专业做招聘网站,网站做cdn需要多少钱,青海省建设厅网站备案资料,软件开发项目管理系统解决方案李代数与李群的关系 R ˙ R T \dot{R}R^{T} R˙RT 是一个反对称矩阵#xff0c;所以这个矩阵可以用一个13向量进行反对称来表示 R ˙ R T Φ ^ \dot{R}R^{T}Φ^{\hat{}} R˙RTΦ^ #xff0c; 根据十四讲 4.8 的推导#xff0c;最后则有 R ( t ) ˙ Φ ^ ⋅ R ( t ) \d…李代数与李群的关系 R ˙ R T \dot{R}R^{T} R˙RT 是一个反对称矩阵所以这个矩阵可以用一个1×3向量进行反对称来表示 R ˙ R T Φ ^ \dot{R}R^{T}Φ^{\hat{}} R˙RTΦ^ 根据十四讲 4.8 的推导最后则有 R ( t ) ˙ Φ ^ ⋅ R ( t ) \dot{R(t)}Φ^{\hat{}}·R(t) R(t)˙Φ^⋅R(t) 这个李代数 Φ Φ Φ 反映了 R R R 的导数性质所以李代数是李群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3) 的正切空间因为这里李群是9维的所以切向量也是一个空间
李代数由一个方向和夹角构成 Φ θ a ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ 1 Φθa||\vec{a}||1 Φθa∣∣a ∣∣1 指数映射也是罗德里格斯公式 e x p ( Φ ∧ ) e x p ( θ a ∧ ) c o s θ I ( 1 − c o s θ ) a a T s i n θ a ∧ R exp(Φ^{\wedge})exp(θa^{\wedge})cosθI(1-cosθ)aa^{T}sinθa^{\wedge}R exp(Φ∧)exp(θa∧)cosθI(1−cosθ)aaTsinθa∧R e x p ( Φ ∧ ) R exp(Φ^{\wedge})R exp(Φ∧)R 意思就是李代数 Φ Φ Φ 可以由角度 θ θ θ 和方向向量 a ⃗ \vec{a} a 表示通过罗德里格斯公式可以变换成对应的旋转矩阵 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)
用李代数表示旋转会有个问题就是周期性就是多个李代数可以对应一个旋转矩阵如果固定旋转角度在±π时就是唯一对应的
由旋转矩阵 R R R 求李代数 Φ Φ Φ θ a r c c o s t r ( R ) − 1 2 , R a a θarccos\frac{tr(R)-1}{2},Raa θarccos2tr(R)−1,Raa由 l n ( R ) ∨ Φ ln(R)^{\vee}Φ ln(R)∨Φ 表示
BCH一阶线性近似表达 l n ( e x p ( ϕ 1 ∧ ) e x p ( ϕ 2 ∧ ) ) ∨ ln(exp(\phi^{\wedge}_{1})exp(\phi^{\wedge}_{2}))^{\vee} ln(exp(ϕ1∧)exp(ϕ2∧))∨
当左边的 ϕ 1 \phi_{1} ϕ1 为小量时此时相当于左乘则 J l ( ϕ 2 ) − 1 ϕ 1 ϕ 2 J_{l}(\phi_{2})^{-1}\phi_{1}\phi_{2} Jl(ϕ2)−1ϕ1ϕ2 其实就是相当于在 ϕ 2 \phi_{2} ϕ2 的基础上加上微量 J l ( ϕ 2 ) − 1 ϕ 1 J_{l}(\phi_{2})^{-1}\phi_{1} Jl(ϕ2)−1ϕ1
当右边的 ϕ 2 \phi_{2} ϕ2 为小量时此时相当于右乘则 J l ( ϕ 1 ) − 1 ϕ 2 ϕ 1 J_{l}(\phi_{1})^{-1}\phi_{2}\phi_{1} Jl(ϕ1)−1ϕ2ϕ1
SLAM中我们构建了与位姿相关的函数后需要讨论该函数对位姿的求导以估计当前值 有两种方法求导 1、用李代数表示位姿根据李代数加法对李代数求导 2、对李群进行左乘或右乘进行扰动对扰动求导
由于使用李代数求导要计算 雅可比 J J J 这个形式比较复杂工程中不用这个方法都是用扰动模型所以只看扰动模型 ∂ ( R p ) ∂ φ l i m φ → 0 e x p ( φ ∧ ) e x p ( ϕ ∧ ) p − e x p ( ϕ ∧ ) p φ \frac{\partial(Rp)}{\partial\varphi}lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{exp(\varphi^{\wedge})exp(\phi^{\wedge})p-exp(\phi^{\wedge})p}{\varphi} ∂φ∂(Rp)limφ→0φexp(φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p e x p ( φ ∧ ) exp(\varphi^{\wedge}) exp(φ∧) 是微量相当于是对旋转的导数则等于 ( I φ ∧ ) (I\varphi^{\wedge}) (Iφ∧) 具体推导如下 左乘扰动求导 这里是旋转 R R R 对向量 p p p 进行旋转不停地左乘扰动来改变向量 p p p 的方向左扰动 