有四川建设人才网这个网站吗,代刷网站开发,kol营销模式,网页培训机构文章目录 概念称呼说明驻点极值和极值点最值极值点和最值比较曲线的凹凸性凹凸性判定定理#x1f47a;例证明 凹凸性和单调性无必然关系拐点寻找拐点#x1f47a; 函数图形的绘制例 概念
本文讨论导数的应用:利用导数研究函数的性态相关定理主要通过Lagrange中值定理进行推导… 文章目录 概念称呼说明驻点极值和极值点最值极值点和最值比较曲线的凹凸性凹凸性判定定理例证明 凹凸性和单调性无必然关系拐点寻找拐点 函数图形的绘制例 概念
本文讨论导数的应用:利用导数研究函数的性态相关定理主要通过Lagrange中值定理进行推导,也是Lagrange中值定理的应用 一次求导就对应一次Lagrange中值定理的应用 函数图形的绘制
称呼说明
本文中的点指的不是直角坐标系中的二维点,而是数轴( x x x轴, y y y轴上的点,例如 x x 0 xx_0 xx0, y f ( x 0 ) yf(x_0) yf(x0))
驻点
连续曲线 y f ( x ) yf(x) yf(x)的导数 f ′ ( x ) 0 f(x)0 f′(x)0的解 x a xa xa称为 f ( x ) f(x) f(x)的驻点(稳定点/临界点)驻点和极值点:极值点不一定是驻点,驻点不一定是极值点 例如: y ∣ x ∣ y|x| y∣x∣的极值点为 x 0 x0 x0,但此处不可导,因此不是驻点例如: y x 3 yx^3 yx3的驻点为 x 0 x0 x0,但此处不是极值点
极值和极值点 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内有定义,当 x ∈ U ( x 0 ) x\in{U(x_0)} x∈U(x0)时有 f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) f(x)\geqslant{f(x_0)} f(x)⩾f(x0), ( f ( x ) ⩽ f ( x 0 ) ) (f(x)\leqslant{f(x_0)}) (f(x)⩽f(x0))则称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)为 f ( x ) f(x) f(x)的一个极小值(极大值), x x 0 xx_0 xx0称为函数的一个极小值点(极大值点) 极小值和极大值统称为极值;极小值点和极大值点统称为极值点 极值和极值点都不是坐标,而是坐标分量,极值点时自变量的某个取值,极值是极值点对应的函数值
最值
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上有定义,若 ∃ x 0 ∈ I \exist{x_0}\in{I} ∃x0∈I,使得 ∀ x ∈ I \forall{x}\in{I} ∀x∈I都有有 f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) f(x)\geqslant{f(x_0)} f(x)⩾f(x0), ( f ( x ) ⩽ f ( x 0 ) ) (f(x)\leqslant{f(x_0)}) (f(x)⩽f(x0))则称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)为 f ( x ) f(x) f(x)的一个最值(最大值), x 0 x_0 x0称为最小值点(最大值点)最小值和最大值统称为最值,最小值点和最大值点统称为最值点
极值点和最值比较
最值和极值都不是坐标,而是某个自变量取值下的函数值有最值得函数不一定有极值;有极值也不一定有最值联系: 若 f ( x ) f(x) f(x)有最值,且最值点不再区间 I I I端点处(而在区间 I I I内部);则最值点是某个极值点
曲线的凹凸性 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上连续, ∀ x 1 , x 2 ∈ I \forall{x_1,x_2}\in{I} ∀x1,x2∈I,联结 A ( x 1 , f ( x 1 ) ) A(x_1,f(x_1)) A(x1,f(x1)), B ( x 2 , f ( x 2 ) ) B(x_2,f(x_2)) B(x2,f(x2))构成的弦 A B AB AB总是在弧AB的上方(下方),则称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上是凹(凸)的 在函数图形上,区间 I I I上是凹的,则其形状和凹字呈现的形状含义相同,例如二次函数 y x 2 yx^2 yx2是 R \mathbb{R} R上的凹函数;而 y − x 2 y-x^2 y−x2是凸函数 形式化定义: 设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上连续,若对 I I I上任意两点 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2,恒有 