小叮当网站建设,seo数据优化,论坛网站制作教程,怎样把网站做的更吸引文章目录 二元分布满足要求边际分布条件概率例子1例子2 损失函数概率分布期望值例 参考文献 二元分布
满足要求
连续情况下#xff0c; φ ( x , y ) \varphi (x,y) φ(x,y)为随机变量 X 、 Y X、Y X、Y的联合概率分布(二元分布)#xff0c;如果以下条件满足#xff1a; … 文章目录 二元分布满足要求边际分布条件概率例子1例子2 损失函数概率分布期望值例 参考文献 二元分布
满足要求
连续情况下 φ ( x , y ) \varphi (x,y) φ(x,y)为随机变量 X 、 Y X、Y X、Y的联合概率分布(二元分布)如果以下条件满足 1 、 ∀ X 和 Y 值有 0 ≤ φ ( x , y ) ≤ 1 2 、离散型 ∑ y ∑ x φ ( x , y ) 1 连续型 : ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ φ ( x , y ) d x d y 1 1、\forall X和Y值有 0 \le \varphi(x,y) \le 1 \\2、离散型\sum_y\sum_x \varphi(x,y)1 \\ 连续型:\textstyle\intop_{-\infty}^{\infty}\textstyle\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi(x,y)dxdy1 1、∀X和Y值有0≤φ(x,y)≤12、离散型y∑x∑φ(x,y)1连续型:∫−∞∞∫−∞∞φ(x,y)dxdy1
边际分布 φ ( x , y ) \varphi (x,y) φ(x,y)为随机变量 X 、 Y X、Y X、Y的联合概率分布 离散型 X 边际概率密度 φ X ( x ) P ( X x ) ∑ y P ( X x , Y y ) ∑ y φ ( x , y ) Y 边际概率密度 φ Y ( y ) P ( Y y ) ∑ x P ( X x , Y y ) ∑ x φ ( x , y ) 连续型 X 边际概率密度 φ X ( x ) ∫ φ ( x , y ) d y Y 边际概率密度 φ Y ( y ) ∫ φ ( x , y ) d x \begin{aligned} 离散型\\ X边际概率密度\varphi_X(x)P(Xx)\sum_yP(Xx,Yy)\sum_y\varphi (x,y)\\ Y边际概率密度\varphi_Y(y)P(Yy)\sum_xP(Xx,Yy)\sum_x\varphi (x,y)\\ 连续型\\ X边际概率密度\varphi_X(x)\intop\varphi(x,y)dy\\ Y边际概率密度\varphi_Y(y)\intop\varphi(x,y)dx\\ \end{aligned} 离散型X边际概率密度φX(x)P(Xx)y∑P(Xx,Yy)y∑φ(x,y)Y边际概率密度φY(y)P(Yy)x∑P(Xx,Yy)x∑φ(x,y)连续型X边际概率密度φX(x)∫φ(x,y)dyY边际概率密度φY(y)∫φ(x,y)dx
条件概率 P ( A ∣ B ) P ( A ⋂ B ) P ( B ) P(A|B)\frac {P(A\bigcap B)}{P(B)} P(A∣B)P(B)P(A⋂B)
例子1 设 : P ( 0 , 0 ) 0.27 , P ( 0 , 1 ) 0.19 , P ( 0 , 2 ) 0.24 P ( 1 , 0 ) 0.1 , P ( 1 , 1 ) 0.03 P ( 1 , 2 ) 0.17 φ ( x , y ) P ( X x , Y y ) 1 、 0 ≤ φ ( x , y ) ≤ 1 2 、 ∑ x ∑ y φ ( x , y ) 0.27 0.19 024 0.1 0.03 0.17 1 符合离散型二元分布的要求。 一、求 φ X ( 1 ) P ( X 1 ) ? 此为条件概率分布 P ( X 1 ) P ( Y ∣ X 1 ) P ( Y ∣ 1 ) P ( X ⋂ Y ) P ( X ) P ( 1 , Y ) P ( 1 ) P ( 1 , Y ) P ( 1 , 0 ) P ( 1 , 1 ) P ( 1 , 2 ) P ( 1 , Y ) 0.1 0.03 0.17 P ( 1 , Y ) 0.3 P ( Y 2 , X 1 ) P ( Y 2 ∣ 1 ) P ( 2 ∣ 1 ) P ( 1 , 2 ) 0.3 0.17 0.3 0.56 二、边际概率分布 Y 边际概率密度 φ Y ( 2 ) P ( Y y ) P ( Y 2 ) ∑ x P ( X x , Y 2 ) ∑ x P ( x , 2 ) 0.24 0.17 0.41 设: \\P(0,0)0.27,P(0,1)0.19,P(0,2)0.24 \\P(1,0)0.1,P(1,1)0.03P(1,2)0.17 \\\varphi (x,y)P(Xx,Yy) \\1、0\le \varphi (x,y) \le 1 \\2、\sum_x\sum_y\varphi (x,y)0.270.190240.10.030.171 \\符合离散型二元分布的要求。 \\一、求\varphi_X(1)P(X1)? 此为条件概率分布 \\P(X1)P(Y|X1)P(Y|1)\frac {P(X\bigcap Y)} {P(X)}\frac {P(1,Y)} {P(1)}\frac {P(1,Y)} {P(1,0)P(1,1)P(1,2)} \\\frac {P(1,Y)} {0.10.030.17}\frac {P(1,Y)} {0.3} \\P(Y2,X1)P(Y2|1)P(2|1)\frac {P(1,2)} {0.3}\frac {0.17} {0.3}0.56 \\二、边际概率分布 \\Y边际概率密度\varphi_Y(2)P(Yy)P(Y2) \\\sum_xP(Xx,Y2)\sum_xP(x,2)\\0.240.170.41 设:P(0,0)0.27,P(0,1)0.19,P(0,2)0.24P(1,0)0.1,P(1,1)0.03P(1,2)0.17φ(x,y)P(Xx,Yy)1、0≤φ(x,y)≤12、x∑y∑φ(x,y)0.270.190240.10.030.171符合离散型二元分布的要求。一、求φX(1)P(X1)?此为条件概率分布P(X1)P(Y∣X1)P(Y∣1)P(X)P(X⋂Y)P(1)P(1,Y)P(1,0)P(1,1)P(1,2)P(1,Y)0.10.030.17P(1,Y)0.3P(1,Y)P(Y2,X1)P(Y2∣1)P(2∣1)0.3P(1,2)0.30.170.56二、边际概率分布Y边际概率密度φY(2)P(Yy)P(Y2)x∑P(Xx,Y2)x∑P(x,2)0.240.170.41
例子2 对于 φ ( x , y ) P ( a x ≤ X ≤ b x , a y ≤ Y ≤ b y ) ∫ a x b x ∫ a y b y φ ( x , y ) d x d y 1 、 ∀ X 和 Y 值有 0 ≤ φ ( x , y ) ≤ 1 2 、连续型 : ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ φ ( x , y ) d x d y 1 符合连续型二元分布的要求。 设 : a x 0 , b x 1 , a y 0 , b y 1 φ ( x , y ) { 3 x 5 y 2 if 0 ≤ X ≤ 1 , 0 ≤ Y ≤ 1 0 if e l s e 一、求边际概率分布 φ X ( x ) ? φ X ( x ) ∫ φ ( x , y ) d y ∫ 0 1 φ ( x , y ) d y ∫ 0 1 ( 3 x 5 y 2 ) d y 3 x 5 ∫ 0 1 y 2 d y 3 x 5 3 y 3 ∣ 0 1 3 x 5 3 φ Y ( y ) ? φ Y ( y ) ∫ φ ( x , y ) d x ∫ 0 1 φ ( x , y ) d x ∫ 0 1 ( 3 x 5 y 2 ) d x 3 2 x 2 ∣ 0 1 5 y 2 3 2 5 y 2 给定任意 y 值 φ Y ( 0.5 ) 3 2 5 ∗ 0. 5 2 φ Y ( − 1 ) 0 二、求条件概率分布 φ X ∣ Y ( x ∣ y ) P ( X x , Y y ) P ( Y y ) φ X , Y ( x , y ) φ Y ( y ) φ Y ∣ X ( y ∣ x ) P ( Y y , X x ) P ( X x ) φ X , Y ( x , y ) φ X ( x ) φ X ∣ Y ( x ∣ y ) φ X , Y ( x , y ) φ Y ( y ) 3 x 5 y 2 3 2 5 y 2 φ Y ∣ X ( y ∣ x ) φ X , Y ( x , y ) φ X ( x ) 3 x 5 y 2 3 x 5 3 设 y 0.7 , x ≤ 1 3 φ X ∣ Y ( X ≤ 1 3 , Y 0.7 ) P ( X ≤ 1 3 , X 0.7 ) ∫ 0 1 3 φ X ∣ Y ( x ∣ 0.7 ) d x ∫ 0 1 3 3 x 5 ∗ ( 0.7 ) 2 3 2 5 ∗ ( 0.7 ) 2 d x . . . . . 设 x 0.7 , y ≤ 1 3 φ Y ∣ X ( Y ≤ 1 3 , X 0.7 ) P ( X ≤ 1 3 , X 0.7 ) ∫ 0 1 3 φ Y ∣ X ( y ∣ 0.7 ) d x ∫ 0 1 3 3 ∗ 0.7 5 y 2 3 ∗ 0.7 5 3 d y . . . 