Δ R \Delta{R} ΔR 对应的李代数 φ \varphi φ R p Rp Rp 的结果也是向量 ∂ ( R p ) ∂ φ l i m φ → 0 e x p ( φ ∧ ) e x p ( ϕ ∧ ) p − e x p ( ϕ ∧ ) p φ \frac{\partial(Rp)}{\partial\varphi}lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{exp(\varphi^{\wedge})exp(\phi^{\wedge})p-exp(\phi^{\wedge})p}{\varphi} ∂φ∂(Rp)limφ→0φexp(φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p l i m φ → 0 ( I φ ∧ ) e x p ( ϕ ∧ ) p − e x p ( ϕ ∧ ) p φ lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{(I\varphi^{\wedge})exp(\phi^{\wedge})p-exp(\phi^{\wedge})p}{\varphi} limφ→0φ(Iφ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p 乘进去相减很明显 l i m φ → 0 φ ∧ R p φ lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{\varphi^{\wedge}Rp}{\varphi} limφ→0φφ∧Rp
叉乘有一个性质 a ⃗ × b ⃗ − b ⃗ × a ⃗ \vec{a}×\vec{b}-\vec{b}×\vec{a} a ×b −b ×a a ⃗ × b ⃗ a ∧ ⋅ b \vec{a}×\vec{b}a^{\wedge}·b a ×b a∧⋅b − b ⃗ × a ⃗ − b ∧ ⋅ a -\vec{b}×\vec{a}-b^{\wedge}·a −b ×a −b∧⋅a
则上式等于 l i m φ → 0 − ( R p ) ∧ φ φ lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{-(Rp)^{\wedge}\varphi}{\varphi} limφ→0φ−(Rp)∧φ 约掉 φ \varphi φ 则 l i m φ → 0 − ( R p ) ∧ lim_{\varphi\rightarrow0}-(Rp)^{\wedge} limφ→0−(Rp)∧ 这里省去了雅可比 J J J 的计算 对右乘也是一样的方法
矩阵转置的性质 ( A B ) T A T B T (AB)^{T}A^{T}B^{T} (AB)TATBT ( λ A ) T λ A T (\lambda{A})^{T}\lambda{A^{T}} (λA)TλAT ( A B ) T B T A T (AB)^{T}B^{T}A^{T} (AB)TBTAT
SO(3)的伴随性质 R T E x p ( ϕ ) R E x p ( R T ϕ ) R^{T}Exp(\phi)RExp(R^{T}\phi) RTExp(ϕ)RExp(RTϕ) ϕ \phi ϕ 为扰动量 Δ R \Delta{R} ΔR 对应的李代数
对复合旋转进行求导 ∂ L o g ( R 1 R 2 ) ∂ R 1 \frac{\partial Log(R_{1}R_{2})}{\partial R_{1}} ∂R1∂Log(R1R2)
这里是对两个相乘的旋转矩阵中的其中一个旋转进行求导上面的左乘扰动例子是对矩阵相乘向量进行求导的所以可以直接对矩阵进行扰动
但是这里不能直接对矩阵 S O ( 3 ) SO(3) SO(3) 进行扰动不能直接说 R 1 R 2 R_{1}R_{2} R1R2 对 R 1 R_{1} R1 或 R 2 R_{2} R2 的导数这样就变成矩阵对向量的求导因为扰动量是可以用向量表示的前面的例子 R p Rp Rp 相乘后也是个向量所以可以直接对扰动量进行求导但是这里两个矩阵相乘还是矩阵所以得用 L o g Log Log 将矩阵相乘结果变为李代数这样才符合求导的定义 L o g ( R ) l o g ( R ) ∨ Log(R)log(R)^{\vee} Log(R)log(R)∨用 L o g Log Log 就是为了懒得写 ∨ \vee ∨
对 R 1 R_{1} R1 进行右扰动 ∂ L o g ( R 1 R 2 ) ∂ R 1 l i m φ → 0 L o g ( R 1 E x p ( ϕ ) R 2 ) − L o g ( R 1 R 2 ) ϕ \frac{\partial Log(R_{1}R_{2})}{\partial R_{1}}lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{Log(R_{1}Exp(\phi)R_{2})-Log(R_{1}R_{2})}{\phi} ∂R1∂Log(R1R2)limφ→0ϕLog(R1Exp(ϕ)R2)−Log(R1R2) 推导明天再写了