f ( x 1 x 2 2 ) f(\frac{x_1x_2}{2}) f(2x1x2) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 2 \frac{f(x_1)f(x_2)}{2} 2f(x1)f(x2),那么称 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上的图形是向上凹的(或称为凹弧);若恒有 f ( x 1 x 2 2 ) f(\frac{x_1x_2}{2}) f(2x1x2) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 2 \frac{f(x_1)f(x_2)}{2} 2f(x1)f(x2),那么称 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上的图形是向上凸的(或称为凸弧); 形式化定义是重要的,因为许多相关定理的证明借助形式化定义更方便和严谨
凹凸性判定定理
设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上来纳许,在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内具有一阶和二阶导数,则 若 ( a , b ) (a,b) (a,b)内 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0,则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的图形是凹的若 ( a , b ) (a,b) (a,b)内 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0,则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的图形是凸的 法则中的闭区间换成其他区间也成立凹函数 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0表示函数最自变量变换函数的变化增快,例如 y e x , y − x 2 ye^{x},y-x^2 yex,y−x2,反之则表示变化较慢,这就是函数的导数 f ′ ( x ) f(x) f′(x)的导数 f ′ ′ ( x ) f(x) f′′(x)的几何含义
例
判断 y ln x y\ln{x} ylnx的凹凸性 因为 y ′ ′ ( x − 1 ) ′ − x − 2 y(x^{-1})-x^{-2} y′′(x−1)′−x−2,在 y ln x y\ln{x} ylnx定义域 ( 0 , ∞ ) (0,\infin) (0,∞)内, y ′ ′ 0 y0 y′′0,有凹凸性判定定理, y ln x y\ln{x} ylnx是凸的
证明
以情形1为例 设 x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] x_1,x_2\in[a,b] x1,x2∈[a,b], x 1 x 2 x_1x_2 x1x2,记 x 1 x 2 2 x 0 \frac{x_1x_2}{2}x_0 2x1x2x0,记 x 2 − x 0 x 0 − x 1 h x_2-x_0x_0-x_1h x2−x0x0−x1h,(显然 h 0 h0 h0);则 x 1 x 0 − h x_1x_0-h x1x0−h, x 2 x 0 h x_2x_0h x2x0h,(0)分别在区间 [ x 1 , x 0 ] , [ x 0 , x 2 ] [x_1,x_0],[x_0,x_2] [x1,x0],[x0,x2]上Lagrange中值公式,得 f ( x 0 h ) − f ( x 0 ) f(x_0h)-f(x_0) f(x0h)−f(x0) f ′ ( ξ 1 ) h f(\xi_1)h f′(ξ1)h, ξ 1 x 0 θ 1 h \xi_1x_0\theta_1h ξ1x0θ1h, θ 1 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_1\in(0,1) θ1∈(0,1) f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) f(x_0)-f(x_0-h) f(x0)−f(x0−h) f ′ ( ξ 2 ) h f(\xi_2)h f′(ξ2)h, ξ 2 x 0 − θ 2 h \xi_2x_0-\theta_2h ξ2x0−θ2h, θ 2 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_2\in(0,1) θ2∈(0,1) 两式相加减得 f ( x 0 h ) f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) f(x_0h)f(x_0-h)-2f(x_0) f(x0h)f(x0−h)−2f(x0) [ f ′ ( ξ 1 ) − f ′ ( ξ 2 ) ] h [f(\xi_1)-f(\xi_2)]h [f′(ξ1)−f′(ξ2)]h,(1)对区间 [ ξ 2 , ξ 1 ] [\xi_2,\xi_1] [ξ2,ξ1]上在利用Lagrange中值公式,得 f ′ ( ξ 1 ) − f ′ ( ξ 2 ) f(\xi_1)-f(\xi_2) f′(ξ1)−f′(ξ2) f ′ ′ ( ξ ) ( θ 1 θ 2 ) h f(\xi)(\theta_1\theta_2)h f′′(ξ)(θ1θ2)h,(2) 两边同时乘以 h h h,得 [ f ′ ( ξ 1 ) − f ′ ( ξ 2 ) ] h [f(\xi_1)-f(\xi_2)]h [f′(ξ1)−f′(ξ2)]h f ′ ′ ( ξ ) ( θ 1 θ 2 ) h 2 f(\xi)(\theta_1\theta_2)h^2 f′′(ξ)(θ1θ2)h2(3), ( ξ ∈ ( ξ 2 , ξ 1 ) ) (\xi\in(\xi_2,\xi_1)) (ξ∈(ξ2,ξ1))比较(1)式,可知 f ( x 0 h ) f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) f(x_0h)f(x_0-h)-2f(x_0) f(x0h)f(x0−h)−2f(x0) f ′ ′ ( ξ ) ( θ 1 θ 2 ) h 2 f(\xi)(\theta_1\theta_2)h^2 f′′(ξ)(θ1θ2)h2由假设条件 f ′ ′ ( ξ ) 0 f(\xi)0 f′′(ξ)0,又 ξ 1 ξ 2 ∈ ( 0 , 2 ) \xi_1\xi_2\in(0,2) ξ1ξ2∈(0,2), h 0 h0 h0可知 f ( x 0 h ) f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) 0 f(x_0h)f(x_0-h)-2f(x_0)0 f(x0h)f(x0−h)−2f(x0)0即 f ( x 0 h ) f ( x 0 − h ) 2 f ( x 0 ) \frac{f(x_0h)f(x_0-h)}{2}f(x_0) 2f(x0h)f(x0−h)f(x0),代入式(0),得 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x 1 x 2 2 ) \frac{f(x_1)f(x_2)}{2}f(\frac{x_1x_2}{2}) 2f(x1)f(x2)f(2x1x2) 类似可以证明情形2
凹凸性和单调性无必然关系
函数凹凸性和单调性没有必然关系,即一阶导数的符号和二阶导数的符号可能不同例如 y − x 2 , x ∈ ( 0 , ∞ ) y-x^2,x\in{(0,\infin)} y−x2,x∈(0,∞)(递减凸函数) y x , x ∈ ( 0 , ∞ ) y\sqrt{x},x\in(0,\infin) yx ,x∈(0,∞)(递增凸函数) y e x ye^{x} yex,(递增凹函数) y 1 x y\frac{1}{x} yx1(递减凹函数)
拐点
连续曲线 y f ( x ) yf(x) yf(x)上的凹,凸弧的分界点称为该曲线的拐点更严格的描述:一般地,设 y f ( x ) yf(x) yf(x)在区间 I I I上连续, x 0 ∈ I x_0\in{I} x0∈I,若曲线 y f ( x ) yf(x) yf(x)在经过点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))时,曲线的凹凸性发生改变,则 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))称为曲线的拐点
寻找拐点
求 f ′ ′ ( x ) f(x) f′′(x)令 f ′ ′ ( x ) 0 f(x)0 f′′(x)0,求解出该方程在区间 I I I内的实根,这些实根构成集合A求解区间 I I I内 f ′ ′ ( x ) f(x) f′′(x)不存在的点(假设这样的点是有限个的),这些点构成集合 B B B令 S A ∪ B SA\cup{B} SA∪B,则对每个 S S S中的元素 x i x_i xi,检查 f ′ ′ ( x ) f(x) f′′(x)在 x i x_i xi两侧邻近的符号,若异号,则 P ( x 0 , f ( x 0 ) ) P(x_0,f(x_0)) P(x0,f(x0))是拐点,若同号,则 P P P不是拐点
函数图形的绘制
