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捕食者-猎物系统的向量场
在第2.1节中#xff0c;我们展示了两个不同捕食者-猎物系统的 R ( t ) R(t) R(t) 和 F ( t ) F(t) F(t) 图形#xff0c;但没有描述我们是如何生成这些图形的。我们将在第2.5节中解决这个问题#xff0c;采用欧拉方法推广到…动力系统的几何分析
捕食者-猎物系统的向量场
在第2.1节中我们展示了两个不同捕食者-猎物系统的 R ( t ) R(t) R(t) 和 F ( t ) F(t) F(t) 图形但没有描述我们是如何生成这些图形的。我们将在第2.5节中解决这个问题采用欧拉方法推广到动力系统构造数值近似解通过引入向量符号我们可以更方便的书写微分方程组同时使用向量更容易建立了一个微分方程系统的几何表示。正如我们在第1章使用斜率场时看到的拥有微分方程的几何表示为理解其解提供了一个方便的方法。
捕食者-食饵系统向量场
回顾捕食者-食饵系统 d R d t 2 R − 1.2 R F \frac{dR}{dt} 2R - 1.2RF dtdR2R−1.2RF d F d t − F 0.9 R F \frac{dF}{dt} -F 0.9RF dtdF−F0.9RF 该系统模拟了两个种群 R R R 和 F F F 随时间 t t t 的演变。上一节中我们研究了两种不同的但相关的方式来可视化这种演变。我们可以将 R ( t ) R(t) R(t) 和 F ( t ) F(t) F(t) 作为 t t t 的函数绘制图形或者我们可以在 R F RF RF 平面上绘制解曲线 ( R ( t ) , F ( t ) ) (R(t), F(t)) (R(t),F(t))。尽管我们可以将 ( R ( t ) , F ( t ) ) (R(t), F(t)) (R(t),F(t)) 视为两个标量函数 R ( t ) R(t) R(t) 和 F ( t ) F(t) F(t) 的组合但如果我们采用不同的方法将会有一些优势。本节我们将函数对 ( R ( t ) , F ( t ) ) (R(t), F(t)) (R(t),F(t)) 视为 R F RF RF 平面上的一个向量函数。
对于每个 t t t令 P ( t ) P(t) P(t) 为向量 P ( t ) ( R ( t ) F ( t ) ) P(t) \begin{pmatrix} R(t) \\ F(t) \end{pmatrix} P(t)(R(t)F(t)) 那么向量值函数 P ( t ) P(t) P(t) 对应于 R F RF RF 平面上的解曲线 ( R ( t ) , F ( t ) ) (R(t), F(t)) (R(t),F(t))。
要计算向量值函数 P ( t ) P(t) P(t) 的导数我们计算每个分量的导数。即 d P d t ( d R d t d F d t ) \frac{dP}{dt} \left( \begin{align*} \frac{dR}{dt} \\ \frac{dF}{dt} \end{align*} \right) dtdP dtdRdtdF 使用这种符号我们可以将捕食者-猎物系统重写为单个向量方程 d P d t ( d R d t d F d t ) ( 2 R − 1.2 R F − F 0.9 R F ) \frac{dP}{dt} \left( \begin{align*} \frac{dR}{dt} \\ \frac{dF}{dt} \end{align*} \right) \begin{pmatrix} 2R - 1.2RF \\ -F 0.9RF \end{pmatrix} dtdP dtdRdtdF (2R−1.2RF−F0.9RF) 到目前为止我们将由两个标量方程组成的一阶系统转换为一个两个分量的向量的单个向量方程。
向量符号的优势
向量符号的优势在于当我们将这个系统的右侧视为一个向量场时开始变得明显。捕食者-猎物系统的右侧是一个函数该函数将每个 R F RF RF 平面上的点分配一个向量。如果我们使用向量 V V V 来表示这个函数我们有 V ( R F ) ( 2 R − 1.2 R F − F 0.9 R F ) . V \begin{pmatrix} R \\ F \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2R - 1.2RF \\ -F 0.9RF \end{pmatrix}. V(RF)(2R−1.2RF−F0.9RF).