对于\\\varphi (x,y)P(a_x\le X\le b_x,a_y \le Y \le b_y)\textstyle\intop_{a_x}^{b_x}\intop_{a_y}^{b_y}\varphi(x,y)dxdy \\1、\forall X和Y值有 0 \le \varphi(x,y) \le 1 \\2、连续型:\textstyle\intop_{-\infty}^{\infty}\textstyle\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi(x,y)dxdy1 \\符合连续型二元分布的要求。 \\设:a_x0,b_x1,a_y0,b_y1 \\\varphi(x,y)\begin{cases} 3x5y^2 \text{if } 0 \le X \le 1,0 \le Y\le 1 \\ 0 \text{if } else \end{cases} \\一、求边际概率分布 \\\varphi_X(x)? \\\varphi_X(x)\intop\varphi(x,y)dy\\ \\\intop_{0}^{1}\varphi(x,y)dy\intop_{0}^{1}(3x5y^2)dy3x5\intop_{0}^{1}y^2dy3x\frac 5 3 {y^3}|_{0}^{1}3x\frac 5 3 \\\varphi_Y(y)? \\\varphi_Y(y)\intop\varphi(x,y)dx\\ \\\intop_{0}^{1}\varphi(x,y)dx\intop_{0}^{1}(3x5y^2)dx\frac 3 2 x^2|_0^15y^2\frac 3 25y^2 \\给定任意y值 \\\varphi_Y(0.5)\frac 3 25*0.5^2 \\\varphi_Y(-1)0 \\二、求条件概率分布\\ \begin{aligned} \varphi_{X|Y}(x|y)\frac {P(Xx,Yy)} {P(Yy)}\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_Y(y)} \\ \varphi_{Y|X}(y|x)\frac {P(Yy,Xx)} {P(Xx)}\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_X(x)}\\ \end{aligned} \\ \varphi_{X|Y}(x|y)\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_Y(y)} \frac {3x5y^2} {\frac 3 25y^2} \\ \varphi_{Y|X}(y|x)\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_X(x)} \frac {3x5y^2} {3x\frac 5 3} \\设y0.7,x \le \frac 1 3 \\\varphi_{X|Y}(X \le \frac 1 3,Y0.7)P(X \le \frac 1 3,X0.7)\intop_0^{\frac 1 3}\varphi_{X|Y}(x|0.7)dx\intop_0^{\frac 1 3}\frac {3x5*(0.7)^2} {\frac 3 25*(0.7)^2}dx..... \\设x0.7,y \le \frac 1 3 \\\varphi_{Y|X}(Y \le \frac 1 3,X0.7)P(X \le \frac 1 3,X0.7)\intop_0^{\frac 1 3}\varphi_{Y|X}(y|0.7)dx\intop_0^{\frac 1 3}\frac {3*0.75y^2} {3*0.7\frac 5 3}dy... 对于φ(x,y)P(ax≤X≤bx,ay≤Y≤by)∫axbx∫aybyφ(x,y)dxdy1、∀X和Y值有0≤φ(x,y)≤12、连续型:∫−∞∞∫−∞∞φ(x,y)dxdy1符合连续型二元分布的要求。设:ax0,bx1,ay0,by1φ(x,y){3x5y20if 0≤X≤1,0≤Y≤1if else一、求边际概率分布φX(x)?φX(x)∫φ(x,y)dy∫01φ(x,y)dy∫01(3x5y2)dy3x5∫01y2dy3x35y3∣013x35φY(y)?φY(y)∫φ(x,y)dx∫01φ(x,y)dx∫01(3x5y2)dx23x2∣015y2235y2给定任意y值φY(0.5)235∗0.52φY(−1)0二、求条件概率分布φX∣Y(x∣y)P(Yy)P(Xx,Yy)φY(y)φX,Y(x,y)φY∣X(y∣x)P(Xx)P(Yy,Xx)φX(x)φX,Y(x,y)φX∣Y(x∣y)φY(y)φX,Y(x,y)235y23x5y2φY∣X(y∣x)φX(x)φX,Y(x,y)3x353x5y2设y0.7,x≤31φX∣Y(X≤31,Y0.7)P(X≤31,X0.7)∫031φX∣Y(x∣0.7)dx∫031235∗(0.7)23x5∗(0.7)2dx.....设x0.7,y≤31φY∣X(Y≤31,X0.7)P(X≤31,X0.7)∫031φY∣X(y∣0.7)dx∫0313∗0.7353∗0.75y2dy...