借助微分学的方法比较准确的绘制函数图形 借助一阶导数可以确定函数在定义域内的单调性,某点处的一阶导数的绝对值 ∣ f ′ ( x 0 ) ∣ |f(x_0)| ∣f′(x0)∣越大,说明该处变化率越大, x 0 x_0 x0附近越陡峭进一步地,借助二阶导数,可以确定函数在定义域内凹凸性 仅知道区间内的单调性难以体现一些细节,若知道凹凸性,可以得出曲线的陡峭程度的变化趋势(二阶导数刻画的是一阶导数,若一阶,二阶导数都大于0,说明一阶导数递增,随着 x x x增大,图形曲线会越来越陡峭; 对于给定的一个函数图形,我们也可以一般的分析其二阶导数在某个区间内的正负,从指定区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]的左端点开始在 x → b x\to{b} x→b的过程中,若切线斜率越来越大,则二阶导是大于0的;反之,则二阶导小于0二阶导数与物体运动 例如 v s t ′ vs_{t}^{} vst′, a v t ′ av_{t} avt′ s t ′ ′ s_{t} st′′即位移对时间求导得到某个时刻的速度(大小和方向),速度对时间求导,得到某个时间的加速度 函数图形分析和绘制步骤 确定函数 y f ( x ) yf(x) yf(x)的定义域 D f D_f Df 对于多项式函数,可尝试因式分解确定零点 分析函数是否有奇偶性和周期性 周期性一般对三角函数比较重要 求函数 f ( x ) f(x) f(x)的一阶,二阶导数 f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) f(x),f(x) f′(x),f′′(x)求出 f ′ ( x ) f(x) f′(x), f ′ ′ ( x ) f(x) f′′(x)在 D f D_f Df内的全部零点和不存在的点(无定义点),它们构成集合S f ′ ( x ) f(x) f′(x)的零点和不存在点包含所有潜在的极值点(相邻区间内单调性可能相同) f ′ ′ ( x ) f(x) f′′(x)的零点和不存在点包含所有来找出潜在的拐点Note: 对于多项式函数而言,不存在不可导点,只需要关心零点即可 根据集合S中的 N ∣ S ∣ N|S| N∣S∣个点构成 N ∣ S ∣ 1 N|S|1 N∣S∣1个区间分别确定 N N N个区间内 f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) f(x),f(x) f′(x),f′′(x)的符号,并由此确定函数图形的升降,凹凸和拐点确定函数图形的水平,铅直渐近线等变换趋势计算 S S S中的各个点的函数值,得到点 ( x i , f ( x i ) ) (x_i,f(x_i)) (xi,f(xi)), x i ∈ S , i 1 , 2 , ⋯ , n x_i\in{S},i1,2,\cdots,n xi∈S,i1,2,⋯,n用适当的曲线来连结这些图形在坐标上的点
例 y x 3 − x 2 − x 1 yx^3-x^2-x1 yx3−x2−x1的图形 函数定义域为 ( − ∞ , ∞ ) (-\infin,\infin) (−∞,∞) f ′ ( x ) 3 x 2 − 2 x − 1 ( 3 x 1 ) ( x − 1 ) f(x)3x^2-2x-1(3x1)(x-1) f′(x)3x2−2x−1(3x1)(x−1);零点为 − 1 3 -\frac{1}{3} −31, 1 1 1 f ′ ′ ( x ) 6 x − 2 2 ( 3 x − 1 ) f(x)6x-22(3x-1) f′′(x)6x−22(3x−1);零点为 1 3 \frac{1}{3} 31 将上述求得的零点划分区间: ( − ∞ , − 1 3 ) (-\infin,-\frac{1}{3}) (−∞,−31), [ − 1 3 , 1 3 ] [-\frac{1}{3},\frac{1}{3}] [−31,31], [ 1 3 , 1 ] [\frac{1}{3},1] [31,1], [ 1 , ∞ ) [1,\infin) [1,∞) x x x ( − ∞ , − 1 3 ) (-\infin,-\frac{1}{3}) (−∞,−31) − 1 3 -\frac{1}{3} −31 [ − 1 3 , 1 3 ] [-\frac{1}{3},\frac{1}{3}] [−31,31] 1 3 \frac{1}{3} 31 [ 1 3 , 1 ] [\frac{1}{3},1] [31,1] 1 1 1 [ 1 , ∞ ) [1,\infin) [1,∞) f ′ ( x ) f(x) f′(x)0---0 f ′ ′ ( x ) f(x) f′′(x)---0 y f ( x ) yf(x) yf(x)的图形增凸局部最高点减凸拐点减凹局部最低点增凹分析各个区间内函数的 f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) f(x),f(x) f′(x),f′′(x)的符号 函数没有渐进线, y → ∞ ( x → ∞ ) y\to{\infin}(x\to{\infin}) y→∞(x→∞); y → − ∞ ( x → − ∞ ) y\to{-\infin}(x\to{-\infin}) y→−∞(x→−∞) 适当计算局部最高点和局部最低点以及坐标轴交点
