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数理金融初步#xff08;原书第3版#xff09;Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社 布朗运动
定义
如果随机变量集合 X ( t ) X(t) X(t) 满足以下条件 X ( 0 ) X(0) X(0) 是一个给定的常数 对所有正数 y y y 和 t t t#xff0c;随机变量 X ( y t …内容来源
数理金融初步原书第3版Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社 布朗运动
定义
如果随机变量集合 X ( t ) X(t) X(t) 满足以下条件 X ( 0 ) X(0) X(0) 是一个给定的常数 对所有正数 y y y 和 t t t随机变量 X ( y t ) − X ( y ) X(yt)-X(y) X(yt)−X(y) 独立于到 y y y 为止的所有过程值且它服从均值为 μ t \mu t μt方差为 t σ 2 t\sigma^2 tσ2 的正态分布 则称其为一个漂移参数为 μ \mu μ方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动
条件 2 2 2 表明是过程的现值而不是任何的过去值决定了过程的将来值的概率
连续 X ( t ) X(t) X(t) 以概率 1 1 1 是 t t t 的连续函数 lim h → 0 [ X ( t h ) − X ( t ) ] \lim_{h\rightarrow0}[X(th)-X(t)] h→0lim[X(th)−X(t)]
随机变量 X ( t h ) − X ( t ) X(th)-X(t) X(th)−X(t) 的均值、方差分别为 μ h \mu h μh 和 h σ 2 h\sigma^2 hσ2
当 h → 0 h\rightarrow0 h→0 时它收敛于一个均值为 0 0 0方差为 0 0 0 的随机变量即常数 0 0 0
处处不可微 lim h → 0 X ( t h ) − X ( t ) h \lim_{h\rightarrow0}\frac{X(th)-X(t)}{h} h→0limhX(th)−X(t) X ( t h ) − X ( t ) h \frac{X(th)-X(t)}{h} hX(th)−X(t) 的均值为 μ \mu μ方差为 σ 2 / h \sigma^2/h σ2/h
当 h → 0 h\rightarrow0 h→0 时方差显然不收敛
布朗运动可由一个相对简单的过程近似
设 Δ \Delta Δ 是一个很小的时间增量考虑一个过程使其在每个 Δ \Delta Δ 时间长度上该过程或以概率 p p p 增加 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ 或以概率 1 − p 1-p 1−p 减少 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ 其中 p 1 2 ( 1 μ σ Δ ) p\frac{1}{2}\left(1\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\right) p21(1σμΔ )
且该过程后面的改变值与前面的改变值是独立的
让 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0该过程就变成了一个漂移参数为 μ \mu μ方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动
证明如下
设 X i { 1 如果在时刻 i Δ 变化是增加 − 1 如果在时刻 i Δ 变化是减少 X_i\begin{cases} 1如果在时刻i\Delta变化是增加\\ -1如果在时刻i\Delta变化是减少\\ \end{cases} Xi{1−1如果在时刻iΔ变化是增加如果在时刻iΔ变化是减少
再设 X ( 0 ) X(0) X(0) 表示过程在时刻 0 0 0 的值那么 n n n 次变化之后过程值为 X ( n Δ ) X ( 0 ) σ Δ ( X 1 X 2 ⋯ X n ) X(n\Delta)X(0)\sigma\sqrt{\Delta}(X_1X_2\cdotsX_n) X(nΔ)X(0)σΔ (X1X2⋯Xn)
那么 X ( t ) − X ( 0 ) σ Δ ∑ i 1 t / Δ X i X(t)-X(0)\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i1}X_i X(t)−X(0)σΔ i1∑t/ΔXi
由于 X i X_i Xi 相互独立当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时求和式 ∑ i 1 t / Δ X i \sum^{t/\Delta}_{i1}X_i ∑i1t/ΔXi 中的项变得足够多
根据中心极限定理这个和收敛于一个正态随机变量
其均值与方差分别为 E [ X i ] 1 ⋅ p − 1 ⋅ ( 1 − p ) 2 p − 1 μ σ Δ E[X_i]1\cdot p-1\cdot(1-p)2p-1\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta} E[Xi]1⋅p−1⋅(1−p)2p−1σμΔ V a r ( X i ) E [ X i 2 ] − E 2 [ X i ] 1 − ( 2 p − 1 ) 2 Var(X_i)E[X^2_i]-E^2[X_i]1-(2p-1)^2 Var(Xi)E[Xi2]−E2[Xi]1−(2p−1)2
