做景观要知道哪些网站,企业网站 论文,创业论坛网站有哪些,微信商城软件开发文章目录行列式#x1f33b; 行列式的定义#x1f33c; 行列式的性质#x1f337; 一些定理#x1f940; 行列式的计算#x1f33a; 克莱姆法则行列式
行列式的本质#xff0c;就是一个数值。
#x1f33b; 行列式的定义
有三种定义#xff1a;1、按行展开#xff…
文章目录行列式 行列式的定义 行列式的性质 一些定理 行列式的计算 克莱姆法则行列式
行列式的本质就是一个数值。 行列式的定义
有三种定义1、按行展开2、按列展开3、即不按行也不按列的展开。
按行展开时行标取标准排列列标取所有可能。 ∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣∑j1j2...jn(−1)N(j1j2...jn)aij1aij2...aijn\left| \begin{array}{cccc} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{n1} a_{n2} \cdots a_{nn} \\ \end{array} \right| \sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{N(j_1j_2...j_n)}a_{ij_1}a_{ij_2}...a_{ij_n} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣j1j2...jn∑(−1)N(j1j2...jn)aij1aij2...aijn 行列式的性质
1、转置
转置不会改变行列式的值。
推论对行成立的性质对列也成立。 DTDD^TDDTD
2、对换
对换两行行列式的值变号
∣123456789∣−∣456123789∣\left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 9 \end{array} \right|- \left| \begin{array}{cccc} 4 5 6 \\ 1 2 3 \\ 7 8 9 \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣417528639∣∣∣∣∣∣
3、行相等
行列式中存在两行对应元素相等时行列式的值为0。
∣123456123∣0\left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 1 2 3 \end{array} \right|0 ∣∣∣∣∣∣141252363∣∣∣∣∣∣0
4、提因子
某一行元素都乘以k等于用k乘以D。
∣123224789∣2∣123112789∣\left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 2 2 4 \\ 7 8 9 \end{array} \right|2 \left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 1 1 2 \\ 7 8 9 \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣127228349∣∣∣∣∣∣2∣∣∣∣∣∣117218329∣∣∣∣∣∣
5、行成比例
两行元素对应成比例则行列式值为0。
∣123456246∣0\left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 2 4 6 \end{array} \right|0 ∣∣∣∣∣∣142254366∣∣∣∣∣∣0
推论某一行全为0则行列式值为0。
6、可拆性
只拆一行其余行保持不变。 ∣1237823910889∣∣123729889∣∣1238310889∣\left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 78 23 910 \\ 8 8 9 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 7 2 9 \\ 8 8 9 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cccc} 1 2 3 \\ 8 3 10 \\ 8 8 9 \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣1788223839109∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣178228399∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1882383109∣∣∣∣∣∣
7、行间相加
某一行乘以一个数加到另一行上去行列式的值不变。 一些定理
1、按某行展开
按一行展开有降阶效果。例如按第 i 行展开每一项都是元素乘以对应的代数余子式。 Dai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3...ainAinDa_{i1}A_{i1}a_{i2}A_{i2}a_{i3}A_{i3}...a_{in}A_{in}Dai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3...ainAin
2、异乘变零
某行元素与另一行元素的代余式成绩之和等于零。
ai1Aj1ai2Aj2ai3Aj3...ainAjn0(i̸j)a_{i1}A_{j1}a_{i2}A_{j2}a_{i3}A_{j3}...a_{in}A_{jn}0(i\notj)ai1Aj1ai2Aj2ai3Aj3...ainAjn0(ij)
3、拉普拉斯
取定 k 行有 k 行元素组成的所有 k 阶子式与代数余子式乘积之和等于D。
4、行列式相乘
同阶行列式相乘时规则同矩阵乘法。非同阶就分别计算两个行列式的值然后相乘好了。 行列式的计算
两种基本的计算思路
化成上三角行列式按某一行零多的一行展开
然后就是一些特殊的行列式的解法略。 1、对角型 ∣xaaaxaaax∣\left| \begin{array}{cccc} x a a \\ a x a \\ a a x \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣xaaaxaaax∣∣∣∣∣∣ 2、三叉型 ∣x1b1b2b3a1x200a20x30a300x4∣\left| \begin{array}{cccc} x_1 b_1 b_2 b_3\\ a_1 x_2 0 0 \\ a_2 0 x_3 0 \\ a_3 0 0 x_4 \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣∣∣x1a1a2a3b1x200b20x30b300x4∣∣∣∣∣∣∣∣ 3、范德蒙德 ∣111x1x2x3x12x22x32∣\left| \begin{array}{cccc} 1 1 1 \\ x_1 x_2 x_3 \\ x_1^2 x_2^2 x_3^2 \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣1x1x121x2x221x3x32∣∣∣∣∣∣ 克莱姆法则
用于解方程组但计算量大一般不用。
定理“齐次线性方程组有非零解“是”系数行列式的值为零“的充分必要条件。
