做网站构架,网件路由器设置教程,wordpress变成英文版,广州app制作公司第十二章 学习笔记#xff08;Rotation About a Point#xff09;
上一章是绕定轴转动#xff0c;这章是绕定点转动。这一章明显上难度了。
12.1 Tensor of Inertia
在正式的公式推导之前#xff0c;我们先复习一个矢量公式#xff0c;下面推导时会用到这个公式#x…第十二章 学习笔记Rotation About a Point
上一章是绕定轴转动这章是绕定点转动。这一章明显上难度了。
12.1 Tensor of Inertia
在正式的公式推导之前我们先复习一个矢量公式下面推导时会用到这个公式 A × ( B × C ) ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C \mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C) (\mathbf A \cdot\mathbf C) \mathbf B - (\mathbf A \cdot \mathbf B) \mathbf C A×(B×C)(A⋅C)B−(A⋅B)C
首先计算刚体绕定点转动时的角动量。 L ∑ m i ( r i × v i ) ∑ m i ( r i × ( ω × r i ) ) ∑ m i ( ( r i ⋅ r i ) ω − ( r i ⋅ ω ) r i ) ∑ m i ( x i 2 y i 2 z i 2 ) ( ω x ω y ω z ) − ( x i ω x y i ω y z i ω z ) ( x i y i z i ) \begin{aligned} \mathbf L \sum m_i (\mathbf r_i \times \mathbf v_i) \\ \sum m_i (\mathbf r_i \times (\mathbf \omega \times \mathbf r_i)) \\ \sum m_i \left((\mathbf r_i \cdot \mathbf r_i) \mathbf \omega -(\mathbf r_i \cdot \mathbf \omega) \mathbf r_i\right)\\ \sum m_i (x_i^2y_i^2z_i^2) \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z\end{pmatrix} - (x_i \omega_x y_i \omega_y z_i \omega_z)\begin{pmatrix} x_i \\ y_i \\ z_i\end{pmatrix} \end{aligned} L∑mi(ri×vi)∑mi(ri×(ω×ri))∑mi((ri⋅ri)ω−(ri⋅ω)ri)∑mi(xi2yi2zi2) ωxωyωz −(xiωxyiωyziωz) xiyizi 写成分量形式 L x ∑ m i ( x i 2 y i 2 z i 2 ) ω x − ( x i ω x y i ω y z i ω z ) x i ∑ m i ( y i 2 z i 2 ) ω x − x i y i ω y − x i z i ω z \begin{aligned} L_x \sum m_i (x_i^2y_i^2z_i^2) \omega_x - (x_i \omega_x y_i \omega_y z_i \omega_z) x_i\\ \sum m_i (y_i^2z_i^2) \omega_x - x_i y_i \omega_y -x_i z_i \omega_z\\ \end{aligned} \\ Lx∑mi(xi2yi2zi2)ωx−(xiωxyiωyziωz)xi∑mi(yi2zi2)ωx−xiyiωy−xiziωz L y ∑ m i ( x i 2 y i 2 z i 2 ) ω y − ( x i ω x y i ω y z i ω z ) y i ∑ m i ( x i 2 z i 2 ) ω y − y i x i ω x − y i z i ω z \begin{aligned} L_y \sum m_i (x_i^2y_i^2z_i^2) \omega_y - (x_i \omega_x y_i \omega_y z_i \omega_z) y_i\\ \sum m_i (x_i^2z_i^2) \omega_y - y_i x_i \omega_x - y_i z_i \omega_z \\ \end{aligned} Ly∑mi(xi2yi2zi2)ωy−(xiωxyiωyziωz)yi∑mi(xi2zi2)ωy−yixiωx−yiziωz L z ∑ m i ( x i 2 y i 2 z i 2 ) ω z − ( x i ω x y i ω y z i ω z ) z i ∑ m i ( x i 2 y i 2 ) ω z − x i z i ω x − y i z i ω y \begin{aligned} L_z \sum m_i (x_i^2y_i^2z_i^2) \omega_z - (x_i \omega_x y_i \omega_y z_i \omega_z) z_i\\ \sum m_i (x_i^2y_i^2) \omega_z - x_i z_i \omega_x - y_i z_i \omega_y \\ \end{aligned} Lz∑mi(xi2yi2zi2)ωz−(xiωxyiωyziωz)zi∑mi(xi2yi2)ωz−xiziωx−yiziωy
