郴州网站制作公司电话,抖音小程序模板,山东网站建设哪里有,网站侧栏设计微积分中的一个最简单的最优化例子
问题描述
假设你有一条长度为 10 米的栅栏#xff0c;你需要围成一个矩形的鸡舍#xff0c;使得围成的面积最大。求这个矩形的长和宽应是多少#xff0c;以使得面积最大。
步骤 设定变量#xff1a; 设矩形的长为 x x x 米#xff0…微积分中的一个最简单的最优化例子
问题描述
假设你有一条长度为 10 米的栅栏你需要围成一个矩形的鸡舍使得围成的面积最大。求这个矩形的长和宽应是多少以使得面积最大。
步骤 设定变量 设矩形的长为 x x x 米宽为 y y y 米。因为总栅栏长度是 10 米所以有约束条件 2 x 2 y 10 2x 2y 10 2x2y10简化为 x y 5 x y 5 xy5。 表达目标函数 目标是最大化矩形的面积 A A A即 A x × y A x \times y Ax×y。利用约束条件 y 5 − x y 5 - x y5−x 代入面积公式中 A x × ( 5 − x ) 5 x − x 2 A x \times (5 - x) 5x - x^2 Ax×(5−x)5x−x2 求导并找到极值 对面积函数 A ( x ) 5 x − x 2 A(x) 5x - x^2 A(x)5x−x2 求导得到 d A d x 5 − 2 x \frac{dA}{dx} 5 - 2x dxdA5−2x令导数等于 0 求解 x x x 5 − 2 x 0 ⟹ x 2.5 5 - 2x 0 \implies x 2.5 5−2x0⟹x2.5 确定极值性质 二次导数 d 2 A d x 2 − 2 \frac{d^2A}{dx^2} -2 dx2d2A−2它小于 0说明 A ( x ) A(x) A(x) 在 x 2.5 x 2.5 x2.5 处取得最大值。 求解最优解 对应的宽 y 5 − 2.5 2.5 y 5 - 2.5 2.5 y5−2.52.5 米。最大面积为 A 2.5 × 2.5 6.25 A 2.5 \times 2.5 6.25 A2.5×2.56.25 平方米。
结论
当矩形的长和宽均为 2.5 米时围成的面积最大最大面积为 6.25 平方米。
