哪个网站做自媒体比较好,wordpress iplaysoft,什么网站做装修公司广告比较好,北京自助建站软件以下是对概率期望DP的系统化整合#xff0c;采用理论框架→核心模型→实战技巧→避坑指南的四层结构#xff0c;结合两份资料精华优化而成#xff1a;
一、理论框架#xff08;核心数学工具#xff09;
1. 概率与期望的本质
概率#xff1a;事件发生的可能…以下是对概率期望DP的系统化整合采用理论框架→核心模型→实战技巧→避坑指南的四层结构结合两份资料精华优化而成
一、理论框架核心数学工具
1. 概率与期望的本质
概率事件发生的可能性取值范围 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]。例如掷骰子出现点数为 1 1 1 的概率为 1 / 6 1/6 1/6。期望E随机变量的加权平均值反映长期均值。公式为 E ( X ) ∑ ( x i ⋅ P ( x i ) ) E(X) \sum (x_i \cdot P(x_i)) E(X)∑(xi⋅P(xi))如掷骰子的点数期望为 ( 1 2 3 4 5 6 ) / 6 3.5 (123456)/6 3.5 (123456)/63.5。
2. 期望的线性性质
期望的线性性无论事件是否独立 E [ a X b Y ] a E [ X ] b E [ Y ] E[aX bY] aE[X] bE[Y] E[aXbY]aE[X]bE[Y]
推广 E ( ∑ X i ) ∑ E ( X i ) E(\sum X_i) \sum E(X_i) E(∑Xi)∑E(Xi)该性质常被用于拆分复杂期望为简单期望的和。
应用场景组合期望计算如骰子点数和期望 证明思路利用期望定义式展开求和 E [ X ] ∑ x x ⋅ P ( X x ) E[X] \sum_{x} x \cdot P(Xx) E[X]x∑x⋅P(Xx)
3. 状态转移方程
(1) 通用转移方程
概率 DP d p [ i ] ∑ ( d p [ j ] ⋅ p j → i ) dp[i] \sum (dp[j] \cdot p_{j\to i}) dp[i]∑(dp[j]⋅pj→i)其中 p j → i p_{j\to i} pj→i 是从状态 j j j 转移到 i i i 的概率。期望 DP E [ i ] ∑ ( p j ⋅ ( E [ j ] c i → j ) ) c i E[i] \sum (p_j \cdot (E[j] c_{i\to j})) c_i E[i]∑(pj⋅(E[j]ci→j))ci其中 E [ i ] E[i] E[i] 是状态 i 的期望 p j p_j pj 是转移概率 c i → j c_{i\to j} ci→j 是转移代价 c i c_i ci 是当前状态的固定代价。
特殊处理 边界条件如 E [ n ] 0 E[n]0 E[n]0概率归一化当 ∑ p j 1 \sum p_j 1 ∑pj1时
(2) 典型状态定义案例
骰子爬楼梯问题设 E [ i ] E[i] E[i] 为从第 i i i 级到终点的期望步数则 E [ i ] 1 1 6 ( E [ i 1 ] E [ i 2 ] ⋯ E [ i 6 ] ) ( i n ) , E [ n ] 0 E[i] 1 \frac{1}{6}(E[i1] E[i2] \dots E[i6]) \quad (i n), \quad E[n] 0 E[i]161(E[i1]E[i2]⋯E[i6])(in),E[n]0赌徒破产问题设 (dp[i]) 为有 i 元时赢到 N 元的概率则 d p [ i ] p ⋅ d p [ i 1 ] ( 1 − p ) ⋅ d p [ i − 1 ] , d p [ 0 ] 0 , d p [ N ] 1 dp[i] p \cdot dp[i1] (1-p) \cdot dp[i-1], \quad dp[0] 0, \quad dp[N] 1 dp[i]p⋅dp[i1](1−p)⋅dp[i−1],dp[0]0,dp[N]1
4. 概率 DP 与期望 DP 的区别
概率 DP已知初始状态顺推目标状态的概率如从起点到终点的成功概率。期望 DP倒推求解设 f [ i ] f[i] f[i] 为从状态 i i i 到目标的期望初始时目标状态的期望为 0如到达终点的期望步数。
5. 数学工具箱
高斯消元法处理环形状态依赖如赌徒破产问题生成函数解决复杂递推关系蒙特卡洛验证期望值近似验证误差控制在 1 e − 6 1e-6 1e−6内
二、核心模型经典问题类型
1. 线性无环模型
典型题骰子爬楼梯Codeforces 1237E
从 0 0 0 级出发每次掷 1 − 6 1-6 1−6 点骰子求到达 n n n 级的期望步数。
//迭代优化版:时间复杂度O(n)
double dp[MAXN];
for(int i n-1; i 0; --i){int steps min(6, n-i);double sum 0;for(int j 1; j steps; j)sum dp[ij];dp[i] 1sum/6.0;
}关键优化
前向遍历会导致数据污染逆向遍历保证依赖关系正确
2. 树形期望模型
典型题树上的随机游走AtCoder DP E
在有根树中每个节点等概率走向父节点或子节点求从 u u u 到根的期望步数。
状态转移设 E [ u ] E[u] E[u] 为从 u u u 到根的期望 u u u 的子节点数为 k k k则 E [ u ] 1 1 k 1 E [ p a r e n t ] 1 k 1 ∑ E [ c h i l d ] E[u] 1 \frac{1}{k1}E[parent] \frac{1}{k1}\sum E[child] E[u]1k11E[parent]k11∑E[child]
// 后序遍历实现