写成矩阵形式 Θ ( ∑ m i ( y i 2 z i 2 ) − ∑ m i x i y i − ∑ m i x i z i − ∑ m i x i y i ∑ m i ( x i 2 z i 2 ) − ∑ m i y i z i − ∑ m i x i z i − ∑ m i y i z i ∑ m i ( x i 2 y i 2 ) ) L Θ ^ ⋅ ω \Theta \begin{pmatrix}\sum m_i (y_i^2z_i^2) -\sum m_i x_i y_i -\sum m_i x_i z_i\\ -\sum m_i x_i y_i \sum m_i (x_i^2z_i^2) -\sum m_i y_i z_i\\ -\sum m_i x_i z_i -\sum m_i y_i z_i \sum m_i (x_i^2y_i^2)\\ \end{pmatrix} \\ \mathbf L \hat\Theta \cdot \omega Θ ∑mi(yi2zi2)−∑mixiyi−∑mixizi−∑mixiyi∑mi(xi2zi2)−∑miyizi−∑mixizi−∑miyizi∑mi(xi2yi2) LΘ^⋅ω 上面式子中的 Θ ^ \hat\Theta Θ^ 就是这章的主角 惯性张量。
12.2 Kinetic Energy of a Rotating Rigid Body
这里推导定轴转动时的转动能。首先还是先补充一个矢量公式 A ⋅ ( B × C ) B ⋅ ( C × A ) C ⋅ ( A × B ) \mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C) \mathbf B \cdot (\mathbf C \times \mathbf A) \mathbf C \cdot (\mathbf A \times \mathbf B) A⋅(B×C)B⋅(C×A)C⋅(A×B) 有了这个矢量公式就可以开始下面的推导了。 T 1 2 ∑ m i v i 2 1 2 ∑ m i ( v i ⋅ ( ω × r i ) ) 1 2 ∑ m i ( ω ⋅ ( r i × v i ) ) 1 2 ω ⋅ ∑ m i ( r i × v i ) 1 2 ω ⋅ L 1 2 ω T ⋅ Θ ^ ⋅ ω \begin{aligned} T \frac{1}{2}\sum m_i \mathbf v_i^2 \\ \frac{1}{2} \sum m_i (\mathbf v_i \cdot (\omega \times \mathbf r_i))\\ \frac{1}{2} \sum m_i (\omega \cdot (\mathbf r_i \times \mathbf v_i) ) \\ \frac{1}{2} \omega \cdot \sum m_i (\mathbf r_i \times \mathbf v_i) \\ \frac{1}{2} \omega \cdot \mathbf L \\ \frac{1}{2} \omega^T \cdot \hat\Theta \cdot \omega \end{aligned} T21∑mivi221∑mi(vi⋅(ω×ri))21∑mi(ω⋅(ri×vi))21ω⋅∑mi(ri×vi)21ω⋅L21ωT⋅Θ^⋅ω
12.3 The Principal Axes of Inertia 惯量主轴
12.4 Existence and Orthogonality of the Principal Axes
12.5 Transformation of the Tensor of Inertia
这三个小节 Greiner 写作顺序不太好。个人认为应该先讲 12.5 节然后是12.3 最后是12.4。另外现在的大学生都学过线性代数对矩阵的相似变换有足够的了解。利用矩阵可以简化推导过程。
下面就按照我自己的理解来推导。
通过选取合适的坐标系我们可以让转动惯量张量成为对角矩阵。
首先回忆一下坐标变换。在一个坐标系下的单位矢量记为 ( e 1 , e 2 , e 3 ) (\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3) (e1,e2,e3)。相对坐标原点做一个旋转之后单位矢量变为 ( e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ) (\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3) (e1′,e2′,e3′)。 两套坐标系的关系可以用下面的式子来表示。 