例如在点 ( R , F ) ( 2 , 1 ) (R, F) (2, 1) (R,F)(2,1) 处 V ( 2 1 ) ( 2 ( 2 ) − 1.2 ( 2 ) ( 1 ) − ( 1 ) 0.9 ( 2 ) ( 1 ) ) ( 1.6 0.8 ) . V \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2(2) - 1.2(2)(1) \\ -(1) 0.9(2)(1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1.6 \\ 0.8 \end{pmatrix}. V(21)(2(2)−1.2(2)(1)−(1)0.9(2)(1))(1.60.8).
为了节省纸张我们有时将向量垂直书写即“列”向量有时水平书写即“行”向量。垂直符号更符合我们到目前为止写系统的方式而水平符号对树木更友好。无论如何我们总是用粗体字母书写向量以区别于标量。以行向量形式书写捕食者-猎物向量场表示为 V ( R , F ) ( 2 R − 1.2 R F , − F 0.9 R F ) , V(R, F) (2R - 1.2RF, -F 0.9RF), V(R,F)(2R−1.2RF,−F0.9RF), 而 V ( 2 , 1 ) ( 1.6 , 0.8 ) . V(2, 1) (1.6, 0.8). V(2,1)(1.6,0.8).
在之前的计算中点 ( R , F ) ( 2 , 1 ) (R, F) (2, 1) (R,F)(2,1) 并没有特别之处。类似地我们有 V ( 1 , 1 ) ( 0.8 , − 0.1 ) V(1, 1) (0.8, -0.1) V(1,1)(0.8,−0.1) V ( 0.5 , 2.2 ) ( − 0.32 , − 1.21 ) V(0.5, 2.2) (-0.32, -1.21) V(0.5,2.2)(−0.32,−1.21)等等。函数 V ( R , F ) V(R, F) V(R,F) 可以在 R F RF RF 平面上的任何点进行评估。
使用向量使我们可以大大简化符号。我们现在可以非常简洁地写出捕食者-猎物系统为 d P d t V ( P ) . \frac{dP}{dt} V(P). dtdPV(P).
向量符号不仅仅是一种节省墨水的方式。它还为我们提供了一种新的思考和可视化微分方程组的方法。我们可以通过将向量 V ( P ) V(P) V(P) 附加到平面上对应的点 P P P 来绘制向量场 V V V。计算 V ( P ) V(P) V(P) 对于许多不同的 P P P 的值并仔细绘制这些向量在平面上是人类的繁琐工作但正是计算机和计算器擅长的工作。图 2.17 显示了捕食者-猎物向量场 V V V 的几个向量。一般来说我们将这个向量场可视化为一个“场”中的箭头每个箭头以 R F RF RF 平面上的每个点为基点。
简谐振荡器的向量场
在第 2.1 节中我们通过一个二阶微分方程来建模无阻尼质量-弹簧系统的运动其形式为 d 2 y d t 2 k m y 0 , \frac{d^2 y}{dt^2} \frac{k}{m} y 0, dt2d2ymky0, 其中 k k k 是弹簧常数 m m m 是质量。我们还看到这个质量-弹簧系统可以写成一阶系统 { d y d t v , d v d t − k m y , \left\{ \begin{align*} \frac{dy}{dt} v,\\ \frac{dv}{dt} -\frac{k}{m} y, \end{align*} \right. ⎩ ⎨ ⎧dtdyv,dtdv−mky,
其中 v d y d t v \frac{dy}{dt} vdtdy 是质量的速度。特别地当 k / m 1 k/m 1 k/m1 时我们得到了一个特别简单的系统 { d y d t v , d v d t − y , \left\{ \begin{align*} \frac{dy}{dt} v,\\ \frac{dv}{dt} - y, \end{align*} \right. ⎩ ⎨ ⎧dtdyv,dtdv−y,
这个系统特别好的原因之一是其向量场 F ( y , v ) ( v , − y ) F(y, v) (v, -y) F(y,v)(v,−y) 在 y v yv yv 平面中相对容易理解。在绘制了一些向量之后自然会产生一个问题这些向量是否都切向于以原点为中心的圆实际上它们确实是这样的见图 2.18 和练习 20。