inline void dfs(int u, int fa){if(u是叶子){E[u] 0;return;}double sum 0;for(int v: ch[u]){if(v ! fa){dfs(v, u);sum E[v];}}E[u] 1(sumE[fa])/(cnt1);
}关键特性
子节点期望值优先计算父节点期望值作为中间变量
3. 环形依赖模型
典型题赌徒破产问题数学解法
当状态转移方程形成环如 E [ i ] E[i] E[i] 依赖 E [ i − 1 ] E[i-1] E[i−1] 和 E [ i 1 ] E[i1] E[i1]需建立线性方程组求解。 解法将递推式转化为 a i E [ i − 1 ] b i E [ i ] c i E [ i 1 ] d i a_iE[i-1] b_iE[i] c_iE[i1] d_i aiE[i−1]biE[i]ciE[i1]di通过高斯消元解方程组。
// 当p ≠ q时通解公式
inline double solve(int i, int N, double p){double q 1-p;return (pow(q/p, i)-1) / (pow(q/p, N)-1);
}数学推导
建立差分方程 E [ i ] p E [ i 1 ] q E [ i − 1 ] 1 E[i] pE[i1] qE[i-1] 1 E[i]pE[i1]qE[i−1]1特解通解法求解边界条件代入求系数
三、实战技巧代码优化策略与应用
1. 空间优化
滚动数组
double prev, curr;
for(int in-1; i0; --i){curr 1;for(int j1; j6; j)curr prev;curr / 6.0;prev curr;
}记忆化递归适用于小状态空间通过缓存避免重复计算。迭代 DP逆向递推如从 n n n 到 0 0 0时间复杂度更低。
适用场景状态只依赖相邻有限步
2. 精度控制
误差消除技巧
// 双精度校验
double a 1.0/3.0 1.0/3.0 1.0/3.0;
assert(fabs(a - 1.0) 1e-9);高精度方案
#include boost/multiprecision/cpp_dec_float.hpp
using dec cpp_dec_float_50;状态压缩用滚动数组将 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 压缩为 d p [ j ] dp[j] dp[j]节省空间。
3. 概率归一化
// 动态归一化处理
double total 0.0;
for(auto [to, p] : transitions)total p;
for(auto [to, p] : transitions)p / total;4. 高斯消元模板环形模型
// 解n元一次方程组Axb
void gauss(vectorvectordouble A, vectordouble b) {int n A.size();for (int i 0; i n; i) {// 选主元int maxr i;for (int j i1; j n; j) if (fabs(A[j][i]) fabs(A[maxr][i])) maxr j;swap(A[i], A[maxr]); swap(b[i], b[maxr]);// 消元double div A[i][i];for (int j i; j n; j) A[i][j] / div;b[i] / div;for (int j 0; j n; j) if (j ! i fabs(A[j][i]) 1e-12) {double mul A[j][i];for (int k i; k n; k) A[j][k] - mul * A[i][k];b[j] - mul * b[i];}}
}5. 典型应用场景
网格路径 E [ i ] [ j ] 1 p u p E [ i − 1 ] [ j ] p d o w n E [ i 1 ] [ j ] p l e f t E [ i ] [ j − 1 ] p r i g h t E [ i ] [ j 1 ] E[i][j] 1 p_upE[i-1][j] p_downE[i1][j] p_leftE[i][j-1] p_rightE[i][j1] E[i][j]1pupE[i−1][j]pdownE[i1][j]pleftE[i][j−1]prightE[i][j1]博弈问题先手取最大值后手取最小值如 E max / m i n ( ∑ p k E k ) E \max/min(\sum p_kE_k) Emax/min(∑pkEk)随机游走数轴上左右移动求到达边界的期望时间
四、避坑指南常见错误解析
1. 状态转移方向错误
正向遍历导致未计算的状态被访问应逆向递推。
// 错误示例正向遍历导致数据污染
for(int i0; in; i) // ❌dp[i] ... dp[i1];
// 正确写法逆向遍历
for(int in-1; i0; --i) // ✅dp[i] ... dp[i1];2. 边界条件遗漏
未处理终止状态如 E [ n ] 0 E[n] 0 E[n]0 必须显式定义。
// 必须显式处理的边界情况
if(pos target return 0; // 终止条件
if(pos 0 || pos n) return INF; // 无效状态3. 概率未归一化
转移概率和不为 1 1 1 时未除以总和如 d p [ i ] p 1 E 1 p 2 E 2 dp[i] p1E1 p2E2 dp[i]p1E1p2E2 需改为 ( p 1 E 1 p 2 E 2 ) / ( p 1 p 2 ) (p1E1 p2E2)/(p1p2) (p1E1p2E2)/(p1p2)。
// 错误概率计算
double p1 0.3, p2 0.3;
double E p1*E1 p2*E2; // ❌ 总概率0.6
// 正确处理
double E (p1*E1 p2*E2) / (p1p2); // ✅4. 调试技巧