e 1 ′ a 11 e 1 a 12 e 2 a 13 e 3 e 2 ′ a 21 e 1 a 22 e 2 a 23 e 3 e 3 ′ a 31 e 1 a 32 e 2 a 33 e 3 \mathbf e_1 a_{11} \mathbf e_1 a_{12} \mathbf e_2 a_{13} \mathbf e_3 \\ \mathbf e_2 a_{21} \mathbf e_1 a_{22} \mathbf e_2 a_{23} \mathbf e_3 \\ \mathbf e_3 a_{31} \mathbf e_1 a_{32} \mathbf e_2 a_{33} \mathbf e_3 e1′a11e1a12e2a13e3e2′a21e1a22e2a23e3e3′a31e1a32e2a33e3 或者写为矩阵形式 ( e 1 ′ e 2 ′ e 3 ′ ) A ( e 1 e 2 e 3 ) \begin{pmatrix}\mathbf e_1 \\\mathbf e_2 \\\mathbf e_3 \end{pmatrix} \mathbf A \begin{pmatrix}\mathbf e_1 \\\mathbf e_2 \\\mathbf e_3 \end{pmatrix} e1′e2′e3′ A e1e2e3 一个矢量 x x x 在 e \mathbf e e 坐标系下的分量为 ( x 1 , x 2 , x 3 ) (x_1, x_2, x_3) (x1,x2,x3)在 e ′ \mathbf e e′ 坐标系下的分量为 ( x 1 ′ , x ’ 2 , x 3 ′ ) (x_1, x’_2, x_3) (x1′,x’2,x3′)。 x x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x 1 ′ e 1 ′ x 2 ′ e 2 ′ x 3 ′ e 3 ′ x 1 ′ ( a 11 e 1 a 12 e 2 a 13 e 3 ) x 2 ′ ( a 21 e 1 a 22 e 2 a 23 e 3 ) x 3 ′ ( a 31 e 1 a 32 e 2 a 33 e 3 ) ( x 1 ′ a 11 x 2 ′ a 21 x 3 ′ a 31 ) e 1 ( x 1 ′ a 12 x 2 ′ a 22 x 3 ′ a 32 ) e 2 ( x 1 ′ a 13 x 2 ′ a 23 x 3 ′ a 33 ) e 3 \begin{aligned} \mathbf x x_1 \mathbf e_1 x_2 \mathbf e_2 x_3 \mathbf e_3 \\ x_1 \mathbf e_1 x_2 \mathbf e_2 x_3 \mathbf e_3 \\ x_1 (a_{11} \mathbf e_1 a_{12} \mathbf e_2 a_{13} \mathbf e_3) x_2 (a_{21} \mathbf e_1 a_{22} \mathbf e_2 a_{23} \mathbf e_3) x_3 (a_{31} \mathbf e_1 a_{32} \mathbf e_2 a_{33} \mathbf e_3)\\ (x_1 a_{11} x_2 a_{21} x_3 a_{31}) \mathbf e_1 (x_1 a_{12} x_2 a_{22} x_3 a_{32}) \mathbf e_2 (x_1 a_{13} x_2 a_{23} x_3 a_{33}) \mathbf e_3 \end{aligned} xx1e1x2e2x3e3x1′e1′x2′e2′x3′e3′x1′(a11e1a12e2a13e3)x2′(a21e1a22e2a23e3)x3′(a31e1a32e2a33e3)(x1′a11x2′a21x3′a31)e1(x1′a12x2′a22x3′a32)e2(x1′a13x2′a23x3′a33)e3 写成矩阵形式 ( x 1 x 2 x 3 ) ( a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ) ( x 1 ′ x 2 ′ x 3 ′ ) \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} a_{21} a_{31} \\ a_{12} a_{22} a_{32}\\ a_{13} a_{23} a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}\\ x1x2x3 a11a12a13a21a22a23a31a32a33 x1′x2′x3′ 和上面比较一下可以看出 x A T x ′ x ′ A x \mathbf x \mathbf A^T \mathbf x \\ \mathbf x \mathbf A \mathbf x xATx′x′Ax 可以看出坐标变换矩阵和基矢的变换矩阵是相同的。另外我们还知道 A \mathbf A A 是实对称矩阵 ∣ A ∣ 1 , A T A − 1 |\mathbf A| 1, \mathbf A^T \mathbf A^{-1} ∣A∣1,ATA−1。关于 A \mathbf A A 的这些特性在随便一本线性代数的教科书里都有这里就不详细推导了。 L Θ ^ ⋅ ω \mathbf L \hat\Theta \cdot \omega LΘ^⋅ω 这个公式在一个坐标系下成立对这个坐标系做个旋转之后也必须成立。在旋转后的坐标系下 ω L \omega \mathbf L ωL 成为了 ω ′ L ′ \omega \mathbf L ω′L′。