尽管计算机可以将绘制向量场的繁琐过程自动化但向量场有一个使其比斜率场更难绘制的方面。按照定义向量场中的向量长度各不相同由方程组决定。一些向量可能非常短而其他一些向量可能非常长。因此如果我们通过在平面上的规则网格上评估向量场来绘制图像我们经常会得到重叠的向量。例如图 2.19 是简单谐振荡器的向量场 F ( y , v ) ( v , − y ) F(y, v) (v, -y) F(y,v)(v,−y) 的绘图。在不进行过多点的绘制之前我们可能就会得到一个基本上无用的图像。
为了避免向量场图像中向量重叠的困惑我们通常将向量缩放到相同的短长度。结果的图像称为与原始向量场相关的方向场。图 2.20 显示了与简单谐振荡器的向量场 F ( y , v ) ( v , − y ) F(y, v) (v, -y) F(y,v)(v,−y) 相关的方向场的绘图。 方向场与向量场
虽然方向场提供的图像比向量场更容易可视化但确实有一些信息丢失。在向量场中向量的长度表示解在通过平面中相应点时的速度。而在方向场中所有关于解速度的信息都丢失了。尽管如此由于方向场在视觉上的优势我们通常愿意接受这种信息丢失。
系统和向量场的示例
一般来说对于一个形式为 d x d t f ( x , y ) \frac{dx}{dt} f(x, y) dtdxf(x,y) d y d t g ( x , y ) , \frac{dy}{dt} g(x, y), dtdyg(x,y), 的系统我们引入向量 Y ( t ) ( x ( t ) , y ( t ) ) Y(t) (x(t), y(t)) Y(t)(x(t),y(t)) 和向量场 F ( Y ) F ( x , y ) ( f ( x , y ) , g ( x , y ) ) . F(Y) F(x, y) (f(x, y), g(x, y)). F(Y)F(x,y)(f(x,y),g(x,y)). 使用这种记号这个两方程的系统可以以紧凑的形式写为 d Y d t ( d x d t d y d t ) ( f ( x , y ) g ( x , y ) ) F ( Y ) , \frac{dY}{dt} \begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(x, y) \\ g(x, y) \end{pmatrix} F(Y), dtdY(dtdxdtdy)(f(x,y)g(x,y))F(Y), 或者更经济地写为 d Y d t F ( Y ) . \frac{dY}{dt} F(Y). dtdYF(Y).
基本但重要的示例
1. 示例系统 d x d t x \frac{dx}{dt} x dtdxx d y d t y \frac{dy}{dt} y dtdyy
这个系统产生了向量场 F ( x , y ) ( x , y ) F(x, y) (x, y) F(x,y)(x,y)向量场中的向量总是直接指向远离原点的方向见图 2.21。
2. 示例系统 d x d t − x \frac{dx}{dt} -x dtdx−x d y d t − y \frac{dy}{dt} -y dtdy−y
这个系统产生了向量场 G ( x , y ) ( − x , − y ) G(x, y) (-x, -y) G(x,y)(−x,−y)向量场中的向量总是指向原点见图 2.22。
向量场和方向场的几何意义
考虑系统 d x d t − x \frac{dx}{dt} -x dtdx−x d y d t − 2 y \frac{dy}{dt} -2y dtdy−2y 产生了向量场 H ( x , y ) ( − x , − 2 y ) H(x, y) (-x, -2y) H(x,y)(−x,−2y)该向量场或多或少地指向原点见图 2.23。我们将很快看到训练有素的眼睛可以区分向量场 G ( x , y ) G(x, y) G(x,y)见图 2.22和向量场 H ( x , y ) H(x, y) H(x,y)见图 2.23之间的重要差异。
解的几何图像
我们可以将向量场或方向场的图像视为微分方程系统的图像并利用这个图像来绘制系统的解曲线。更准确地说考虑一个形式为 d x d t f ( x , y ) \frac{dx}{dt} f(x, y) dtdxf(x,y) d y d t g ( x , y ) \frac{dy}{dt} g(x, y) dtdyg(x,y) 的系统。正如我们所看到的这个系统生成了向量场 F ( x , y ) ( f ( x , y ) , g ( x , y ) ) F(x, y) (f(x, y), g(x, y)) F(x,y)(f(x,y),g(x,y))。令 Y ( t ) ( x ( t ) , y ( t ) ) Y(t) (x(t), y(t)) Y(t)(x(t),y(t))该系统可以用向量方程写成 d Y d t F ( Y ) . \frac{dY}{dt} F(Y). dtdYF(Y).
