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公式 P ( Z k ) π k P(Zk) \pi_k P(Zk)πk
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学习日记_20241117_聚类方法高斯混合模型
公式 P ( Z k ) π k P(Zk) \pi_k P(Zk)πk
在高斯混合模型 (GMM) 中公式 P ( Z k ) π k P(Zk) \pi_k P(Zk)πk 描述了选择某个高斯成分 k k k 的概率其中 Z Z Z 是一个潜在变量latent variable表示数据点所属的成分。
详细解释 潜在变量 Z Z Z Z Z Z 是一个离散随机变量它的取值范围为 { 1 , 2 , … , K } \{1, 2, \ldots, K\} {1,2,…,K}其中 K K K 是模型中高斯成分的数量。每个 k k k 对应一个高斯分布。 权重 π k \pi_k πk π k \pi_k πk 是与成分 k k k 相关的权重表示在所有成分中选择成分 k k k 的概率。它满足以下条件 π k ≥ 0 \pi_k \geq 0 πk≥0非负性 ∑ k 1 K π k 1 \sum_{k1}^{K} \pi_k 1 ∑k1Kπk1归一化条件 模型解释 这个公式表明在生成数据的过程中根据权重 π k \pi_k πk我们会选择其中一个成分 k k k。这个选择是随机的但在长期来看每个成分 k k k 被选择的概率正好等于其权重 π k \pi_k πk。
生成过程
在 GMM 的生成过程中首先选择一个成分 $ Z $然后在选择的成分下从对应的高斯分布中生成样本 $ X $。这个过程可以概述为 从权重分布中选择成分 k k k P ( Z k ) π k P(Zk) \pi_k P(Zk)πk 在选择的成分下从该成分的高斯分布中生成数据 X ∣ Z k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Zk \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) X∣Zk∼N(μk,Σk)
例子
假设我们有一个 GMM 模型其中包含两个高斯成分即 K 2 K 2 K2其权重分别为 π 1 0.6 \pi_1 0.6 π10.6 和 π 2 0.4 \pi_2 0.4 π20.4。这意味着
有 60% 的概率选择成分 1生成该成分下的样本。有 40% 的概率选择成分 2生成该成分下的样本。
总结
公式 P ( Z k ) π k P(Zk) \pi_k P(Zk)πk 是高斯混合模型的核心部分定义了数据生成过程中选择每个高斯成分的概率。通过这些成分的加权组合GMM 能够有效地建模复杂的分布结构。 公式 X ∣ Z k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Zk \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) X∣Zk∼N(μk,Σk)
公式 X ∣ Z k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Zk \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) X∣Zk∼N(μk,Σk)描述的是在给定潜在变量 Z Z Z 等于某个特定值 k k k 的情况下随机变量 X X X 的条件分布。这里的含义可以分解为以下几点
1. 条件分布 X ∣ Z k X | Zk X∣Zk 表示在选择了成分 k k k 的条件下生成的数据点 X X X。这意味着我们只关注在成分 k k k 下生成的数据特性。
2. 高斯分布 ∼ N ( μ k , Σ k ) \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) ∼N(μk,Σk) 表示 X X X 服从均值为 μ k \mu_k μk、协方差矩阵为 Σ k \Sigma_k Σk 的多元高斯分布或正态分布。 均值 μ k \mu_k μk这是成分 k k k 的中心位置表示该成分的“典型”数据点。协方差矩阵 Σ k \Sigma_k Σk它描述了成分 k k k 的数据点的分布形状和方向。协方差矩阵的对角线元素表示不同特征的方差而非对角线元素则表示特征之间的相关性。
3. 模型的生成过程
在高斯混合模型中生成数据的过程可以总结为以下两步 选择成分 根据权重 π k \pi_k πk 随机选择一个成分 k k k。 生成样本 一旦选择了成分 k k k根据该成分的高斯分布生成数据点 X X X。这可以通过从高斯分布中抽样来实现。
举例说明
假设我们有两个高斯成分 K 2 K2 K2
成分 1 μ 1 [ 2 , 3 ] \mu_1 [2, 3] μ1[2,3] Σ 1 [ 1 0 0 1 ] \Sigma_1 \begin{bmatrix} 1 0 \\ 0 1 \end{bmatrix} Σ1[1001]成分 2 μ 2 [ 5 , 7 ] \mu_2 [5, 7] μ2[5,7] Σ 2 [ 2 0 0 2 ] \Sigma_2 \begin{bmatrix} 2 0 \\ 0 2 \end{bmatrix} Σ2[2002] 在生成数据时
以一定的概率例如 π 1 0.6 \pi_1 0.6 π10.6, π 2 0.4 \pi_2 0.4 π20.4选择成分。如果选择成分 1生成的数据点 X X X 将会满足 X ∣ Z 1 ∼ N ( [ 2 3 ] , [ 1 0 0 1 ] ) X | Z1 \sim \mathcal{N}\left(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 0 \\ 0 1 \end{bmatrix}\right) X∣Z1∼N([23],[1001]) 这意味着生成的点将会在均值 [ 2 , 3 ] [2, 3] [2,3] 附近并且具有单位方差表示每个维度独立。
总结
公式 X ∣ Z k ∼ N ( μ k , Σ k ) X | Zk \sim \mathcal{N}(\mu_k, \Sigma_k) X∣Zk∼N(μk,Σk) 是高斯混合模型的核心部分描述了在选择特定高斯成分 k k k 的情况下数据的分布特性。通过不同成分的组合GMM 能够灵活地捕捉复杂数据集的结构。
