石柱土家族网站建设,网站建设做网站好吗,网站开发实践研究报告,个人工作室注册条件第三章#xff0c;矩阵#xff0c;09-线性方程组解的判断与求法、矩阵方程 定理推论1推论2推论3推论4 矩阵方程AXB解法解的存在性推论 玩转线性代数(21)线性方程组解的判断与求法的笔记#xff0c;相关证明以及例子见原文 定理
对n元线性方程组 A x b Axb Axb#xff0c;… 第三章矩阵09-线性方程组解的判断与求法、矩阵方程 定理推论1推论2推论3推论4 矩阵方程AXB解法解的存在性推论 玩转线性代数(21)线性方程组解的判断与求法的笔记相关证明以及例子见原文 定理
对n元线性方程组 A x b Axb AxbA为系数矩阵 B ( A ∣ b ) B(A|b) B(A∣b)为增广矩阵则有 1 A x b Axb Axb无解 ⇔ R ( A ) R ( A , b ) \Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b) ⇔R(A)R(A,b); 2 A x b Axb Axb有唯一解 ⇔ R ( A ) R ( A , b ) n \Leftrightarrow R(A)R(A,b)n ⇔R(A)R(A,b)n; 3 A x b Axb Axb有无穷多解 ⇔ R ( A ) R ( A , b ) n \Leftrightarrow R(A) R(A,b)\lt n ⇔R(A)R(A,b)n.
推论1
对n元线性方程组 A x b Axb AxbA为系数矩阵 B ( A ∣ b ) B(A|b) B(A∣b)为增广矩阵则有 1 A x b Axb Axb无解 ⇔ R ( A ) R ( A , b ) \Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b) ⇔R(A)R(A,b); 2 A x b Axb Axb有解 ⇔ R ( A ) R ( A , b ) \Leftrightarrow R(A)R(A,b) ⇔R(A)R(A,b).
推论2
对n元线性方程组 A x b Axb AxbA为系数矩阵或A为方阵则有 1 A x b Axb Axb有唯一解 ⇔ R ( A ) n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow R(A)n\Leftrightarrow |A|\neq 0 ⇔R(A)n⇔∣A∣0其解为 x A − 1 b xA^{-1}b xA−1b; ( R ( A ) R ( B ) n R(A)R(B)n R(A)R(B)n); 2 ∣ A ∣ 0 ⇔ |A|0\Leftrightarrow ∣A∣0⇔有无穷多解或无解.
推论3
对n元线性方程组 A x 0 Ax0 Ax0A为系数矩阵方程必有零解故不存在无解的情况另外增广矩阵的最后一列为零故其秩与系数矩阵A相同。 1 A x 0 Ax0 Ax0只有零解 ⇔ R ( A ) n \Leftrightarrow R(A)n ⇔R(A)n; 2 A x 0 Ax0 Ax0有非零解 ⇔ R ( A ) n \Leftrightarrow R(A)\lt n ⇔R(A)n. 如果推论3中的A为方阵则又有如下结论
推论4
对n元线性方程组 A x 0 Ax0 Ax0A为系数矩阵且为方阵则有 1 A x 0 Ax0 Ax0只有零解 ⇔ R ( A ) n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow R(A)n \Leftrightarrow |A| \neq 0 ⇔R(A)n⇔∣A∣0; 2 A x 0 Ax0 Ax0有非零解 ⇔ R ( A ) n ⇔ ∣ A ∣ 0 \Leftrightarrow R(A) \lt n \Leftrightarrow |A| 0 ⇔R(A)n⇔∣A∣0.
矩阵方程AXB
解法
若A是方阵先确定A是否可逆若A可逆则有唯一解 X A − 1 B XA^{-1}B XA−1B 若A不是方阵或不可逆这时需要用待定元素法来求解。设未知矩阵X的元素为 x i j x_{ij} xij即 X ( x i j ) X(x_{ij}) X(xij)然后根据所给的矩阵方程列出 x i j x_{ij} xij所满足的线性方程组通过解线性方程组求出所有元素 x i j x_{ij} xij,从而得到X.
解的存在性
设A为m * n矩阵X为n * l矩阵则B为m * l矩阵把X和B按列分块记为 X ( x 1 , x 2 , . . . , x l ) , B ( b 1 , b 2 , . . . b l ) X(x_1,x_2,...,x_l), B(b_1,b_2,...b_l) X(x1,x2,...,xl),B(b1,b2,...bl) 则矩阵方程 A X B AXB AXB等价于l个向量方程 A x i b i , ( i 1 , 2 , . . . l ) Ax_ib_i, (i1,2,...l) Axibi,(i1,2,...l) 又设 R ( A ) r R(A)r R(A)r且A的行最简形矩阵为 A ~ \tilde{A} A~则 A ~ \tilde{A} A~一定有r个非零行。 再设 ( A , B ) ( A , b 1 , b 2 , . . . , b i ) ∼ r ( A ~ , b ~ 1 , b ~ 2 , . . . , b ~ l ) (A,B)(A, b_1, b_2,..., b_i)_{\sim}^r (\tilde{A}, \tilde{b}_1, \tilde{b}_2, ..., \tilde{b}_l) (A,B)(A,b1,b2,...,bi)∼r(A~,b~1,b~2,...,b~l) 从而 ( A , b i ) r ∼ ( A ~ , b ~ i ) , ( i 1 , 2 , . . . , l ) (A,b_i)_r^{\sim}(\tilde{A}, \tilde{b}_i), (i1,2,...,l) (A,bi)r∼(A~,b~i),(i1,2,...,l) 则 A X B AXB AXB有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A x i b i Ax_ib_i Axibi有解 ( i 1 , 2 , . . . , l ) (i1,2,...,l) (i1,2,...,l) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) R ( A , b i ) , ( i 1 , 2 , . . . , l ) R(A)R(A,b_i), (i1,2,...,l) R(A)R(A,bi),(i1,2,...,l) ⇔ \Leftrightarrow ⇔将 ( A , b i ) (A,b_i) (A,bi)化为行最简形 ( A ~ , b ~ i ) (\tilde{A}, \tilde{b}_i) (A~,b~i),此时 b ~ i \tilde{b}_i b~i的后m-r行全为零 ( i 1 , 2 , . . . , l ) (i1,2,...,l) (i1,2,...,l). ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ( A ~ , b ~ 1 , b ~ 2 , . . . , b ~ l ) (\tilde{A}, \tilde{b}_1, \tilde{b}_2, ..., \tilde{b}_l) (A~,b~1,b~2,...,b~l)的后m-r行全为零 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) R ( A , B ) R(A)R(A,B) R(A)R(A,B).
推论
设 A B C ABC ABC则 R ( C ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C)\leq min \{R(A), R(B) \} R(C)≤min{R(A),R(B)} 证明 ∵ A B C , ∴ A X B \because ABC, \therefore AXB ∵ABC,∴AXB有解 ⇒ R ( A ) R ( A , C ) ≥ R ( C ) \Rightarrow R(A)R(A, C) \geq R(C) ⇒R(A)R(A,C)≥R(C) 又 B T A T C T ∴ B T X C T B^TA^TC^T \therefore B^TXC^T BTATCT∴BTXCT有解 ⇒ R ( B ) R ( B T ) R ( B T , c T ) ≥ R ( C T ) R ( C ) \Rightarrow R(B)R(B^T)R(B^T, c^T) \geq R(C^T)R(C) ⇒R(B)R(BT)R(BT,cT)≥R(CT)R(C) ∴ R ( C ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } \therefore R(C) \leq min\{R(A), R(B)\} ∴R(C)≤min{R(A),R(B)}.
