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本文需要对量子计算有一定的了解。需要的请翻阅我的量子专栏#xff0c;这里不再涉及基础知识的科普。
量子相位反冲是什么#xff1f;
相位反转#xff08;phase kickback#xff09;是量子计算中的一种现象#xff0c;通常在量子算法中使用#xff0c;例如量子…前言
本文需要对量子计算有一定的了解。需要的请翻阅我的量子专栏这里不再涉及基础知识的科普。
量子相位反冲是什么
相位反转phase kickback是量子计算中的一种现象通常在量子算法中使用例如量子相位估计算法。相位反冲可以用于将某些运算转化为在控制比特上的操作从而实现更高效的量子算法。
相位反冲的主要思想是将一个控制比特和一个目标比特连接在一起然后将目标比特进行某种操作这个操作的相位会反冲到控制比特上使得控制比特的状态发生改变。这样我们可以通过测量控制比特的状态来获取目标比特上的信息。 例如在量子相位估计算法中我们想要估计一个相位角θ我们可以构造一个相应的幺正运算U将一个有用的状态|ψ⟩作为目标比特将一个初始状态|0⟩作为控制比特并将它们连接在一起。然后对控制比特应用Hadamard门使得它处于|⟩状态接着对U进行一个特定的操作使得它的相位角为2kθ其中k是控制比特的状态最后再对控制比特进行测量从而可以得到θ的估计。在这个过程中相位反冲起到了关键作用将目标比特的相位信息传递给了控制比特。
理解相位反冲
假设我们有一个叠加态 ∣⟩12(∣0⟩∣1⟩)|\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle)∣⟩21(∣0⟩∣1⟩)和一个初始状态为 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 的控制比特和目标比特。我们可以将它们放在一个线路中并将控制比特上的Hadamard门作用在上面将叠加态 ∣⟩|\rangle∣⟩ 与控制比特进行叠加然后再应用CNOT门将控制比特作为控制量子比特目标比特作为目标量子比特。 这个操作的结果是
12(∣0⟩∣1⟩)⊗∣0⟩→Hadamard on control bit12(∣0⟩∣1⟩)(∣0⟩−∣1⟩)→CNOT12(∣00⟩−∣01⟩∣10⟩−∣11⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle) \otimes |0\rangle \xrightarrow{\text{Hadamard on control bit}} \frac{1}{2}(|0\rangle |1\rangle)(|0\rangle - |1\rangle) \xrightarrow{\text{CNOT}} \frac{1}{2}(|00\rangle - |01\rangle |10\rangle - |11\rangle)21(∣0⟩∣1⟩)⊗∣0⟩Hadamard on control bit21(∣0⟩∣1⟩)(∣0⟩−∣1⟩)CNOT21(∣00⟩−∣01⟩∣10⟩−∣11⟩)
控制比特的状态第一个量子比特已经传递到了目标比特的相位上。这就是相位反冲技术的一个例子。为了更好的理解他对下面的一些概念进行普及
正交归一化叠加态
12(∣0⟩∣1⟩)⊗∣0⟩→12(∣00⟩∣11⟩),12(∣0⟩∣1⟩)⊗∣1⟩→12(∣01⟩∣10⟩)\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle)\otimes|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle |11\rangle), \ \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle)\otimes|1\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle |10\rangle) \end{aligned}21(∣0⟩∣1⟩)⊗∣0⟩→21(∣00⟩∣11⟩), 21(∣0⟩∣1⟩)⊗∣1⟩→21(∣01⟩∣10⟩)
这个量子态可以写成
12(∣0⟩⊗∣0⟩∣1⟩⊗∣1⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle\otimes|0\rangle |1\rangle\otimes|1\rangle)21(∣0⟩⊗∣0⟩∣1⟩⊗∣1⟩)
其中∣0⟩⊗∣0⟩|0\rangle\otimes|0\rangle∣0⟩⊗∣0⟩和∣1⟩⊗∣1⟩|1\rangle\otimes|1\rangle∣1⟩⊗∣1⟩是基矢量也就是正交的。因此这个量子态是一个正交归一化叠加态。
假设有一个初始态 ∣ψ⟩∣0⟩|\psi\rangle |0\rangle∣ψ⟩∣0⟩然后应用了一个 Hadamard 门得到的叠加态为∣ψ′⟩H∣ψ⟩12(∣0⟩∣1⟩)|\psi\rangleH|\psi\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle)∣ψ′⟩H∣ψ⟩21(∣0⟩∣1⟩)
接着将 ∣ψ′⟩|\psi\rangle∣ψ′⟩ 作为控制态和一个目标态 ∣ψ′′⟩∣0⟩|\psi\rangle |0\rangle∣ψ′′⟩∣0⟩ 经过 CNOT 门得到的最终态为∣ψfinal⟩12(∣00⟩∣11⟩)|\psi_{final}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle |11\rangle)∣ψfinal⟩21(∣00⟩∣11⟩)
