网站制作素材网站,小说网站开发业务逻辑,做一个公司网站要多少钱,彩页设计模板第一类曲面积分#xff1a;曲面微元dσ与其投影面积微元dxdy之间的关系推导
本篇博客精简自本人关于曲面积分的博客#xff1a;详情见#xff1a;曲面积分(Surface Integral)
曲面参数化#xff08;曲面上的每个点都使用起点为原点、终点为该曲面上的点的向量表示#x…第一类曲面积分曲面微元dσ与其投影面积微元dxdy之间的关系推导
本篇博客精简自本人关于曲面积分的博客详情见曲面积分(Surface Integral)
曲面参数化曲面上的每个点都使用起点为原点、终点为该曲面上的点的向量表示 x o y xoy xoy平面中区域 R R R其实是曲面在 x o y xoy xoy平面上的投影上方的曲面其参数表示式 r ( u , v ) f ( u , v ) i g ( u , v ) j h ( u , v ) k \bold{r}(u,v)f(u,v)\bold{i}g(u,v)\bold{j}h(u,v)\bold{k} r(u,v)f(u,v)ig(u,v)jh(u,v)k
点 P P P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量分别是 r u ∂ r ( u , v ) ∂ u ∂ f ( u , v ) ∂ u i ∂ g ( u , v ) ∂ u j ∂ h ( u , v ) ∂ u k \bold{r_u}\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial u}\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\bold{i}\frac{\partial g(u,v)}{\partial u}\bold{j}\frac{\partial h(u,v)}{\partial u}\bold{k} ru∂u∂r(u,v)∂u∂f(u,v)i∂u∂g(u,v)j∂u∂h(u,v)k r v ∂ r ( u , v ) ∂ v ∂ f ( u , v ) ∂ v i ∂ g ( u , v ) ∂ v j ∂ h ( u , v ) ∂ v k \bold{r_v}\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial v}\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\bold{i}\frac{\partial g(u,v)}{\partial v}\bold{j}\frac{\partial h(u,v)}{\partial v}\bold{k} rv∂v∂r(u,v)∂v∂f(u,v)i∂v∂g(u,v)j∂v∂h(u,v)k 点P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量叉乘的数值大小为两个切向量组成四边形的面积使用该面积替代下方的曲面微元以直平面替代曲面 S 1 ∣ r u × r v ∣ S_1|\bold{r_u}×\bold{r_v}| S1∣ru×rv∣ 对 r u 、 r v r_u、r_v ru、rv进行缩放调整其大小基本和下方曲面边长大小差不多 Δ u r u 、 Δ v r v \Delta ur_u、\Delta vr_v Δuru、Δvrv现在直平面面积变为了 S ∣ Δ u r u × Δ v r v ∣ ∣ r u × r v ∣ Δ u Δ v ≈ Δ σ x y S|\Delta ur_u×\Delta vr_v||\bold{r_u}×\bold{r_v}|\Delta u\Delta v\approx \Delta\sigma_{xy} S∣Δuru×Δvrv∣∣ru×rv∣ΔuΔv≈Δσxy
曲面微元 d σ d\sigma dσ与 d u d v dudv dudv之间的关系 d σ ∣ r u × r v ∣ d u d v d\sigma|\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv dσ∣ru×rv∣dudv 若曲面的面密度不是常数即被积函数不是常数则曲面S质量为 ∬ S G ( x , y , z ) d σ ∬ R G ( f ( u , v ) , g ( u , v ) , h ( u , v ) ) ∣ r u × r v ∣ d u d v \iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma\iint\limits_{R}G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv S∬G(x,y,z)dσR∬G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))∣ru×rv∣dudv 若我们取 x u 、 y v 、 z f ( x , y ) xu、yv、zf(x,y) xu、yv、zf(x,y)其中 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)是 x o y xoy xoy平面中区域 R R R上的曲面表达式 参数化后曲面的表示式 r ( u , v ) u i v j f ( u , v ) k \bold{r}(u,v)u\bold{i}v\bold{j}f(u,v)\bold{k} r(u,v)uivjf(u,v)k 点P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量分别是 r u ∂ r ( u , v ) ∂ u i f u ′ ( u , v ) k \bold{r_u}\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial u}\bold{i}f_u(u,v)\bold{k} ru∂u∂r(u,v)ifu′(u,v)k r v ∂ r ( u , v ) ∂ v j f v ′ ( u , v ) k \bold{r_v}\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial v}\bold{j}f_v(u,v)\bold{k} rv∂v∂r(u,v)jfv′(u,v)k r u × r v ∣ i j k 1 0 f u ′ 0 1 f v ′ ∣ − f u ′ i − f v ′ j k \bold{r_u}×\bold{r_v}\left | \begin{matrix} \bold{i}\bold{j}\bold{k}\\ 1 0 f_u \\ 0 1 f_v \\ \end{matrix} \right | -f_u\bold{i}-f_v\bold{j}\bold{k} ru×rv i10j01kfu′fv′ −fu′i−fv′jk ∣ r u × r v ∣ ( − f u ′ ) 2 ( − f v ′ ) 2 1 2 f u ′ 2 f v ′ 2 1 |\bold{r_u}×\bold{r_v}|\sqrt{(-f_u)^2(-f_v)^21^2}\sqrt{f^2_uf^2_v1} ∣ru×rv∣(−fu′)2(−fv′)212 fu′2fv′21 ∣ r u × r v ∣ d u d v ( − f u ′ ) 2 ( − f v ′ ) 2 1 2 d u d v f u ′ 2 f v ′ 2 1 d u d v |\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv\sqrt{(-f_u)^2(-f_v)^21^2}dudv\sqrt{f^2_uf^2_v1}dudv ∣ru×rv∣dudv(−fu′)2(−fv′)212 dudvfu′2fv′21 dudv 将参数化后的参数替换为原参 x u 、 y v xu、yv xu、yv 曲面微元 d σ d\sigma dσ与其投影面积微元 d x d y dxdy dxdy之间的关系 d σ f x ′ 2 f y ′ 2 1 d x d y d\sigma\sqrt{f^2_xf^2_y1}dxdy dσfx′2fy′21 dxdy 区域R曲面投影上方曲面的面积为 ∬ R d σ ∬ R f x ′ 2 f y ′ 2 1 d x d y \iint\limits_{R}d\sigma\iint\limits_{R}\sqrt{f^2_xf^2_y1}dxdy R∬dσR∬fx′2fy′21 dxdy 曲面显式表达式 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)曲面隐式表达式 G ( x , y , z ) z − f ( x , y ) G(x,y,z)z-f(x,y) G(x,y,z)z−f(x,y) G x ′ ( x , y , z ) − f x ′ ( x , y ) G y ′ ( x , y , z ) − f y ′ ( x , y ) G z ′ ( x , y , z ) 1 G_x(x,y,z)-f_x(x,y)\\ ~\\ G_y(x,y,z)-f_y(x,y)\\ ~\\ G_z(x,y,z)1 Gx′(x,y,z)−fx′(x,y) Gy′(x,y,z)−fy′(x,y) Gz′(x,y,z)1 若曲面的面密度不是常数即被积函数不是常数则曲面S质量为 ∬ S G ( x , y , z ) d σ ∬ R G ( x , y , f ( x , y ) ) f x ′ 2 f y ′ 2 1 d x d y \iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma\iint\limits_{R}G(x,y,f(x,y))\sqrt{f^2_xf^2_y1}dxdy S∬G(x,y,z)dσR∬G(x,y,f(x,y))fx′2fy′21 dxdy