从几何角度解释这个向量方程是理解这个微分方程系统几何意义的关键。如果我们将解 Y ( t ) ( x ( t ) , y ( t ) ) Y(t) (x(t), y(t)) Y(t)(x(t),y(t)) 视为 x x x- y y y 平面中一条曲线的参数化那么 d Y d t \frac{dY}{dt} dtdY 就表示该曲线的切向量。因此方程 d Y d t F ( Y ) \frac{dY}{dt} F(Y) dtdYF(Y) 表示解曲线的切向量由向量场中的向量给出。
### 从向量场到解曲线的几何解释
这种几何解释的一个后果是我们可以直接从向量场 F F F或其方向场绘制出方程 d Y d t F ( Y ) \frac{dY}{dt} F(Y) dtdYF(Y) 的解曲线而无需知道 F F F 的具体公式见图 2.24 和 2.25。
停车场的隐喻
为了帮助从这种视角可视化系统的解曲线想象一个无限大、完全平坦的停车场。在停车场的每一点上地面上都画有一个箭头。这些箭头来自于向量场 F ( Y ) F(Y) F(Y)。当你在停车场里驾驶时你的指示是要观察地面的箭头并使你的速度向量始终与地上的箭头一致。想象你是一名在封闭停车场中的专业司机。你根据箭头的方向调整方向使汽车沿着箭头的方向行驶并且按箭头的长度调整速度。当你移动时窗外的箭头会改变因此你必须相应地调整汽车的速度和方向。你沿着的路径就是系统的解曲线。事实上正如你将很快看到的你可以仅仅使用这种对向量场的解释来绘制系统的解曲线。做这些练习时请勿发短信。
简谐振子的解曲线
例如在第 2.1 节中我们看到函数 y ( t ) cos t y(t) \cos t y(t)cost 和 v ( t ) − sin t v(t) -\sin t v(t)−sint 满足简谐振子系统 d y d t v \frac{dy}{dt} v dtdyv d v d t − y . \frac{dv}{dt} -y. dtdv−y.
由于 y 2 v 2 1 y^2 v^2 1 y2v21我们知道向量值函数 Y ( t ) ( y ( t ) , v ( t ) ) ( cos t , − sin t ) Y(t) (y(t), v(t)) (\cos t, -\sin t) Y(t)(y(t),v(t))(cost,−sint) 在 y y y- v v v 平面上沿着单位圆以顺时针方向扫过。正如图 2.26 所示这种运动的速度向量与向量场 F ( y , v ) ( v , − y ) F(y, v) (v, -y) F(y,v)(v,−y) 中的向量完全一致。 捕食者-猎物系统的解曲线
在第 2.1 节中我们绘制了系统 d R d t 2 R − 1.2 R F \frac{dR}{dt} 2R - 1.2RF dtdR2R−1.2RF d F d t − F 0.9 R F \frac{dF}{dt} -F 0.9RF dtdF−F0.9RF 的解曲线对应初始条件 ( R 0 , F 0 ) ( 1 , 0.5 ) (R_0, F_0) (1, 0.5) (R0,F0)(1,0.5)。在图 2.27 中我们可以看到解曲线与捕食者-猎物系统中向量场的向量之间的关系。
平衡解
正如在相位线上的特殊点——平衡点一样系统的相位平面中也有一些特殊的点。这些点也对应于常数解。
定义: 如果 F ( Y 0 ) 0 F(Y_0) 0 F(Y0)0那么点 Y 0 Y_0 Y0 是系统 d Y / d t F ( Y ) dY/dt F(Y) dY/dtF(Y) 的平衡点。常数函数 Y ( t ) Y 0 Y(t) Y_0 Y(t)Y0 是平衡解。
平衡点只是系统右侧为零的点。如果 Y 0 Y_0 Y0 是一个平衡点那么常数函数 Y ( t ) Y 0 for all t Y(t) Y_0 \text{ for all } t Y(t)Y0 for all t 是系统的一个解。验证这个说法的方法是常数函数对所有 t t t 都有 d Y / d t ( 0 , 0 ) dY/dt (0, 0) dY/dt(0,0)。另一方面平衡点处 F ( Y ( t ) ) F ( Y 0 ) ( 0 , 0 ) F(Y(t)) F(Y_0) (0, 0) F(Y(t))F(Y0)(0,0)。因此向量场中的平衡点对应于常数解。
计算平衡点
