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题目
70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢#xff1f;
改为#xff1a;一步一个台阶#xff0c;两个台阶#xff0c;三个台阶#xff…70. 爬楼梯进阶
题目
70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢
改为一步一个台阶两个台阶三个台阶.......直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢
解析
1阶2阶.... m阶就是物品楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用例如跳了1阶还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]爬到有i个台阶的楼顶有dp[i]种方法。
2.确定递推公式
求装满背包有几种方法递推公式一般都是dp[i] dp[i - nums[j]];
本题呢dp[i]有几种来源dp[i - 1]dp[i - 2]dp[i - 3] 等等即dp[i - j]
那么递推公式为dp[i] dp[i - j]
3.dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] dp[i - j]那么dp[0] 一定为1dp[0]是递归中一切数值的基础所在如果dp[0]是0的话其他数值都是0了。
4.确定遍历顺序
这是背包里求排列问题即1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶但是这两种方法不一样
所以需将target放在外循环将nums放在内循环。
每一步可以走多次这是完全背包内循环需要从前向后遍历。
5.举例来推导dp数组
略
Java代码实现
public int climbNStairs(int n,int m){int[] dp new int[n 1];dp[0] 1;for (int i 1; i n; i) {for (int j 1; j m; j) {if (i - j 0) {dp[i] dp[i - j];}}}return dp[n];
} 322. 零钱兑换
题目
322. 零钱兑换
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币以及一个整数 amount 表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
解析
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
2.确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] 1就是dp[j]考虑coins[i]
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] 1 中最小的。
递推公式dp[j] min(dp[j - coins[i]] 1, dp[j]);
3.dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0那么dp[0] 0;
考虑到递推公式的特性dp[j]必须初始化为一个最大的数否则就会在min(dp[j - coins[i]] 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
4.确定遍历顺序
本题求钱币最小个数那么钱币有顺序和没有顺序都可以都不影响钱币的最小个数。
本题并不强调集合是组合还是排列。
采用coins放在外循环target在内循环的方式。
遍历顺序为coins物品放在外循环target背包在内循环。且内循环正序。
5.举例推导dp数组
以输入coins [1, 2, 5], amount 5为例 Java代码实现
public int coinChange(int[] coins, int amount) {int max Integer.MAX_VALUE;int[] dp new int[amount 1];Arrays.fill(dp, max);dp[0] 0;for (int i 0; i coins.length; i) {for (int j coins[i]; j amount; j) {if (dp[j - coins[i]] ! max) {dp[j] Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] 1);}}}return dp[amount] max ? -1 : dp[amount];
}
279.完全平方数
题目
279. 完全平方数
给你一个整数 n 返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数其值等于另一个整数的平方换句话说其值等于一个整数自乘的积。例如1、4、9 和 16 都是完全平方数而 3 和 11 不是。
解析
1.确定dp数组dp table以及下标的含义
dp[j]和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
2.确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出 dp[j - i * i] 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]所以递推公式dp[j] min(dp[j - i * i] 1, dp[j]);
3.dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量那么dp[0]一定是0。
从递归公式dp[j] min(dp[j - i * i] 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
我们知道这是完全背包
本题是求最小数
所以本题外层for遍历背包内层for遍历物品还是外层for遍历物品内层for遍历背包都是可以的 5.举例推导dp数组
已输入n为5例dp状态图如下 Java代码实现
public int numSquares(int n) {int max Integer.MAX_VALUE;int[] dp new int[n 1];for (int i 0; i dp.length; i) {dp[i] max;}dp[0] 0;for (int i 1; i * i n; i) {for (int j i * i; j n; j) {if (dp[j - i * i] ! max) {dp[j] Math.min(dp[j], dp[j - i * i] 1);}}}return dp[n] max ? -1 : dp[n];
}
