在神经网络的不同层中也会有所不同。通常网络输出层的偏置项不会被正则化。
二、高维线性回归 我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l首先我们像以前一样生成一些数据生成公式如下 y 0.05 ∑ i 1 d 0.01 x i ϵ , 其中 ϵ ∼ N ( 0 , 0.0 1 2 ) (4) y 0.05 \sum_{i 1}^d 0.01 x_i \epsilon, \quad \text{其中} \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2) \tag{4} y0.05i1∑d0.01xiϵ,其中ϵ∼N(0,0.012)(4) 我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0标准差为0.01高斯噪声破坏。为了使过拟合的效果更加明显我们可以将问题的维数增加到 d 200 d 200 d200并使用一个只包含20个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size 20, 100, 200, 5
true_w, true_b torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter d2l.load_array(test_data, batch_size, is_trainFalse)三、权重衰减的从零开始实现 下面我们将从头开始实现权重衰减只需将 L 2 L_2 L2的平方惩罚添加到原始目标函数中。
一初始化模型参数 首先我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。
def init_params():w torch.normal(0, 1, size(num_inputs, 1), requires_gradTrue)b torch.zeros(1, requires_gradTrue)return [w, b]二定义 L 2 L_2 L2范数惩罚 实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。
def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2三定义训练代码实现 下面的代码将模型拟合训练数据集并在测试数据集上进行评估。从线性神经网络以来线性网络和平方损失没有变化所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。
def train(lambd):w, b init_params()net, loss lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_lossnum_epochs, lr 100, 0.003animator d2l.Animator(xlabelepochs, ylabelloss, yscalelog, xlim[5, num_epochs], legend[train, test])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范数惩罚项# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量l loss(net(X), y) lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch 1) % 5 0:animator.add(epoch 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print(w的L2范数是, torch.norm(w).item())四忽略正则化直接训练 我们现在用lambd 0禁用权重衰减后运行这个代码。注意这里训练误差有了减少但测试误差没有减少这意味着出现了严重的过拟合。
train(lambd0)五使用权重衰减 下面我们使用权重衰减来运行代码。注意在这里训练误差增大但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。
train(lambd3)四、权重衰减的简洁实现 由于权重衰减在神经网络优化中很常用深度学习框架为了便于我们使用权重衰减将权重衰减集成到优化算法中以便与任何损失函数结合使用。此外这种集成还有计算上的好处允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值因此优化器必须至少接触每个参数一次。 在下面的代码中我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。默认情况下PyTorch同时衰减权重和偏移。这里我们只为权重设置了weight_decay所以偏置参数 b b b不会衰减。
def train_concise(wd):net nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss nn.MSELoss(reductionnone)num_epochs, lr 100, 0.003# 偏置参数没有衰减trainer torch.optim.SGD([{params:net[0].weight,weight_decay: wd}, {params:net[0].bias}], lrlr)animator d2l.Animator(xlabelepochs, ylabelloss, yscalelog, xlim[5, num_epochs], legend[train, test])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch 1) % 5 0:animator.add(epoch 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print(w的L2范数, net[0].weight.norm().item())这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。然而它们运行得更快更容易实现。对于更复杂的问题这一好处将变得更加明显。
train_concise(0)train_concise(3)到目前为止我们只接触到一个简单线性函数的概念。此外由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。例如再生核希尔伯特空间RKHS允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。不幸的是基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。在本专栏中我们将默认使用简单的启发式方法即在深层网络的所有层上应用权重衰减。
小结
正则化是处理过拟合的常用方法在训练集的损失函数中加入惩罚项以降低学习到的模型的复杂度。保持模型简单的一个特别的选择是使用 L 2 L_2 L2惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。在同一训练代码实现中不同的参数集可以有不同的更新行为。