此时第一个量子比特处于正交归一化叠加态。而这个过程中就涉及了相位反演。 在量子力学中一个系统可以被表示为其基态的叠加每个基态都是一个量子态。如果基态是正交的且归一化那么它们可以构成一个正交归一化基。一个系统也可以被表示为不同的基的线性组合这些基构成正交归一化叠加态。这些叠加态不仅是描述量子态的方便工具而且在许多实际应用中也具有重要作用比如在量子计算和量子通信中。 下面是系统的概念 正交归一化叠加态: 在量子力学中一个量子态是指一个量子系统所处的状态。量子态可以用一个或多个复数表示其中每个复数都对应于系统的一个可能状态。当涉及到多个态时为了避免出现混乱需要对这些态进行归一化和正交化。 归一化是指将一个向量除以其长度以使其长度等于1。在量子力学中归一化态是一个长度为1的量子态它是由量子态中的每个系数除以归一化系数而得到的。归一化态在量子力学中非常重要因为在某些情况下只有归一化的态才能表示物理上可观测的状态。为了理解这个概念下面我们来看一些例子 12∣000⟩32∣111⟩\frac{1}{2}|000\rangle \frac{\sqrt{3}}{2}|111\rangle21∣000⟩23∣111⟩这是一个三量子比特的量子态。它的归一化系数为14341\sqrt{\frac{1}{4} \frac{3}{4}} 141431。 13∣000⟩23∣111⟩\frac{1}{\sqrt{3}}|000\rangle \sqrt{\frac{2}{3}}|111\rangle31∣000⟩32∣111⟩这是一个三量子比特的量子态。它的归一化系数为13231\sqrt{\frac{1}{3} \frac{2}{3}} 131321。 正交是指两个向量之间的内积为0或者说两个向量之间的夹角为90度。在量子力学中正交态是两个不同的量子态之间的内积为0的态。这意味着这些态可以互相区分并被用于描述系统的不同状态。例如如果一个系统可以处于状态∣0⟩|0\rangle∣0⟩或∣1⟩|1\rangle∣1⟩中那么这两个态是正交的因为它们的内积为0。 总之正交归一化叠加态是指在一个量子系统中多个归一化态之间是正交的并且它们的叠加形成了一个新的归一化态。在量子计算中正交归一化叠加态是一种常用的量子态因为它们具有良好的可操作性和测量性质。常见的正交归一化叠加态包括Hadamard变换的超位置态和Bell态。 12(∣00⟩∣11⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle |11\rangle)21(∣00⟩∣11⟩)这是一个Bell态也是一个常用的量子态。它可以通过将两个qubit都置于∣⟩|\rangle∣⟩态并施加CNOT门来制备。 12(∣00⟩∣01⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle |01\rangle)21(∣00⟩∣01⟩)这是一个比特的叠加态。它可以通过对一个qubit施加Hadamard门来制备。 相位全局与相对
全局相位
全局相位是指一个量子态的相位旋转它不会改变该量子态的物理性质。在量子力学中一个量子态可以表示成幺正算符作用于某个基态而幺正算符通常包含一个相位因子。对于一个给定的量子态如果我们对这个幺正算符中的相位进行一个统一的改变那么这个量子态就会产生一个全局相位的变化。这个全局相位的变化不会影响任何可观测量的测量结果因此被视为无用的信息。 一个例子是两个量子比特的纠缠态 ∣ψ⟩12(∣01⟩−∣10⟩)|\psi\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)∣ψ⟩21(∣01⟩−∣10⟩)这个态有一个全局相位因子 −1-1−1并且有一个相对相位因子 iii。 全局相位因子表现为态矢量整体乘上一个复数比如 eiθe^{i\theta}eiθ其中 θ\thetaθ 是一个常数。在上面的例子中−1-1−1 就是这个态的全局相位因子。 相对相位因子表现为态矢量中不同基态系数之间的复数因子比如上面的例子中的 iii。在这个例子中∣01⟩|01\rangle∣01⟩ 和 ∣10⟩|10\rangle∣10⟩ 的系数之间的相对相位因子是 iii。
在量子力学中一个态矢量 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 可以表示为相对相位和全局相位的乘积形式∣ψ⟩eiγeiθ∣u⟩∣ψ⟩e^{iγ}e^{iθ}|u⟩∣ψ⟩eiγeiθ∣u⟩
其中 ∣u⟩|u\rangle∣u⟩ 是一个固定的态矢量θ\thetaθ 是相对相位γ\gammaγ 是全局相位。相对相位指的是相对于某个基态 ∣u⟩|u\rangle∣u⟩ 的相位而全局相位是指整个态矢量的相位。
首先假设我们有一个两量子比特的纯态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩其中第一个量子比特的状态是 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩第二个量子比特的状态为
∣ψ2⟩α∣0⟩β∣1⟩.|\psi_2\rangle \alpha|0\rangle \beta|1\rangle.∣ψ2⟩α∣0⟩β∣1⟩.
假设我们在第一个量子比特上施加一个相位门 Rz(θ)R_z(\theta)Rz(θ)我们可以得到如下的纯态
∣ψ′⟩Rz(θ)∣ψ⟩∣0⟩(α∣0⟩βeiθ∣1⟩).|\psi\rangle R_z(\theta)|\psi\rangle |0\rangle(\alpha|0\rangle \beta e^{i\theta}|1\rangle).∣ψ′⟩Rz(θ)∣ψ⟩∣0⟩(α∣0⟩βeiθ∣1⟩).