他们之间的关系如下 ω A T ⋅ ω ′ L A T ⋅ L ′ \omega \mathbf A^T \cdot\omega \\ \mathbf L \mathbf A^T \cdot \mathbf L ωAT⋅ω′LAT⋅L′ 带入角动量的公式 L Θ ^ ⋅ ω A T ⋅ L ′ Θ ^ A T ⋅ ω ′ L ′ A Θ ^ A T ⋅ ω ′ A Θ ^ A − 1 ⋅ ω ′ \mathbf L \hat\Theta \cdot \omega \\ \mathbf A^T \cdot \mathbf L \hat\Theta \mathbf A^T \cdot\omega \\ \mathbf L \mathbf A \hat\Theta \mathbf A^T \cdot\omega \mathbf A \hat\Theta \mathbf A^{-1} \cdot\omega LΘ^⋅ωAT⋅L′Θ^AT⋅ω′L′AΘ^AT⋅ω′AΘ^A−1⋅ω′ 因此我们就推导出了二阶张量的坐标变换公式 Θ ^ ′ A Θ ^ A − 1 \hat \Theta \mathbf A \hat \Theta \mathbf A^{-1} Θ^′AΘ^A−1 上面这个变换公式在线性代数教科书里称为相似变换。通过相似变换我们可以把一个实对称矩阵化为对角矩阵。也就是 Θ ^ ′ ( Θ 1 0 0 0 Θ 2 0 0 0 Θ 3 ) \hat \Theta \begin{pmatrix} \Theta_1 0 0 \\ 0 \Theta_2 0\\ 0 0 \Theta_3\end{pmatrix} Θ^′ Θ1000Θ2000Θ3 那么角动量和转动动能的表达式都会变得很简单: ( L 1 L 2 L 3 ) ( Θ 1 ω 1 Θ 2 ω 2 Θ 3 ω 3 ) \begin{pmatrix} L_1 \\L_2 \\L_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Theta_1 \omega_1 \\\Theta_2 \omega_2 \\ \Theta_3 \omega_3 \end{pmatrix} L1L2L3 Θ1ω1Θ2ω2Θ3ω3 T 1 2 ω T ⋅ Θ ^ ′ ⋅ ω 1 2 ( Θ 1 ω 1 2 Θ 2 ω 2 2 Θ 3 ω 3 2 ) T \frac{1}{2} \omega^T \cdot \hat \Theta \cdot \omega \frac{1}{2} (\Theta_1 \omega_1^2 \Theta_2 \omega_2^2 \Theta_3 \omega_3^2) T21ωT⋅Θ^′⋅ω21(Θ1ω12Θ2ω22Θ3ω32)
另外我们还知道 Θ i \Theta_i Θi 其实就是矩阵 Θ ^ \hat \Theta Θ^ 的三个特征值。 Θ ^ ⋅ ω λ ω ( Θ ^ − λ I ) ω 0 \hat \Theta \cdot \omega \lambda \omega \\ (\hat \Theta - \lambda \mathbf I ) \omega 0 Θ^⋅ωλω(Θ^−λI)ω0 12.4 节就是在证明 Θ ^ \hat \Theta Θ^ 有三个实数的特征向量。书上给的证明有点繁琐其实用矩阵运算利用 Θ ^ \hat \Theta Θ^ 是实对称矩阵这么一个条件可以很容易证明出来。下面的证明中我们用 A ˉ \bar A Aˉ 表示对 A A A 取复共轭。 ω ‾ T ⋅ Θ ^ ⋅ ω ω ‾ T ⋅ Θ ^ ⋅ ω ω ‾ T ⋅ Θ ^ T ‾ ⋅ ω ω T ⋅ Θ ^ T ‾ ⋅ ω ( Θ ^ ⋅ ω ) T ‾ ⋅ ω ( λ ⋅ ω ) T ‾ ⋅ ω λ ‾ ⋅ ω T ‾ ⋅ ω \begin{aligned} \overline\omega^T \cdot \hat \Theta \cdot \omega \overline\omega^T \cdot \hat \Theta \cdot\omega \\ \overline\omega^T \cdot \overline{\hat \Theta^T} \cdot\omega\\ \overline{\omega^T \cdot \hat \Theta^T} \cdot\omega\\ \overline{(\hat \Theta \cdot \omega)^T} \cdot\omega \\ \overline{(\lambda \cdot \omega)^T} \cdot\omega \\ \overline{\lambda}\cdot \overline{\omega^T} \cdot\omega \\ \end{aligned} ωT⋅Θ^⋅ωωT⋅Θ^⋅ωωT⋅Θ^T⋅ωωT⋅Θ^T⋅ω(Θ^⋅ω)T⋅ω(λ⋅ω)T⋅ωλ⋅ωT⋅ω 另一方面 ω ‾ T ⋅ Θ ^ ⋅ ω ω ‾ T ⋅ λ ⋅ ω λ ⋅ ω T ‾ ⋅ ω \begin{aligned} \overline\omega^T \cdot \hat \Theta \cdot \omega \overline\omega^T \cdot \lambda\cdot\omega \\ \lambda \cdot\overline{\omega^T} \cdot\omega \end{aligned} ωT⋅Θ^⋅ωωT⋅λ⋅ωλ⋅ωT⋅ω 所以有 λ ‾ ⋅ ω T ‾ ⋅ ω λ ⋅ ω T ‾ ⋅ ω ( λ ‾ − λ ) ω T ‾ ⋅ ω 0 λ ‾ − λ 0 \overline\lambda \cdot\overline{\omega^T} \cdot\omega \lambda \cdot\overline{\omega^T} \cdot\omega\\ (\overline\lambda - \lambda ) \ \overline{\omega^T} \cdot\omega 0\\ \overline\lambda - \lambda 0 λ⋅ωT⋅ωλ⋅ωT⋅ω(λ−λ) ωT⋅ω0λ−λ0 上面这个证明要比书上写的简单一些。至少是没有那么多让人眼花缭乱的上标、下标了。
至此本章还剩下最后一个问题。就是我们已知 Θ ^ \hat \Theta Θ^ 之后如何去求某个方向上的转动惯量。
设单位方向向量为 n ( n 1 , n 2 , n 3 ) \mathbf n (n_1, n_2, n_3) n(n1,n2,n3)。那么这个方向上的角速度可以表示为 ω ⃗ ω ⋅ n L ω Θ ^ ⋅ n L n n T ⋅ L ω n T ⋅ Θ ^ ⋅ n \vec \omega \omega \cdot \mathbf n \\ \mathbf L \omega \hat \Theta \cdot \mathbf n \\ \mathbf L_n \mathbf n^T \cdot \mathbf L \omega \ \mathbf n^T \cdot \hat \Theta \cdot \mathbf n ω ω⋅nLωΘ^⋅nLnnT⋅Lω nT⋅Θ^⋅n 从上面的式子我们就能看出来某个方向 n \mathbf n n上的 转动惯量为 Θ n n T ⋅ Θ ^ ⋅ n \Theta_n \mathbf n^T \cdot \hat \Theta \cdot \mathbf n ΘnnT⋅Θ^⋅n。
12.7 Ellipsoid of Inertia
从上面我们已经知道 Θ n n T ⋅ Θ ^ ⋅ n \Theta_n \mathbf n^T \cdot \hat \Theta \cdot \mathbf n ΘnnT⋅Θ^⋅n 这个其实就是线性代数里面讨论的二次型问题。3维空间上的二次型就是个椭球体。
设 ϱ n / Θ n \varrho \mathbf n / \sqrt{\Theta_n} ϱn/Θn 那么有 n Θ n ϱ \mathbf n \sqrt{\Theta_n} \varrho nΘn ϱ。 Θ n Θ n ( ϱ x ϱ y ϱ z ) ⋅ Θ ⋅ Θ n ( ϱ x ϱ y ϱ z ) \Theta_n \sqrt{\Theta_n} \begin{pmatrix} \varrho_x \varrho_y \varrho_z \end{pmatrix} \cdot \Theta \cdot \sqrt{\Theta_n} \begin{pmatrix} \varrho_x \\ \varrho_y \\\varrho_z \end{pmatrix} ΘnΘn (ϱxϱyϱz)⋅Θ⋅Θn ϱxϱyϱz 也就是 1 ( ϱ x ϱ y ϱ z ) ⋅ ( Θ x x Θ x y Θ x z Θ y x Θ y y Θ y z Θ z x Θ z y Θ z z ) ⋅ ( ϱ x ϱ y ϱ z ) 1 \begin{pmatrix} \varrho_x \varrho_y \varrho_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Theta_{xx} \Theta_{xy} \Theta_{xz} \\ \Theta_{yx} \Theta_{yy} \Theta_{yz}\\ \Theta_{zx} \Theta_{zy} \Theta_{zz} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \varrho_x \\ \varrho_y \\\varrho_z \end{pmatrix} 1(ϱxϱyϱz)⋅ ΘxxΘyxΘzxΘxyΘyyΘzyΘxzΘyzΘzz ⋅ ϱxϱyϱz 展开之后得到 Θ x x ϱ x 2 Θ y y ϱ y 2 Θ z z ϱ z 2 2 Θ x y ϱ x ϱ y 2 Θ y z ϱ y ϱ z 2 Θ x z ϱ x ϱ z 1 \Theta_{xx} \varrho_x^2 \Theta_{yy} \varrho_y^2 \Theta_{zz} \varrho_z^2 2 \Theta_{xy} \varrho_x \varrho_y 2 \Theta_{yz} \varrho_y \varrho_z 2 \Theta_{xz} \varrho_x \varrho_z 1 Θxxϱx2Θyyϱy2Θzzϱz22Θxyϱxϱy2Θyzϱyϱz2Θxzϱxϱz1 至此这章的知识点就全都写完了。下一章将讨论各种陀螺问题脱落问题算是古典力学最有趣的问题吧。
