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麦克劳林公式及其近似表示的应用误差估计和分析
Lagrange型泰勒公式的估计误差
由Lagrange型余项泰勒公式可知,多项式 p n ( x ) p_n(x) pn(x)近似表达函数 f ( x ) f(x) f(x)时,其误差为 ∣ R n ( x ) ∣ |R_{n}(x)| ∣Rn(x)∣ R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x) f …abstract
麦克劳林公式及其近似表示的应用误差估计和分析
Lagrange型泰勒公式的估计误差
由Lagrange型余项泰勒公式可知,多项式 p n ( x ) p_n(x) pn(x)近似表达函数 f ( x ) f(x) f(x)时,其误差为 ∣ R n ( x ) ∣ |R_{n}(x)| ∣Rn(x)∣ R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x) f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! ( x − x 0 ) n 1 \frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1} (n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1,( ξ \xi ξ在 x 0 x_0 x0和 x x x之间)(R1)
误差估计式
若对于某个固定的 n n n,当 x ∈ U ( x 0 ) x\in{U(x_0)} x∈U(x0)邻域时, ∣ f ( n 1 ) ( x ) ∣ ⩽ M |f^{(n1)}(x)|\leqslant{M} ∣f(n1)(x)∣⩽M(函数 f ( n 1 ) ( x ) f^{(n1)}(x) f(n1)(x)在邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内局部有界),则可以估计误差的上限(记为 R M R_{M} RM): M M M不一定是常数,可能是函数 M ( x ) M(x) M(x) 例如 f ( x ) e x f(x)e^{x} f(x)ex,其 ∣ f ( n 1 ) ( x ) ∣ |f^{(n1)}(x)| ∣f(n1)(x)∣ ∣ e x ∣ ⩽ e ∣ x ∣ |e^{x}|\leqslant{e^{|x|}} ∣ex∣⩽e∣x∣ 进行不等式放大: ∣ R n ( x ) ∣ ⩽ M ( n 1 ) ! ∣ x − x 0 ∣ n 1 |R_n(x)|\leqslant{\frac{M}{(n1)!}|x-x_0|^{n1}} ∣Rn(x)∣⩽(n1)!M∣x−x0∣n1 R M R_{M} RM(0);该公式给出了估计误差的一个上限
麦克劳林(Maclaurin)公式 在Peano型泰勒公式中, f ( x ) f(x) f(x) p n ( x ) R n ( x ) p_n(x)R_n(x) pn(x)Rn(x)(1) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 ⋯ f(x_0)f(x_0)(x-x_0)\frac{1}{2!}f(x_0)(x-x_0)^2\cdots f(x0)f′(x0)(x−x0)2!1f′′(x0)(x−x0)2⋯ 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n} n!1f(n)(x0)(x−x0)n R n ( x ) R_n(x) Rn(x) ∑ k 0 n 1 k ! f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k \sum_{k0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k} ∑k0nk!1f(k)(x0)(x−x0)k R n ( x ) R_n(x) Rn(x)(2) 若取 x 0 0 x_00 x00则 带有Peano余项的Taylor公式表示为 f ( x ) f(x) f(x) ∑ k 0 n 1 k ! f ( k ) ( 0 ) ( x ) k \sum_{k0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)(x)^{k} ∑k0nk!1f(k)(0)(x)k o ( ( x ) n ) o((x)^{n}) o((x)n) f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 f(0)f(0)x\frac{1}{2!