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本文介绍了蒙特卡洛积分算法的基本原理和其误差计算。
二、蒙特卡洛积分介绍
1. 介绍
蒙特卡洛积分算法是一种数值积分算法#xff0c;用于对复杂函数进行积分。 例如#xff0c;对于目标积分函数#xff1a; ∫ a b f ( x ) d x (1) \int_{a}^{b}f(x)\rm{d}x…一、简介
本文介绍了蒙特卡洛积分算法的基本原理和其误差计算。
二、蒙特卡洛积分介绍
1. 介绍
蒙特卡洛积分算法是一种数值积分算法用于对复杂函数进行积分。 例如对于目标积分函数 ∫ a b f ( x ) d x (1) \int_{a}^{b}f(x)\rm{d}x \tag{1} ∫abf(x)dx(1) 其中 f ( x ) f(x) f(x)很复杂无法找到解析解。我们可以在 f ( x ) f(x) f(x)的定义域 [ a , b ] [a,b] [a,b]上按照任意的概率密度函数 p ( x ) p(x) p(x)进行采样。并统计采样的随机变量的样本期望 F N 1 N ∑ i 1 N f ( x i ) p ( x i ) (2) F_N \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N}\frac{f(x_{i})}{p(x_{i})} \tag{2} FNN1i1∑Np(xi)f(xi)(2) 可以保证 E ( F N ) ∫ a b f ( x ) d x (3) E(F_N)\int_{a}^{b}f(x)\rm{d}x \tag{3} E(FN)∫abf(x)dx(3)
2. 证明
下面证明公式(3)的正确性 E ( F N ) E ( 1 N ∑ i 1 N f ( x i ) p ( x i ) ) 1 N ∑ i 1 i N E ( f ( x i ) p ( x i ) ) E(F_N) E(\frac{1}{N}\sum_{i1}^{N}\frac{f(x_{i})}{p(x_{i})}) \\ \frac{1}{N}\sum_{i1}^{iN}E(\frac{f(x_i)}{p(x_{i})}) E(FN)E(N1i1∑Np(xi)f(xi))N1i1∑iNE(p(xi)f(xi)) 我们令 g ( x ) f ( x ) p ( x ) g(x)\frac{f(x)}{p(x)} g(x)p(x)f(x)那么 E ( F N ) 1 N ∑ i 1 i N E ( g ( x ) ) 1 N ∗ N ∗ ∫ g ( x ) ∗ p ( x ) d x ∫ g ( x ) ∗ p ( x ) d x ∫ f ( x ) d x (4) E(F_N)\frac{1}{N}\sum_{i1}^{iN}E(g(x)) \\ \frac{1}{N}*N* \int_{}^{}g(x)*p(x){\rm{d}x} \\ \int{g(x)*p(x)}{\rm{d}}x \\ \int{f(x)}{\rm{d}x} \tag{4} E(FN)N1i1∑iNE(g(x))N1∗N∗∫g(x)∗p(x)dx∫g(x)∗p(x)dx∫f(x)dx(4) 求证得证。
三、蒙特卡洛积分方差
蒙特卡洛积分算法的收敛程度可以适用其方差标准差表示。若其方差收敛速度很快说明该算法可以适用较少的采样值得到较高的积分精度反则反之。下面对蒙特卡积分算法的方差和标准差进行计算。 下面计算蒙特卡洛积分算法的方差 δ 2 ( F N ) δ 2 ( 1 N ∗ ∑ i 1 1 N ( f ( x ) p ( x ) ) ) (5) \delta^{2}(F_N) \delta^{2}(\frac{1}{N}*\sum_{i1}^{1N}(\frac{f(x)}{p(x)})) \tag{5} δ2(FN)δ2(N1∗i1∑1N(p(x)f(x)))(5) 根据方差的性质 δ 2 ( c ∗ X ) c 2 ∗ δ 2 ( X ) δ 2 ( a ∗ X b ∗ Y ) a 2 δ 2 ( X ) b 2 δ 2 ( Y ) 2 a b ∗ C O V ( X , Y ) (6) \delta^{2}(c*X) c^{2}*\delta^{2}(X) \\ \delta^{2}(a*Xb*Y)a^2\delta^{2}(X)b^2\delta^{2}(Y)2ab*COV(X,Y) \tag{6} δ2(c∗X)c2∗δ2(X)δ2(a∗Xb∗Y)a2δ2(X)b2δ2(Y)2ab∗COV(X,Y)(6) 又因为采样的随机变量 x i x_i xi相互独立因此 δ 2 ( F N ) δ 2 ( 1 N ∗ ∑ i 1 1 N ( f ( x ) p ( x ) ) ) 1 N 2 ∗ ∑ i 1 i N δ 2 ( f ( x ) p ( x ) ) 1 N ∗ δ 2 ( f ( x ) p ( x ) ) (7) \delta^{2}(F_N) \delta^{2}(\frac{1}{N}*\sum_{i1}^{1N}(\frac{f(x)}{p(x)})) \\ \frac{1}{N^2}*\sum_{i1}^{iN}\delta^{2}(\frac{f(x)}{p(x)}) \\ \frac{1}{N}*\delta^{2}(\frac{f(x)}{p(x)}) \tag{7} δ2(FN)δ2(N1∗i1∑1N(p(x)f(x)))N21∗i1∑iNδ2(p(x)f(x))N1∗δ2(p(x)f(x))(7) 工具公式(7)可知蒙特卡罗积分方法的方差与采样数 N N N成反比与 δ 2 ( f ( x ) p ( x ) ) \delta^{2}(\frac{f(x)}{p(x)}) δ2(p(x)f(x))成正比。 为了得到更为准确的结果一方面我们可以增加采样数即增大 N N N。 另一方面我们可以尽可能地令 δ 2 ( f ( x ) p ( x ) ) \delta^{2}(\frac{f(x)}{p(x)}) δ2(p(x)f(x))小一些由于 f ( x ) f(x) f(x)是我们待求的积分函数无法进行修改因此我们可以寻找一个概率密度函数 p ( x ) p(x) p(x)使得 f ( x ) p ( x ) \frac{f(x)}{p(x)} p(x)f(x)的方差尽可能的小。
四、蒙特卡洛积分与差分积分
蒙特卡洛积分和差分积分都是数值积分方法。 与差分积分方法相比蒙特卡洛方法的计算复杂度与维度无关。它通过随机采样的方式估计积分值即使维度增加样本点的生成和积分估计的计算量并不会指数级增长。这意味着蒙特卡洛方法在高维问题中仍然保持高效具有稳定的性能。 而在差分积分方法中每增加一个维度划分的区域数量会大幅增加使得差分积分方法的计算复杂度呈指数级增长。