系统 d x d t 3 x y \frac{dx}{dt} 3x y dtdx3xy d y d t x − y \frac{dy}{dt} x - y dtdyx−y 只有一个平衡点即原点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)。要查看原因我们同时解这两个方程 { 3 x y 0 x − y 0 \begin{cases} 3x y 0 \\ x - y 0 \end{cases} {3xy0x−y0 这两个方程是系统右侧的给定方程。将第一个方程加到第二个方程中得到 x 0 x 0 x0然后用任一方程得出 y 0 y 0 y0。如果我们查看这个系统的向量场我们会看到靠近原点的向量相对较短见图 2.28。因此解曲线在经过原点附近时移动较慢。虽然方向场中的所有非零向量定义上都是相同的长度我们仍然可以判断原点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0) 处必须存在平衡点因为方向场中向量的方向在原点附近发生了急剧变化见图 2.29。 当溶液在平衡点附近通过时 d x / d t dx/dt dx/dt 和 d y / d t dy/dt dy/dt 都接近于零。因此 x ( t ) x(t) x(t)- 和 y ( t ) y(t) y(t)- 图在相应的时间间隔内几乎是平的 (见图2.30)。
两个竞争物种的种群模型
为了说明本节介绍的所有概念我们以分析以下系统作为结尾 d x d t 2 x ( 1 − x 2 ) − x y \frac{dx}{dt} 2x \left(1 - \frac{x}{2}\right) - xy dtdx2x(1−2x)−xy d y d t 3 y ( 1 − y 3 ) − 2 x y \frac{dy}{dt} 3y \left(1 - \frac{y}{3}\right) - 2xy dtdy3y(1−3y)−2xy 我们将 x x x 和 y y y 视为竞争同一资源的两种物种的种群。注意如果没有其他因素的干扰每种物种会根据逻辑斯蒂增长模型自行演化。两种物种之间的相互作用通过两个方程中的 x y xy xy 项来建模。例如 y y y 种群对 x x x 的变化率的影响由 d x d t \frac{dx}{dt} dtdx 方程中的项 − x y -xy −xy 决定。这个项是负的因为我们假设这两种物种竞争资源。同样项 − 2 x y -2xy −2xy 决定了 x x x 种群对 y y y 变化率的影响。由于 x x x 和 y y y 代表种群我们将注意力集中在初始条件位于第一象限的解上。
计算平衡点
首先通过将微分方程的右侧设为零来找到平衡点并求解 x x x 和 y y y得到以下方程组 { 2 x ( 1 − x 2 ) − x y 0 3 y ( 1 − y 3 ) − 2 x y 0 \begin{cases} 2x \left(1 - \frac{x}{2}\right) - xy 0 \\ 3y \left(1 - \frac{y}{3}\right) - 2xy 0 \end{cases} {2x(1−2x)−xy03y(1−3y)−2xy0 这些方程可以重写为 { x ( 2 − x − y ) 0 y ( 3 − y − 2 x ) 0 \begin{cases} x \left(2 - x - y\right) 0 \\ y \left(3 - y - 2x\right) 0 \end{cases} {x(2−x−y)0y(3−y−2x)0 第一个方程满足 x 0 x 0 x0 或 2 − x − y 0 2 - x - y 0 2−x−y0第二个方程满足 y 0 y 0 y0 或 3 − y − 2 x 0 3 - y - 2x 0 3−y−2x0。首先假设 x 0 x 0 x0。则 y 0 y 0 y0 的方程得到原点的平衡点而 3 − y − 2 x 0 3 - y - 2x 0 3−y−2x0 的方程得到平衡点 ( 0 , 3 ) (0, 3) (0,3)。现在假设 2 − x − y 0 2 - x - y 0 2−x−y0。则 y 0 y 0 y0 的方程得到平衡点 ( 2 , 0 ) (2, 0) (2,0)而 3 − y − 2 x 0 3 - y - 2x 0 3−y−2x0 的方程得到平衡点 ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1)。同时解方程 2 − x − y 0 2 - x - y 0 2−x−y0 和 3 − y − 2 x 0 3 - y - 2x 0 3−y−2x0。因此平衡点为 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)、 ( 0 , 3 ) (0, 3) (0,3)、 ( 2 , 0 ) (2, 0) (2,0) 和 ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1)。