因此 E [ X ( t ) − X ( 0 ) ] E [ σ Δ ∑ i 1 t / Δ X i ] σ Δ ∑ i 1 t / Δ E [ X i ] σ Δ t Δ μ σ Δ μ t \begin{align*} E[X(t)-X(0)] E\left[\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i1}X_i\right]\\ \sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i1}E[X_i]\\ \sigma\sqrt{\Delta}\frac{t}{\Delta}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\\ \mu t \end{align*} E[X(t)−X(0)]E σΔ i1∑t/ΔXi σΔ i1∑t/ΔE[Xi]σΔ ΔtσμΔ μt V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) V a r ( σ Δ ∑ i 1 t / Δ X i ) σ 2 Δ ∑ i 1 t / Δ V a r [ X i ] σ 2 Δ t Δ [ 1 − ( 2 p − 1 ) 2 ] \begin{align*} Var(X(t)-X(0)) Var\left(\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i1}X_i\right)\\ \sigma^2\Delta\sum^{t/\Delta}_{i1}Var[X_i]\\ \sigma^2\Delta\frac{t}{\Delta}[1-(2p-1)^2] \end{align*} Var(X(t)−X(0))Var σΔ i1∑t/ΔXi σ2Δi1∑t/ΔVar[Xi]σ2ΔΔt[1−(2p−1)2]
当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时 p → 1 2 p\rightarrow\frac{1}{2} p→21由上式 V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) → t σ 2 , Δ → 0 Var(X(t)-X(0))\rightarrow t\sigma^2,\Delta\rightarrow0 Var(X(t)−X(0))→tσ2,Δ→0
综上当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时 X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)−X(0) 收敛于 N ( μ t , t σ 2 ) N(\mu t,t\sigma^2) N(μt,tσ2)
由于过程后面的改变与前面的改变独立且每次改变增加或减少点概率是相同的
所以 X ( y t ) − X ( y ) X(yt)-X(y) X(yt)−X(y) 与 X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)−X(0) 有相同分布
且 X ( y t ) − X ( y ) X(yt)-X(y) X(yt)−X(y) 与 y y y 之前的过程改变是独立的
因此当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时过程值在时间上的集合是一个漂移参数为 μ \mu μ方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动
布朗运动的重要性质
给定 X ( t ) x X(t)x X(t)x那么集合 X ( y ) , 0 ⩽ y ⩽ t X(y),0\leqslant y\leqslant t X(y),0⩽y⩽t 的条件概率分布与 μ \mu μ 的取值无关
证
更像是说明
设 s X ( 0 ) sX(0) sX(0) 是 0 0 0 时刻的价格
考虑近似模型其中价格是在 Δ \Delta Δ 的整倍数时间上变化的其每次改变量的决定值相同设为 c σ Δ c\sigma\sqrt{\Delta} cσΔ 注意 c c c 不依赖于 μ \mu μ
到 t t t 时刻变化次数为 t / Δ t/\Delta t/Δ变化的量为 x − s x-s x−s
则正改变有 t 2 Δ x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}\frac{x-s}{2c} 2Δt2cx−s 次负改变有 t 2 Δ − x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}-\frac{x-s}{2c} 2Δt−2cx−s 次
由于每次改变都是独立的因而在给定条件下正改变在总改变中的每种排列都是等可能的
因此尽管 p p p 依赖于 μ \mu μ但到 t t t 时刻为止的历史值在 X ( t ) x X(t)x X(t)x 下的条件分布不依赖于 μ \mu μ