现在我们来计算相对相位。设 ∣ψ1⟩∣0⟩|\psi_1\rangle |0\rangle∣ψ1⟩∣0⟩则
⟨ψ1∣ψ′⟩⟨0∣0⟩(α⟨0∣0⟩βeiθ⟨0∣1⟩)α.\langle\psi_1|\psi\rangle \langle 0|0\rangle(\alpha\langle 0|0\rangle \beta e^{i\theta}\langle 0|1\rangle) \alpha.⟨ψ1∣ψ′⟩⟨0∣0⟩(α⟨0∣0⟩βeiθ⟨0∣1⟩)α.
类似地设 ∣ψ1⟩∣1⟩|\psi_1\rangle |1\rangle∣ψ1⟩∣1⟩则
⟨ψ1∣ψ′⟩⟨1∣0⟩(α⟨0∣1⟩βeiθ⟨1∣1⟩)βeiθ.\langle\psi_1|\psi\rangle \langle 1|0\rangle(\alpha\langle 0|1\rangle \beta e^{i\theta}\langle 1|1\rangle) \beta e^{i\theta}.⟨ψ1∣ψ′⟩⟨1∣0⟩(α⟨0∣1⟩βeiθ⟨1∣1⟩)βeiθ.
因此我们可以得到相对相位为 θ\thetaθ。
现在我们来看一个有全局相位的例子。假设我们的初始态为
∣ψ⟩12(∣01⟩−∣10⟩).|\psi\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle).∣ψ⟩21(∣01⟩−∣10⟩).
我们来计算施加相位门 Rz(θ)R_z(\theta)Rz(θ) 之后的态。首先我们需要将 Rz(θ)R_z(\theta)Rz(θ) 展开成矩阵形式
Rz(θ)[e−iθ/200eiθ/2].R_z(\theta) \begin{bmatrix} e^{-i\theta/2} 0 \\ 0 e^{i\theta/2} \end{bmatrix}.Rz(θ)[e−iθ/200eiθ/2].
对第一个量子比特施加 Rz(θ)R_z(\theta)Rz(θ) 门后我们得到的新态为
∣ψ′⟩12(e−iθ/2∣0⟩∣1⟩−eiθ/2∣1⟩∣0⟩).|\psi\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{-i\theta/2}|0\rangle|1\rangle - e^{i\theta/2}|1\rangle|0\rangle).∣ψ′⟩21(e−iθ/2∣0⟩∣1⟩−eiθ/2∣1⟩∣0⟩).
现在我们来计算两个态的内积
⟨ψ∣ψ′⟩12[1−1][e−iθ/2−eiθ/2]−12eiθ/2.\langle\psi|\psi\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-i\theta/2} \ -e^{i\theta/2} \end{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\theta/2}.⟨ψ∣ψ′⟩21[1−1][e−iθ/2 −eiθ/2]−21eiθ/2.
由于内积的结果中有相位 eiθ/2e^{i\theta/2}eiθ/2所以我们称这个量子态有全局相位。全局相位是一个复数它可以表示为θeiϕ\theta e^{i\phi}θeiϕ其中ϕ\phiϕ是相位角。当我们对一个量子比特施加一个全局相位θ\thetaθ时其密度矩阵的形式会发生变化但在测量方面并没有影响。因此全局相位通常被认为是量子态的“不可观测量”。
考虑一个单量子比特系统的初始状态为∣ψ⟩α∣0⟩β∣1⟩|\psi\rangle\alpha|0\rangle\beta|1\rangle∣ψ⟩α∣0⟩β∣1⟩其中α\alphaα和β\betaβ是复数且满足∣α∣2∣β∣21|\alpha|^2|\beta|^21∣α∣2∣β∣21。假设我们施加一个全局相位θeiϕ\theta e^{i\phi}θeiϕ则量子态变为
∣ψ′⟩eiϕ(α∣0⟩β∣1⟩)|\psi\ranglee^{i\phi}(\alpha|0\rangle\beta|1\rangle)∣ψ′⟩eiϕ(α∣0⟩β∣1⟩)
我们可以将这个量子态写成极坐标形式
∣ψ′⟩∣α∣ei(ϕθ1)∣0⟩∣β∣ei(ϕθ2)∣1⟩|\psi\rangle|\alpha|e^{i(\phi\theta_1)}|0\rangle|\beta|e^{i(\phi\theta_2)}|1\rangle∣ψ′⟩∣α∣ei(ϕθ1)∣0⟩∣β∣ei(ϕθ2)∣1⟩
其中θ1\theta_1θ1和θ2\theta_2θ2是α\alphaα和β\betaβ的相位角θ1θ2π\theta_1\theta_2\piθ1θ2π。
可以看出全局相位θ\thetaθ只是改变了量子态中的全局相位而不影响相对相位。因此全局相位通常被忽略因为它并不影响测量结果或量子计算中的其他操作。
相对相位
与全局相位相对的是相对相位它指的是两个量子态之间的相对相位差异。 假设有两个量子态 ∣ψ1⟩|\psi_1\rangle∣ψ1⟩ 和 ∣ψ2⟩|\psi_2\rangle∣ψ2⟩它们的全局相位是一样的即它们都被乘上了同一个复数因子 eiθe^{i\theta}eiθ其中 θ\thetaθ 是相位角度那么这两个量子态可以表示为 ∣ψ1⟩eiθ∣ϕ⟩|\psi_1\ranglee^{i\theta}|\phi\rangle∣ψ1⟩eiθ∣ϕ⟩ ∣ψ1⟩eiθ∣φ⟩|\psi_1\ranglee^{i\theta}|\varphi\rangle∣ψ1⟩eiθ∣φ⟩
其中 ∣ϕ⟩|\phi\rangle∣ϕ⟩ 和 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 是两个不同的量子态。如果我们现在对 ∣ψ1⟩|\psi_1\rangle∣ψ1⟩ 和 ∣ψ2⟩|\psi_2\rangle∣ψ2⟩ 进行测量它们所对应的概率幅值的比值为
⟨ψ1∣ψ2⟩∣⟨ψ1∣ψ2⟩∣eiϕ\frac{\langle\psi_1|\psi_2\rangle}{|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|}e^{i\phi}∣⟨ψ1∣ψ2⟩∣⟨ψ1∣ψ2⟩eiϕ