损失函数 L ( c 1 , a 1 ) 为损失函数 其中 a 1 为事件 c 1 为自然状态的真值。 ( c 1 , a 1 ) ∈ C ∗ A c 为参数属于参数空间 C a 为行为事件属于所有可能的事件集合 A L(c_1,a_1)为损失函数 \\其中a_1为事件c_1为自然状态的真值。 \\(c_1,a_1) \in C*A \\c为参数属于参数空间C \\a为行为事件属于所有可能的事件集合A L(c1,a1)为损失函数其中a1为事件c1为自然状态的真值。(c1,a1)∈C∗Ac为参数属于参数空间Ca为行为事件属于所有可能的事件集合A
概率分布
调查结果为随机变量 X ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) X(x_1,x_2,...,x_n) X(x1,x2,...,xn) x i x_i xi为同一分布的独立观测值发生的自然状态是 c c c可理解为给定条件 P c ( A ) P_c(A) Pc(A)为事件A在自然状态c发生时出现的概率 φ \varphi φ为概率函数即随机事件到其发生概率的映射。 Φ 为样本空间集合其元素为某随机变量 X ( X ∈ Φ ) X 包括很多事件 x 1 , x 2 . . . . , x n \Phi为样本空间集合其元素为某随机变量X(X \in \Phi)X包括很多事件x_1,x_2....,x_n Φ为样本空间集合其元素为某随机变量X(X∈Φ)X包括很多事件x1,x2....,xn连续 P c ( A ) ∫ A φ ( x ∣ c ) d x P_c(A)\intop_A\varphi(x|c)dx Pc(A)A∫φ(x∣c)dx -离散 P c ( A ) ∑ x ∈ A φ ( x ∣ c ) P_c(A)\sum_{x \in A}\varphi(x|c) Pc(A)x∈A∑φ(x∣c)
期望值 μ ( x ) 为对 X 的数学期望给定条件 c 值。 E c [ μ ( x ) ] ∫ Φ μ ( x ) φ ( x ∣ c ) d x ∑ x ∈ Φ μ ( x ) φ ( x ∣ c ) \mu(x)为对X的数学期望给定条件c值。 \\E_c[\mu(x)]\int_\Phi\mu(x)\varphi(x|c)dx \\\sum_{x \in \Phi}\mu(x)\varphi(x|c) μ(x)为对X的数学期望给定条件c值。Ec[μ(x)]∫Φμ(x)φ(x∣c)dxx∈Φ∑μ(x)φ(x∣c)
例
1、设一个产品所需要的某原材料可用两种材料之一这两种材料分别被A方和B方提供。 产品选择原材料导致产品使用寿命损失函数为 L ( c , a 1 ) ∣ 5 c 2 7 c ∣ L ( c , a 2 ) ∣ 2 c 8 c 2 ∣ 其中 a 2 表示产品所需原材料被 B 方提供 a 1 表示产品所需要原材料被 A 方提供 c 表示该材料的强度耐受度。 L(c,a_1)|5c^27c| \\L(c,a_2)|2c8c^2| \\其中a_2表示产品所需原材料被B方提供a_1表示产品所需要原材料被A方提供c表示该材料的强度耐受度。 \\ \\ L(c,a1)∣5c27c∣L(c,a2)∣2c8c2∣其中a2表示产品所需原材料被B方提供a1表示产品所需要原材料被A方提供c表示该材料的强度耐受度。 2、将二百万人民币投资某项目或存入基金其损失函数单位万元负数表示收益为 设 a 1 表示投资某项目 a 2 表示存入基金 c 1 表示取得预期收益 c 2 表示没有取得预期收益。 L ( a 1 , c 1 ) − 9 L ( a 1 , c 2 ) 7 L ( a 2 , c 1 ) − 28 L ( a 2 , c 2 ) 50 设a_1表示投资某项目a_2表示存入基金c_1表示取得预期收益c_2表示没有取得预期收益。 \\L(a_1,c_1)-9 \\L(a_1,c_2)7 \\L(a_2,c_1)-28 \\L(a_2,c_2)50 设a1表示投资某项目a2表示存入基金c1表示取得预期收益c2表示没有取得预期收益。L(a1,c1)−9L(a1,c2)7L(a2,c1)−28L(a2,c2)50 损失矩阵如下
a-cc1c2a1-97a2-2850
参考文献
1、《统计决策理论与贝叶斯分析》 2. 《统计学原书第五版》