状态可视化打印 d p [ i ] dp[i] dp[i] 的递推过程检查转移是否符合预期。收敛性检查迭代更新时判断前后两次结果差是否小于 1 e − 12 1e-12 1e−12确保算法收敛。
五、综合案例完整代码
题目Codeforces 2183 - Expected XOR
#include iostream
#include algorithm
#define int long long
using namespace std;
const int N 1e59;double dp[N][2];
inlinre double solve(int pos, bool has_xor){if(pos 0) return has_xor ? 1.0 : 0.0;if(dp[pos][has_xor] 0) return dp[pos][has_xor];double res 0.0;//模拟两种操作的概率转移res 0.5*solve(pos-1, has_xor^1);res 0.5*solve(pos-1, has_xor);return dp[pos][has_xor] res;
}
signed main(void){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr)int n;cin n;memset(dp, -1, sizeof(dp));cout fixed setprecision(10) solve(n, false) \n;return 0;
}随机游走问题
问题质点从 0 0 0 出发每秒以 0.5 0.5 0.5 概率左右移动求首次到达 N N N 或 − M - M −M 的期望时间。 状态转移 E [ i ] 1 0.5 E [ i − 1 ] 0.5 E [ i 1 ] E[i] 1 0.5E[i-1] 0.5E[i1] E[i]10.5E[i−1]0.5E[i1]边界 E [ N ] E [ − M ] 0 E[N] E[-M] 0 E[N]E[−M]0。 代码实现
double dp[2005];
inline double dfs(int i){if(i N || i -M) return 0;if(dp[i] 0) return dp[i];return dp[i] 10.5*dfs(i1)0.5*dfs(i-1);
}六、训练路线从入门到精通
基础阶段3天 掌握线性无环模型3道经典题重点训练骰子问题、随机游走工具洛谷P1983、Codeforces Div2 B 进阶阶段5天 树形DP与环形DP5道题重点训练树上的概率、高斯消元应用工具AtCoder DP E、CSES 2183 实战阶段7天 综合题型训练10道题重点突破期望最值、组合概率工具Codeforces 1237E、AtCoder DP F
七、数学工具箱进阶必备
生成函数法
//求解递推式 E[n] pE[n1] qE[n-1]
生成函数 G(x) Σ E[n]x^n
通过生成函数方程求解闭合式矩阵快速幂
//环形状态快速转移
struct Matrix{vectorvectordouble mat;Matrix operator*(const Matrix other){//实现矩阵乘法}
};蒙特卡洛验证
inline double monte_carlo(int trials){mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());double sum 0;for(int i 0; i trials; i){sum simulate(rng);}return sum/trials;
}八、常见误区认知误区解析
“概率问题必须用DP” 反例对称性问题的数学解法如赌徒破产问题启示先尝试数学方法再考虑DP “状态转移必须显式写出” 反例线性方程组直接求解如环形问题工具Gauss-Jordan消元法时间复杂度O(n^3) “期望问题必须精确计算” 替代方案蒙特卡洛置信区间适用于大状态空间
九、学习资源精选推荐
算法竞赛 书籍《概率与期望算法竞赛指南》Steven Halim题库Codeforces标签#probabilistic-dp精选50题 数学理论 论文Markov Chain Monte CarloMCMC基础在线课程MIT 6.042J/18.062J概率与线性代数 工程实践 工具库Boost.Random高精度随机数生成框架TensorFlow Probability概率编程
十、扩展阅读高级主题
马尔可夫链 状态转移矩阵的构建与求解 蒙特卡洛验证 //生成随机样本验证期望值double monte_carlo(int trials){double sum 0;for(int i 0; i trials; i){sum simulate();}return sum/trials;}生成函数方法 将递推式转换为生成函数进行解析求解 学习建议
每周保持3-5道相关题目训练重点突破高斯消元法和生成函数使用Valgrind检测概率计算中的精度问题建立错题本记录典型错误模式 典型题单
P3232 [HNOI2013] 游走 //Codeforces 1237E骰子爬楼梯AtCoder DP E树形随机游走CSES 2183期望XOR洛谷P8774甲壳虫爬行问题CF280C盾牌选择问题 通过系统化训练建议在3-4周内达到算法竞赛中概率期望DP问题的稳定AC水平。 1. 进阶步骤
手写推导简单问题如骰子问题的转移方程。用调试工具观察状态转移过程。将经典 DP 问题如背包改造为概率版本。刷题训练Codeforces 1237E、CSES 2183、AtCoder DP Contest E、洛谷 P1983。
2. 推荐资料
马尔可夫链与状态转移矩阵蒙特卡洛模拟验证期望生成函数与递推式解析求解 通过系统掌握概率期望 DP可将随机问题转化为确定性递推结合数学推导与编程实践逐步提升对概率建模和状态转移的敏感度。