其中 ϕ\phiϕ 是 ∣ϕ⟩|\phi\rangle∣ϕ⟩ 和 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 之间的相对相位差。这个相对相位差是全局相位角度 θ\thetaθ 的函数而不是 ∣ϕ⟩|\phi\rangle∣ϕ⟩ 和 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 的函数。因此相对相位差是不受全局相位影响的只与量子态 ∣ϕ⟩|\phi\rangle∣ϕ⟩ 和 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 有关。 因此我们可以通过改变 ∣ϕ⟩|\phi\rangle∣ϕ⟩ 和 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 之间的相对相位差来改变它们之间的区别。这也就是为什么在量子计算中相对相位非常重要因为它可以被用来实现量子计算中的一些关键操作比如量子傅里叶变换和量子相位估计。
总结一下相对相位是不受全局相位影响的量子态之间的相位差它可以被用来描述不同量子态之间的区别并且在量子计算中有重要的应用。
相位反冲的例子
ex1) ∣⟩12(∣0⟩∣1⟩)|\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle)∣⟩21(∣0⟩∣1⟩) 0⊗∣⟩12(∣00⟩∣01⟩)→CNOT-212(∣00⟩∣11⟩)0\otimes|\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle|01\rangle) \xrightarrow{\text{CNOT-2}} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle|11\rangle)0⊗∣⟩21(∣00⟩∣01⟩)CNOT-221(∣00⟩∣11⟩) Uf:12(∣00⟩∣11⟩)→U12(∣0⟩(−1)f(0)∣0⟩∣1⟩(−1)f(1)1⟩)U_f: \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle|11\rangle) \xrightarrow{\text{U}} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle(-1)^{f(0)}|0\rangle|1\rangle(-1)^{f(1)}1\rangle)Uf:21(∣00⟩∣11⟩)U21(∣0⟩(−1)f(0)∣0⟩∣1⟩(−1)f(1)1⟩)
其中∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 和 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 分别表示量子比特的基态∣⟩|\rangle∣⟩ 表示 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 和 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 的正交归一化叠加态⊗\otimes⊗ 表示张量积UfU_fUf 表示一个由 fff 定义的量子门(−1)f(x)(-1)^{f(x)}(−1)f(x) 是一个复数相位其取值为 111 或 −1-1−1具体取决于 f(x)f(x)f(x) 的值。即测量第一个量子比特的结果时如果结果为∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 则说明第二位的结果也是∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 此时并没有对第二个量子位进行测量但是我们知道了第二个量子位的信息。这就是因为我们将第二个量子位操作的变化反转到了全局相位的变化上。
ex2) 假设有一个单量子比特的初始态 ∣ψ⟩∣0⟩|\psi\rangle |0\rangle∣ψ⟩∣0⟩经过以下操作后进行测量得到结果 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩
将 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 应用一个 Hadamard 门 H∣ψ⟩12(∣0⟩∣1⟩)H|\psi\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle)H∣ψ⟩21(∣0⟩∣1⟩)。 将 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 作为控制比特将一个目标比特 ∣−⟩12(∣0⟩−∣1⟩)|-\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)∣−⟩21(∣0⟩−∣1⟩) 作为目标比特进行 CNOT 操作 CNOT∣ψ⟩,∣−⟩12(∣0⟩∣−⟩∣1⟩∣⟩)CNOT_{|\psi\rangle,|-\rangle} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|-\rangle |1\rangle|\rangle)CNOT∣ψ⟩,∣−⟩21(∣0⟩∣−⟩∣1⟩∣⟩)。 测量第一个量子比特。如果测量结果为 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩则目标比特测量结果为 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩如果测量结果为 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩则目标比特测量结果为 ∣⟩|\rangle∣⟩。 CNOT∣ψ⟩,∣−⟩12(∣0⟩∣−⟩∣1⟩∣⟩)12(∣0⟩∣−⟩−∣1⟩∣⟩)CNOT_{|\psi\rangle,|-\rangle}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|-\rangle |1\rangle|\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|-\rangle - |1\rangle|\rangle)CNOT∣ψ⟩,∣−⟩21(∣0⟩∣−⟩∣1⟩∣⟩)21(∣0⟩∣−⟩−∣1⟩∣⟩)