}f(0)x^2 f(0)f′(0)x2!1f′′(0)x2 ⋯ \cdots ⋯ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n n!1f(n)(0)xn o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)(3) 此时公式也称为:带有Peano余项的Maclaurin公式, 带有Lagrange余项的Taylor公式 R n ( x ) ∣ x 0 0 R_{n}(x)|_{x_00} Rn(x)∣x00 f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! x n 1 \frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}x^{n1} (n1)!f(n1)(ξ)xn1,( ξ \xi ξ在 x 0 x_0 x0和 x x x之间)若令 ξ θ x \xi\theta{x} ξθx, ( θ ∈ ( 0 , 1 ) ) (\theta\in(0,1)) (θ∈(0,1)),则 R n ( x ) ∣ x 0 0 R_{n}(x)|_{x_00} Rn(x)∣x00 f ( n 1 ) ( θ x ) ( n 1 ) ! x n 1 \frac{f^{(n1)}(\theta x)}{(n1)!}x^{n1} (n1)!f(n1)(θx)xn1, ( θ ∈ ( 0 , 1 ) ) (\theta\in(0,1)) (θ∈(0,1))(R2) f ( x ) f(x) f(x) ∑ k 0 n 1 k ! f ( k ) ( 0 ) ( x ) k \sum_{k0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)(x)^{k} ∑k0nk!1f(k)(0)(x)k f ( n 1 ) ( θ x ) ( n 1 ) ! x n 1 \frac{f^{(n1)}(\theta x)}{(n1)!}x^{n1} (n1)!f(n1)(θx)xn1 即 f ( x ) f(x) f(x) f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 f(0)f(0)x\frac{1}{2!}f(0)x^2 f(0)f′(0)x2!1f′′(0)x2 ⋯ \cdots ⋯ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n n!1f(n)(0)xn f ( n 1 ) ( θ x ) ( n 1 ) ! x n 1 \frac{f^{(n1)}(\theta x)}{(n1)!}x^{n1} (n1)!f(n1)(θx)xn1(4)
麦克劳林近似公式
Maclaurin多项式: p n ( x ) ∣ x 0 0 p_{n}(x)|_{x_00} pn(x)∣x00 ∑ k 0 n 1 k ! f ( k ) ( 0 ) ( x ) k \sum_{k0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)(x)^{k} ∑k0nk!1f(k)(0)(x)k f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 f(0)f(0)x\frac{1}{2!}f(0)x^2 f(0)f′(0)x2!1f′′(0)x2 ⋯ \cdots ⋯ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n n!1f(n)(0)xnMaclaurin近似公式: f ( x ) ≈ p n ( x ) ∣ x 0 0 f(x)\approx{p_{n}(x)|_{x_00}} f(x)≈pn(x)∣x00此时,误差估计式写成 ∣ R n ( x ) ∣ ⩽ M ( n 1 ) ! ∣ x ∣ n 1 |R_{n}(x)|\leqslant{\frac{M}{(n1)!}|x|^{n1}} ∣Rn(x)∣⩽(n1)!M∣x∣n1
小结 被逼近函数逼近函数误差 被逼近函数可以用逼近函数 p n ( x ) p_n(x) pn(x)来估计,该估计的误差可以用 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)来估计 从余项和误差估计式可以看出,对于给定的泰勒公式 f ( x ) p n ( x ) R n ( x ) f(x)p_{n}(x)R_{n}(x) f(x)pn(x)Rn(x) 为了体现近似源 x 0 x_0 x0,可写成 f ( x , x 0 ) p n ( x , x 0 ) R n ( x , x 0 ) f(x,x_0)p_{n}(x,x_0)R_{n}(x,x_0) f(x,x0)pn(x,x0)Rn(x,x0),用该公式中的 p n ( x , x 0 ) p_n(x,x_0) pn(x,x0)来估计 f ( x ) f(x) f(x)的取值当 x x x离 x 0 x_0 x0越远,( ∣ x − x 0 ∣ |x-x_0| ∣x−x0∣越大),则估计误差 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn(x)∣越大: ∣ f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! ( x − x 0 ) n 1 ∣ |\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1}| ∣(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1∣为了提高精度,可以提高 n n n的大小 因为误差式中有一个分母 ( n 1 ) ! (n1)! (n1)!