水印在线制作网站,网页制作一般多少钱,网站流量 用什么表示,描述建设一个网站的基本步骤拉普拉斯变换解微分方程
拉普拉斯变换解微分方程的一般步骤如下#xff1a; 写出微分方程。对微分方程两边应用拉普拉斯正变换。求解变换后的代数方程#xff0c;得到 Y ( s ) Y(s) Y(s)。如果需要#xff0c;进行部分分式分解。对 Y ( s ) Y(s) Y(s)进行拉普拉斯逆变换 写出微分方程。对微分方程两边应用拉普拉斯正变换。求解变换后的代数方程得到 Y ( s ) Y(s) Y(s)。如果需要进行部分分式分解。对 Y ( s ) Y(s) Y(s)进行拉普拉斯逆变换得到 y ( t ) y(t) y(t)。考虑初始条件得到完整的时域解。
1. 写出微分方程
假设有一个关于函数 y ( t ) y(t) y(t)的微分方程 d n y ( t ) d t n a n − 1 d n − 1 y ( t ) d t n − 1 ⋯ a 1 d y ( t ) d t a 0 y ( t ) f ( t ) \frac{d^n y(t)}{dt^n} a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} \dots a_1 \frac{d y(t)}{dt} a_0 y(t) f(t) dtndny(t)an−1dtn−1dn−1y(t)⋯a1dtdy(t)a0y(t)f(t)
其中 f ( t ) f(t) f(t) 是已知的外部输入函数( y(t) ) 是待求解的函数( a_0, a_1, \dots, a_{n-1} ) 是常数。
2. 对微分方程两边应用拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义是 L { f ( t ) } F ( s ) ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t \mathcal{L} \{ f(t) \} F(s) \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt L{f(t)}F(s)∫0∞f(t)e−stdt
通过对微分方程两边应用拉普拉斯变换将微分方程中的每一项都转换为代数方程中的相应项。利用拉普拉斯变换的常用公式 L { d n y ( t ) d t n } s n Y ( s ) − s n − 1 y ( 0 ) − s n − 2 d y ( 0 ) d t − ⋯ − y ( n − 1 ) ( 0 ) \mathcal{L} \left\{ \frac{d^n y(t)}{dt^n} \right\} s^n Y(s) - s^{n-1} y(0) - s^{n-2} \frac{dy(0)}{dt} - \dots - y^{(n-1)}(0) L{dtndny(t)}snY(s)−sn−1y(0)−sn−2dtdy(0)−⋯−y(n−1)(0)
对于每个导数项拉普拉斯变换会产生相应的 s s s-域表达式。 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是 y ( t ) y(t) y(t) 的拉普拉斯变换 y ( 0 ) , y ′ ( 0 ) , … y(0), y(0), \dots y(0),y′(0),…是初始条件。
假设有一个二阶微分方程 d 2 y ( t ) d t 2 3 d y ( t ) d t 2 y ( t ) f ( t ) \frac{d^2 y(t)}{dt^2} 3\frac{d y(t)}{dt} 2 y(t) f(t) dt2d2y(t)3dtdy(t)2y(t)f(t)
应用拉普拉斯变换后 s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) 3 ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) 2 Y ( s ) F ( s ) s^2 Y(s) - s y(0) - y(0) 3(s Y(s) - y(0)) 2 Y(s) F(s) s2Y(s)−sy(0)−y′(0)3(sY(s)−y(0))2Y(s)F(s)
3. 代数方程求解
将变换后的方程整理成 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的代数方程通常是一个关于 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的代数方程 Y ( s ) ( s 2 3 s 2 ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) − 3 y ( 0 ) F ( s ) Y(s) \left( s^2 3s 2 \right) - s y(0) - y(0) - 3y(0) F(s) Y(s)(s23s2)−sy(0)−y′(0)−3y(0)F(s)
然后解这个代数方程求出 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的表达式。对于上面的例子解出 Y ( s ) Y(s) Y(s) Y ( s ) F ( s ) s y ( 0 ) y ′ ( 0 ) 3 y ( 0 ) s 2 3 s 2 Y(s) \frac{F(s) s y(0) y(0) 3 y(0)}{s^2 3s 2} Y(s)s23s2F(s)sy(0)y′(0)3y(0)
4. 应用部分分式分解如有必要
如果得到的 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是一个有理函数分子和分母都是多项式通常需要使用部分分式分解来将 Y ( s ) Y(s) Y(s) 分解成简单的分式。这对于拉普拉斯反变换非常重要因为简单的分式更容易找到其逆变换。
例如如果得到 Y ( s ) 1 ( s 1 ) ( s 2 ) Y(s) \frac{1}{(s1)(s2)} Y(s)(s1)(s2)1
可以进行部分分式分解 1 ( s 1 ) ( s 2 ) A s 1 B s 2 \frac{1}{(s1)(s2)} \frac{A}{s1} \frac{B}{s2} (s1)(s2)1s1As2B
然后解出 A A A 和 B B B得到 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的分式形式。
5. 进行拉普拉斯逆变换
一旦得到 Y ( s ) Y(s) Y(s)就可以通过查找标准的拉普拉斯变换对照表或使用逆变换公式将 Y ( s ) Y(s) Y(s) 转换回时域函数 y ( t ) y(t) y(t)。
例如如果 Y ( s ) 1 s 1 Y(s) \frac{1}{s1} Y(s)s11
可以使用拉普拉斯变换对照表得出逆变换 y ( t ) e − t y(t) e^{-t} y(t)e−t
以下是拉普拉斯变换常见函数的对照表
函数 f ( t ) f(t) f(t)拉普拉斯变换 L { f ( t ) } \mathcal{L}\{f(t)\} L{f(t)} 1 1 1 1 s \frac{1}{s} s1 t t t 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21 t n t^n tn (n为整数) n ! s n 1 \frac{n!}{s^{n1}} sn1n! e a t e^{at} eat 1 s − a \frac{1}{s - a} s−a1 sin ( a t ) \sin(at) sin(at) a s 2 a 2 \frac{a}{s^2 a^2} s2a2a cos ( a t ) \cos(at) cos(at) s s 2 a 2 \frac{s}{s^2 a^2} s2a2s e a t sin ( b t ) e^{at} \sin(bt) eatsin(bt) b ( s − a ) 2 b 2 \frac{b}{(s-a)^2 b^2} (s−a)2b2b e a t cos ( b t ) e^{at} \cos(bt) eatcos(bt) s − a ( s − a ) 2 b 2 \frac{s-a}{(s-a)^2 b^2} (s−a)2b2s−a δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 1 1 u ( t ) u(t) u(t) (单位阶跃函数) 1 s \frac{1}{s} s1 u ( t − a ) u(t-a) u(t−a) (延迟单位阶跃函数) e − a s s \frac{e^{-as}}{s} se−as 1 t \frac{1}{t} t1 ln ( s ) \ln(s) ln(s) e a t t n e^{at} t^n eattn n ! ( s − a ) n 1 \frac{n!}{(s-a)^{n1}} (s−a)n1n!
6. 考虑初始条件
在进行拉普拉斯逆变换时确保考虑初始条件。初始条件如 y ( 0 ) y(0) y(0), y ′ ( 0 ) y(0) y′(0) 等在解的过程中通过拉普拉斯变换的公式已经引入因此最终解中将包含这些初始条件对时域解的影响。
7. 最终解
最后得到微分方程的解通常是 y ( t ) L − 1 { Y ( s ) } y(t) \mathcal{L}^{-1} \left\{ Y(s) \right\} y(t)L−1{Y(s)}