在这个例子中相位反转发生在第 2 步当控制比特 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 的状态为 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 时目标比特的相位将反转。
ex3)一个复杂的例子 考虑一个双量子比特系统其中第一个量子比特是控制量子比特第二个量子比特是目标量子比特。假设目标量子比特处于状态 ∣u⟩|u\rangle∣u⟩而控制量子比特处于状态 (∣0⟩∣1⟩)/2(|0\rangle |1\rangle) / \sqrt{2}(∣0⟩∣1⟩)/2即 ∣ψ⟩12(∣0⟩∣1⟩)∣u⟩|\psi\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |1\rangle)|u\rangle∣ψ⟩21(∣0⟩∣1⟩)∣u⟩ 我们希望将目标量子比特的相位信息传递到控制量子比特上。为了实现这一目的我们需要执行下面的操作
用目标量子比特和一个第三个量子比特构成一个受控门。第三个量子比特的状态为 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩即 H∣−⟩∣1⟩H|-\rangle |1\rangleH∣−⟩∣1⟩X∣−⟩−∣−⟩∣−⟩X|-\rangle -|-\rangle|-\rangleX∣−⟩−∣−⟩∣−⟩。将控制量子比特与第三个量子比特进行 CNOT 门操作。将第三个量子比特和目标量子比特进行 CNOT 门操作复原。再次将控制量子比特和第三个量子比特进行 CNOT 门操作复原。
下面是具体到公式的演示方法 将目标量子比特 ∣u⟩|u\rangle∣u⟩ 与第三个量子比特 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩ 进行 CNOT 门操作得到如下状态 ∣⟩∣u⟩∣−⟩→CNOT-2,312∣⟩(∣u⟩−∣u⟩)|\rangle|u\rangle|-\rangle \xrightarrow{\text{CNOT-2,3}} \frac{1}{\sqrt{2}}|\rangle(|u\rangle-|u\rangle)∣⟩∣u⟩∣−⟩CNOT-2,321∣⟩(∣u⟩−∣u⟩) 将控制量子比特 (∣0⟩∣1⟩)/2(|0\rangle |1\rangle) / \sqrt{2}(∣0⟩∣1⟩)/2 与第三个量子比特 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩ 进行 CNOT 门操作得到如下状态 12(∣0⟩∣1⟩)(∣u⟩−∣u⟩)−12(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩∣u⟩)∣−⟩\frac{1}{2}(|0\rangle|1\rangle)(|u\rangle-|u\rangle) - \frac{1}{2}(|0\rangle-|1\rangle)(|u\rangle|u\rangle)|-\rangle21(∣0⟩∣1⟩)(∣u⟩−∣u⟩)−21(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩∣u⟩)∣−⟩ 将第三个量子比特 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩ 与目标量子比特 ∣u⟩|u\rangle∣u⟩ 进行 CNOT 门操作得到如下状态 12(∣0⟩∣1⟩)(∣u⟩−∣u⟩)−12(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u⟩)∣−⟩\frac{1}{2}(|0\rangle|1\rangle)(|u\rangle-|u\rangle) - \frac{1}{2}(|0\rangle-|1\rangle)(|u\rangle-|u\rangle)|-\rangle21(∣0⟩∣1⟩)(∣u⟩−∣u⟩)−21(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u⟩)∣−⟩ 注意到此时第二个量子比特 ∣u⟩|u\rangle∣u⟩ 的相位信息已经传递到第三个量子比特 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩ 上了。最后将控制量子比特 (∣0⟩∣1⟩)/2(|0\rangle |1\rangle) / \sqrt{2}(∣0⟩∣1⟩)/2 与第三个量子比特 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩ 再进行一次 CNOT 门操作得到如下状态 12(∣0⟩∣−⟩−∣1⟩∣−⟩)(∣u⟩−∣u⟩)−12(∣0⟩∣−⟩∣1⟩∣−⟩)(∣u⟩−∣u⟩)\frac{1}{2}(|0\rangle|-\rangle-|1\rangle|-\rangle)(|u\rangle-|u\rangle) - \frac{1}{2}(|0\rangle|-\rangle|1\rangle|-\rangle)(|u\rangle-|u\rangle)21(∣0⟩∣−⟩−∣1⟩∣−⟩)(∣u⟩−∣u⟩)−21(∣0⟩∣−⟩∣1⟩∣−⟩)(∣u⟩−∣u⟩)
化简后可得
12(∣0⟩−∣1⟩)∣u⟩\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)|u\rangle21(∣0⟩−∣1⟩)∣u⟩
可以看到控制量子比特的相位信息已经被传递到了目标量子比特上并且多了一个负号。这就是相位反转的效果。
其中 Q1Q_1Q1 表示控制量子比特Q2Q_2Q2 表示目标量子比特Q3Q_3Q3 表示第三个量子比特。