绘制相图
接下来我们使用方向场来绘制解曲线。为了得到一个好的相图我们必须选择足够的解以看到所有不同类型的解曲线但又不能选择太多的曲线以免图像变得混乱见图 2.31。建议使用计算机或计算器来绘制草图在第 2.5 节中我们将推广欧拉法来数值近似解曲线。注意这个竞争物种模型的相图表明对于大多数初始条件某种物种会消失幸存的种群将稳定下来。 就像我们在第 1 章开始绘制斜率场和解的图形时所做的那样我们应该停下来思考这些草图是否代表了解的真实行为。例如我们如何知道相平面中的不同解曲线不会交叉或触碰正如第 1 章所述答案来自一个关于解唯一性的强大定理。我们将在第 2.5 节中研究这个定理但在此之前你应该假设如果微分方程足够光滑那么不同的解曲线不会交叉或触碰。 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图
正如我们在第 2.1 节中看到的相图只是可视化微分方程系统解的一种方式。通过在相平面中研究解曲线并不能看到关于特定解的所有信息。特别是当我们在相平面中观察解曲线时我们看不到时间变量因此不知道解沿曲线移动的速度。获取时间变量信息的一种方法是观看计算机实时绘制解曲线。另一种方法是查看其 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图。
在图 2.32 中我们可以看到竞争物种模型两个解的 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图。对于左边图形对应的初始条件 x x x 种群在 t 15 t 15 t15 之前不会消失但对于右边图形对应的初始条件 y y y 种群在 t 8 t 8 t8 后基本上已经灭绝。
尽管解曲线和 x ( t ) x(t) x(t) 及 y ( t ) y(t) y(t) 图显示了关于解的不同信息但能够将这两种不同的表示方式联系起来是很重要的。这些特定初始条件下的两个解曲线如图 2.33 所示。从右侧初始条件对应的解曲线中我们可以得出结论该解趋近于平衡点 ( 2 , 0 ) (2, 0) (2,0)。特别是对于这个初始条件 y y y 种群变得灭绝。左侧初始条件的解则趋近于平衡点 ( 0 , 3 ) (0, 3) (0,3)因此 x x x 种群将趋向稳定。
解的长期行为
对于左边图形对应的初始条件我们观察到 x x x 种群最终灭绝。我们在绘制 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图时也观察到了相同的长期行为见图 2.32。
在相平面中我们还注意到左边初始条件对应的解曲线穿过了直线 y x y x yx。换句话说从相平面中的解曲线我们可以从相图中看到在某个时刻 t t t两个种群的数量是相等的。然而要确定这个特定的时刻我们必须参考对应的 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图。同样对于另一个初始条件我们知道 x x x 种群的数量始终大于 y y y 种群的数量。 定量分析
在迄今为止考虑的所有系统中右侧的方程中没有出现自变量。正如我们在第1.6节中所提到的这种属性的系统被称为自守系统autonomous。自守系统的“自守”意味着它是自我管理的因为它的演化完全由依赖变量的值决定。一个重要的几何后果是自守系统相关的向量场仅依赖于依赖变量而不显式地依赖于自变量的值。因此我们在绘制向量场、方向场、解曲线或相位图时无需考虑自变量。
尽管我们将在本章剩余部分以及第3章中继续关注自守系统但许多重要系统是非自守的。我们将在第4章首次遇到非自守系统。在本章接下来的部分中我们将结合几何方法、解析方法和数值方法来补充本节介绍的几何方法。