阶乘的增长速度快于指数 ( x − x 0 ) n 1 (x-x_0)^{n1} (x−x0)n1(通过求极限可以证明,即使 x − x 0 x-x_0 x−x0不变,只要使得, n → ∞ n\to{\infin} n→∞时,就有 R M → 0 R_{M}\to{0} RM→0,从而 ∣ R n ( x ) ∣ → 0 |R_n(x)|\to{0} ∣Rn(x)∣→0) 泰勒公式 n n n阶逼近的方法和一般的逼近手段不同,例如一阶微分逼近 f ( x ) ≈ f ′ ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x)\approx{f(x_0)f(x_0)(x-x_0)} f(x)≈f′(x0)f′(x0)(x−x0)需要靠 x → x 0 x\to{x_0} x→x0来提高精度,而泰勒公式除了可通过 x → x 0 x\to{x_0} x→x0提高精度,还可以选择提高逼近阶数 n n n来实现 通过对一般的泰勒公式中的 x 0 x_0 x0取定为 0 0 0,得到Maclaurin公式,该公式形式上和计算上比一般形式的泰勒公式更加简单,而且同样可以通过提高逼近阶数 n n n来提高逼近精度 只要阶数够高(存在足够高阶的导数),Maclaurin公式做到任意精度的逼近( n → ∞ n\to{\infin} n→∞,时误差的极限为0)
逼近公式的截断应用
方便起见,通常使用Maclaurin近似公式来作函数的近似表示和高精度估计,一般形式的Taylor公式比较少直接用来估计,Maclaurin公式简单通常 n n n不需要太大就有比较高的精度了,例如 n 2 n2 n2
例 f ( x ) e x f(x)e^{x} f(x)ex的带有Lagrange余项的 n n n阶Maclaurin公式 n f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x) f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f(n)(0)0 e x e^{x} ex11 e x e^{x} ex12 e x e^{x} ex1 ⋯ \cdots ⋯ ⋯ \cdots ⋯ ⋯ \cdots ⋯ n n n e x e^{x} ex1 n 1 n1 n1 e x e^{x} ex f ( n 1 ) ( θ x ) f^{(n1)}(\theta{x}) f(n1)(θx) e θ x e^{\theta{x}} eθx e x e^{x} ex f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 f(0)f(0)x\frac{1}{2!}f(0)x^2 f(0)f′(0)x2!1f′′(0)x2 ⋯ \cdots ⋯ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n n!1f(n)(0)xn f ( n 1 ) ( θ x ) ( n 1 ) ! x n 1 \frac{f^{(n1)}(\theta x)}{(n1)!}x^{n1} (n1)!f(n1)(θx)xn1 1 x 1 2 ! x 2 ⋯ 1 n ! x n 1x\frac{1}{2!}x^2\cdots\frac{1}{n!}x^{n} 1x2!1x2⋯n!1xn e θ x ( n 1 ) ! x n 1 \frac{e^{\theta{x}}}{(n1)!}x^{n1} (n1)!eθxxn1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ∈(0,1)(1) 误差: ∣ R n ( x ) ∣ |R_{n}(x)| ∣Rn(x)∣ ∣ e θ x ( n 1 ) ! x n 1 ∣ |\frac{e^{\theta{x}}}{(n1)!}x^{n1}| ∣(n1)!eθxxn1∣ e ∣ x ∣ ( n 1 ) ! ∣ x ∣ n 1 \frac{e^{{|x|}}}{(n1)!}|x|^{n1} (n1)!e∣x∣∣x∣n1 例如估算 x 1 x1 x1,即 f ( 1 ) f(1) f(1),由公式 e 1 ≈ 1 1 1 2 ! ⋯ 1 n ! e^{1}\approx 11\frac{1}{2!}\cdots\frac{1}{n!} e1≈112!1⋯n!1此时误差为 ∣ R n ∣ e 1 ( n 1 ) ! |R_n|\frac{e^1}{(n1)!} ∣Rn∣(n1)!e1,也可以更加保守,进一步放大误差上界 3 ( n 1 ) ! \frac{3}{(n1)!} (n1)!3,当 n 10 n10 n10时,可以得 e ≈ 2.718282 e\approx{2.718282} e≈2.718282,且保证其误差不超过 1 0 − 6 10^{-6} 10−6