在该电路中我们首先对 Q2Q_2Q2 和 Q3Q_3Q3 进行受控门操作使得 Q3Q_3Q3 的相位信息被传递到了 Q2Q_2Q2 上。然后我们将 Q1Q_1Q1 和 Q3Q_3Q3 进行 CNOT 门操作这相当于在 Q3Q_3Q3 的状态为 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 的时候对 Q1Q_1Q1 进行了 XXX 门操作。接着我们将 Q2Q_2Q2 和 Q3Q_3Q3 进行 CNOT 门操作这将使得 Q1Q_1Q1 的相位信息被传递到了 Q3Q_3Q3 上。最后我们再次将 Q1Q_1Q1 和 Q3Q_3Q3 进行 CNOT 门操作相当于在 Q3Q_3Q3 的状态为 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 的时候对 Q1Q_1Q1 进行了 XXX 门操作。这一系列操作的结果是Q1Q_1Q1 的相位信息被传递到了 Q1Q_1Q1 本身上也就是实现了相位反冲的效果。 这个过程中实现相位反冲的关键在于第二步和第四步的 CNOT 门操作。具体来说第二步的 CNOT 门操作实现了对于 Q3Q_3Q3 在 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 状态时对 Q1Q_1Q1 的 XXX 门操作而第四步的 CNOT 门操作实现了对于 Q3Q_3Q3 在 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 状态时再次对 Q1Q_1Q1 的 XXX 门操作。 当 Q2Q_2Q2 和 Q3Q_3Q3 进行受控门操作时由于 Q3Q_3Q3 的初始状态为 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩所以相当于对 Q2Q_2Q2 应用了一个相位门操作 SSS。因此我们实际上实现的是对 Q1Q_1Q1 应用了 SSS 门操作将 Q2Q_2Q2 的相位信息反冲到了 Q1Q_1Q1 上。 然后在第二步和第四步的 CNOT 门操作中当 Q3Q_3Q3 处于 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 状态时它会对 Q1Q_1Q1 施加一个 XXX 门操作而当 Q3Q_3Q3 处于 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 状态时则不会对 Q1Q_1Q1 进行操作。因此通过这两个 CNOT 门操作我们可以将 Q2Q_2Q2 的相位信息反冲到 Q1Q_1Q1 上实现了相位反冲的效果。 最终我们得到的状态为 12(∣0⟩eiϕ∣1⟩)∣u⟩\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle21(∣0⟩eiϕ∣1⟩)∣u⟩其中 ϕ\phiϕ 是 Q2Q_2Q2 的相位信息已经被传递到了 Q1Q_1Q1 上。
为了更好地理解我们将带入纯数式用纯数学的方式来计算。
假设量子态 uuu 是一个单比特量子态它的数学表达式可以表示为
uα∣0⟩β∣1⟩u \alpha |0\rangle \beta |1\rangle uα∣0⟩β∣1⟩
其中α\alphaα和β\betaβ是复数∣0⟩|0\rangle∣0⟩和∣1⟩|1\rangle∣1⟩分别是基态。
另外叠加态∣⟩|\rangle∣⟩也是一个单比特量子态它的数学表达式可以表示为
∣⟩∣0⟩∣1⟩2|\rangle \frac{|0\rangle |1\rangle}{\sqrt{2}} ∣⟩2∣0⟩∣1⟩
当叠加态 ∣⟩|\rangle∣⟩ 作为控制比特量子态 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 作为目标比特应用CNOT门可以得到
CNOT(∣⟩∣0⟩)CNOT(∣0⟩∣1⟩2⊗∣0⟩)∣00⟩∣11⟩2\text{CNOT}(|\rangle |0\rangle) \text{CNOT}\left(\frac{|0\rangle |1\rangle}{\sqrt{2}} \otimes |0\rangle\right) \frac{|00\rangle |11\rangle}{\sqrt{2}} CNOT(∣⟩∣0⟩)CNOT(2∣0⟩∣1⟩⊗∣0⟩)2∣00⟩∣11⟩
因此线路第二阶段与第四阶段输出的量子态可以表示为
2阶段∣α000⟩−∣α001⟩∣α101⟩−∣α100⟩∣β011⟩−∣β010⟩−∣β111⟩∣β110⟩2(∣0⟩∣u⟩−∣1⟩∣−u⟩)∣−⟩2阶段\frac{|α000\rangle -|α001\rangle |α101\rangle -|α100\rangle |β011\rangle- |β010\rangle- |β111\rangle |β110\rangle}{2} (|0\rangle|u\rangle-|1\rangle|-u\rangle)|-\rangle2阶段2∣α000⟩−∣α001⟩∣α101⟩−∣α100⟩∣β011⟩−∣β010⟩−∣β111⟩∣β110⟩(∣0⟩∣u⟩−∣1⟩∣−u⟩)∣−⟩ 4阶段∣α000⟩−∣α001⟩∣α100⟩−∣α101⟩−∣β011⟩∣β010⟩∣β110⟩−∣β111⟩2(∣0⟩∣u⟩∣1⟩∣u⟩)∣−⟩4阶段\frac{|α000\rangle -|α001\rangle |α100\rangle -|α101\rangle - |β011\rangle |β010\rangle |β110\rangle- |β111\rangle}{2} (|0\rangle|u\rangle|1\rangle|u\rangle)|-\rangle 4阶段2∣α000⟩−∣α001⟩∣α100⟩−∣α101⟩−∣β011⟩∣β010⟩∣β110⟩−∣β111⟩(∣0⟩∣u⟩∣1⟩∣u⟩)∣−⟩
2阶段公式化简可得
(∣0⟩∣u⟩−∣1⟩∣−u⟩)∣−⟩12∣0⟩(α∣0⟩β∣1⟩)⊗∣−⟩−12∣1⟩(α∣0⟩−β∣1⟩)⊗∣−⟩12(∣0⟩(α∣0⟩β∣1⟩)−∣1⟩(α∣0⟩−β∣1⟩))⊗∣−⟩(|0\rangle|u\rangle-|1\rangle|-u\rangle)|-\rangle\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle(\alpha|0\rangle \beta|1\rangle) \otimes |-\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle) \otimes |-\rangle\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle(\alpha|0\rangle \beta|1\rangle)-|1\rangle(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle))\otimes |-\rangle (∣0⟩∣u⟩−∣1⟩∣−u⟩)∣−⟩21∣0⟩(α∣0⟩β∣1⟩)⊗∣−⟩−21∣1⟩(α∣0⟩−β∣1⟩)⊗∣−⟩21(∣0⟩(α∣0⟩β∣1⟩)−∣1⟩(α∣0⟩−β∣1⟩))⊗∣−⟩
而同理4阶段公式化简可得 12(∣0⟩(α∣0⟩β∣1⟩)∣1⟩(α∣0⟩β∣1⟩))⊗∣−⟩\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle(\alpha|0\rangle \beta|1\rangle)|1\rangle(\alpha|0\rangle \beta|1\rangle))\otimes |-\rangle 21(∣0⟩(α∣0⟩β∣1⟩)∣1⟩(α∣0⟩β∣1⟩))⊗∣−⟩
所以我们可以清楚的看到量子反冲之前当第一个量子位被测量后我们无法得知第二个量子位的信息它仍然是随机的。但是量子反冲之后当第一个量子位被测量时我们可以得知第二个量子位的相位信息。当第一个量子位确定时第二个量子位也被确定了。 ex4) 假设三个量子比特分别为 q1q_1q1, q2q_2q2 和 q3q_3q3并且目标量子比特 q3q_3q3 初始处于状态 ∣u⟩|u\rangle∣u⟩而控制量子比特 q1q_1q1 初始处于状态 (∣0⟩∣1⟩)/2(|0\rangle |1\rangle) / \sqrt{2}(∣0⟩∣1⟩)/2其余量子比特初始处于状态 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩。则该过程可以表达为以下一系列的门操作
将第三个量子比特 q3q_3q3 应用一个 RzR_zRz 旋转门将其相位翻转 180∘180^{\circ}180∘即 Rz(π)∣u⟩−∣u⟩R_z(\pi)|u\rangle -|u\rangleRz(π)∣u⟩−∣u⟩。
将 q1q_1q1 和一个辅助量子比特 q2q_2q2 进行 CNOT 门操作得到状态12(∣0⟩∣0⟩∣1⟩∣1⟩)∣u⟩\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|0\rangle |1\rangle|1\rangle)|u\rangle21(∣0⟩∣0⟩∣1⟩∣1⟩)∣u⟩
将 q2q_2q2 应用一个 HHH 门得到状态12(∣0⟩∣0⟩∣1⟩∣1⟩)12(∣0⟩−∣1⟩)∣u⟩\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|0\rangle |1\rangle|1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)|u\rangle21(∣0⟩∣0⟩∣1⟩∣1⟩)21(∣0⟩−∣1⟩)∣u⟩
将 q2q_2q2 和 q3q_3q3 进行 CNOT 门操作得到状态12(∣0⟩∣0⟩∣1⟩∣1⟩)12(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u′⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|0\rangle |1\rangle|1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)(|u\rangle - |u\rangle)21(∣0⟩∣0⟩∣1⟩∣1⟩)21(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u′⟩) 其中∣u′⟩|u\rangle∣u′⟩ 表示经过 RzR_zRz 门操作后的目标量子比特状态。
将 q1q_1q1 和 q2q_2q2 再次进行 CNOT 门操作得到状态12(∣0⟩∣u⟩−∣1⟩∣u′⟩)12(∣0⟩−∣1⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|u\rangle - |1\rangle|u\rangle) \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)21(∣0⟩∣u⟩−∣1⟩∣u′⟩)21(∣0⟩−∣1⟩)
将 q2q_2q2 再次应用一个 HHH 门得到状态12[(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u′⟩)]\frac{1}{2}[(|0\rangle - |1\rangle)(|u\rangle - |u\rangle)]21[(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u′⟩)]
最后将 q1q_1q1 和 q2q_2q2 进行一次 CNOT 门操作得到状态12[(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u′⟩)]∣0⟩12[(∣0⟩∣1⟩)(∣u⟩∣u′⟩)]∣1⟩\frac{1}{2}[(|0\rangle - |1\rangle)(|u\rangle - |u\rangle)]|0\rangle \frac{1}{2}[(|0\rangle |1\rangle)(|u\rangle |u\rangle)]|1\rangle21[(∣0⟩−∣1⟩)(∣u⟩−∣u′⟩)]∣0⟩21[(∣0⟩∣1⟩)(∣u⟩∣u′⟩)]∣1⟩
我们可以看到最终的状态中第一个量子比特 q1q_1q1 上的相位信息反转了并且通过观察第二个量子比特 q2q_2q2 的状态可以验证这一点。
相位反转与量子振幅放大算法
相位反转和相位反冲是两个不同的概念。相位反转通常是指改变一个量子态中某个比特的相位即在Bloch球的经典视角下绕Z轴旋转一个角度或者在复数表示下将相位取负。相位反转是一种常见的量子门操作可以用于量子计算中的一些算法如量子振幅放大算法。相位反冲是指一个比特的相位被反转后与之相邻的另一个比特的相位也随之发生反转。在量子计算中相位反冲可以用于制备纠缠态和量子错误校正等。 用目标量子比特和一个第三个量子比特构成一个受控门。第三个量子比特的状态为 ∣−⟩|-\rangle∣−⟩即 H∣−⟩∣1⟩H|-\rangle |1\rangleH∣−⟩∣1⟩X∣−⟩∣−⟩X|-\rangle |-\rangleX∣−⟩∣−⟩。 将控制量子比特与第三个量子比特进行 CNOT 门操作。 将第三个量子比特和目标量子比特进行 CNOT 门操作。 再次将控制量子比特和第三个量子比特进行 CNOT 门操作。 α∣0⟩control∣u⟩targetβ∣1⟩control∣u⟩target→α∣0⟩control∣u⟩targetβ∣1⟩control(−1)u∣u⟩targetα|0\rangle_{control}|u\rangle_{target}β|1\rangle_{control}|u\rangle_{target} \rightarrow α|0\rangle_{control}|u\rangle_{target}β|1\rangle_{control}(-1)^u|u\rangle_{target}α∣0⟩control∣u⟩targetβ∣1⟩control∣u⟩target→α∣0⟩control∣u⟩targetβ∣1⟩control(−1)u∣u⟩target 其中α\alphaα 和 β\betaβ 是控制量子比特的两个状态。在这个过程中第三个量子比特的相位翻转被“反弹”回控制量子比特从而将目标量子比特的相位信息传递给控制量子比特。
相位反转phase flip和概率有一定的关系因为在进行相位反转操作时会导致量子态的相位发生改变从而影响到测量时的概率分布。 ∣0⟩control∣u⟩target→∣0⟩control(−1)u∣u⟩target|0\rangle_{control}|u\rangle_{target} \rightarrow |0\rangle_{control}(-1)^u|u\rangle_{target}∣0⟩control∣u⟩target→∣0⟩control(−1)u∣u⟩target
具体来说在量子力学中一个量子态可以表示为幅度和相位的叠加。在测量量子态时它会坍缩为一个确定的状态且不同状态的概率分布由幅度的模长的平方给出。相位反转操作本身不会增加概率因为量子态的模长平方代表的概率在相位反转后不会改变。但是在某些情况下相位反转操作可以通过干涉的方式增加某些测量结果的概率。
量子振幅放大算法
假设有一个黑盒子程序 UUU它能将输入 xxx 映射到输出 f(x)f(x)f(x)其中 fff 是 nnn 比特的布尔函数且保证只有一个 xxx 使得 f(x)1f(x) 1f(x)1。我们的目标是找到这个满足 f(x)1f(x) 1f(x)1 的 xxx。对于经典计算机而言需要进行 2n2^n2n 次计算才能找到这个解但对于量子计算机量子振幅放大算法可以实现在 O(N)O(\sqrt{N})O(N) 次计算内找到这个解其中 N2nN 2^nN2n。
算法的流程如下 初始化对于一个函数f(x)f(x)f(x)我们选择一个初始状态∣s⟩\vert s \rangle∣s⟩和一个目标状态∣t⟩\vert t \rangle∣t⟩并构造一个等概率的叠加态∣ψ⟩1N∑x0N−1∣x⟩\vert \psi \rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x0}^{N-1}\vert x \rangle∣ψ⟩N1∑x0N−1∣x⟩其中NNN是状态的总数。这里我们假设NNN是2n2^n2n其中nnn是量子比特数。
反演操作我们定义一个标记算符UtU_tUt使得对于所有的xxxUt∣x⟩(−1)f(x)∣x⟩U_t\vert x \rangle (-1)^{f(x)}\vert x \rangleUt∣x⟩(−1)f(x)∣x⟩其中f(x)1f(x) 1f(x)1当且仅当xtxtxt否则f(x)0f(x)0f(x)0。我们将标记算符UtU_tUt分解成两个操作首先对于所有的xxx将∣x⟩\vert x \rangle∣x⟩映射到∣x⟩\vert x \rangle∣x⟩或−∣x⟩-\vert x \rangle−∣x⟩上然后将−∣t⟩-\vert t \rangle−∣t⟩映射到∣t⟩\vert t \rangle∣t⟩上。这样我们就得到了一个反演算符UsU_sUs使得Us∣ψ⟩1N∑x0N−1(−1)s(x)∣x⟩U_s \vert \psi \rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x0}^{N-1}(-1)^{s(x)}\vert x \rangleUs∣ψ⟩N1∑x0N−1(−1)s(x)∣x⟩其中s(x)1s(x) 1s(x)1当且仅当x≠tx \neq txt否则s(x)−1s(x) -1s(x)−1。
重复操作我们将反演算符UsU_sUs应用kkk次得到∣ψ′⟩Usk∣ψ⟩\vert \psi \rangle U_s^k \vert \psi \rangle∣ψ′⟩Usk∣ψ⟩。这里kkk的取值应该足够大满足4karcsin1N≈π24k \arcsin \frac{1}{\sqrt{N}} \approx \frac{\pi}{2}4karcsinN1≈2π其中arcsin\arcsinarcsin是反正弦函数。这样可以使得∣ψ′⟩\vert \psi \rangle∣ψ′⟩更加靠近目标状态∣t⟩\vert t \rangle∣t⟩。
测量操作最后我们进行一次测量操作将∣ψ′⟩\vert \psi \rangle∣ψ′⟩映射到某个状态上。由于∣ψ′⟩\vert \psi \rangle∣ψ′⟩更加靠近目标状态∣t⟩\vert t \rangle∣t⟩所以测量结果为∣t⟩\vert t \rangle∣t⟩的概率更大。
