黄石城乡建设网站,企业宣传ppt模板,删除wordpress修订版本号,jsp网站开发引用文献文章目录 点估计矩估计法最大似然估计法 区间估计单个正态总体参数的区间估计均值 μ \mu μ 的区间估计方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的区间估计 两个正态总体参数的区间估计#xff08;略#xff09;补充#xff1a;单侧置信区间 点估计
矩估计法
【定义】设 X X X 是随机… 文章目录 点估计矩估计法最大似然估计法 区间估计单个正态总体参数的区间估计均值 μ \mu μ 的区间估计方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的区间估计 两个正态总体参数的区间估计略补充单侧置信区间 点估计
矩估计法
【定义】设 X X X 是随机变量若 E ( X k ) ( k 1 , 2 , . . . ) E(X^k) (k1,2,...) E(Xk)(k1,2,...) 存在则称其为 X X X 的 k k k 阶矩。
【方法】设待估计的参数 θ 1 , θ 2 , . . . , θ n \theta_1,\theta_2,... ,\theta_n θ1,θ2,...,θn设 { μ 1 μ 1 ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ n ) E ( X 1 ) μ 2 μ 2 ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ n ) E ( X 2 ) . . . μ n μ n ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ n ) E ( X n ) \begin{cases} \mu_1 \mu_1 (\theta_1,\theta_2,... ,\theta_n) E(X^1) \\ \mu_2 \mu_2 (\theta_1,\theta_2,... ,\theta_n) E(X^2) \\ ... \\ \mu_n \mu_n (\theta_1,\theta_2,... ,\theta_n) E(X^n) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧μ1μ1(θ1,θ2,...,θn)E(X1)μ2μ2(θ1,θ2,...,θn)E(X2)...μnμn(θ1,θ2,...,θn)E(Xn)
这是关于 θ i \theta_i θi 的方程组解该方程组可得 { θ 1 θ 1 ( μ 1 , μ 2 , . . . , μ n ) θ 2 θ 2 ( μ 1 , μ 2 , . . . , μ n ) . . . θ n θ n ( μ 1 , μ 2 , . . . , μ n ) \begin{cases} \theta_1 \theta_1 (\mu_1,\mu_2,... ,\mu_n) \\ \theta_2 \theta_2 (\mu_1,\mu_2,... ,\mu_n) \\ ... \\ \theta_n \theta_n (\mu_1,\mu_2,... ,\mu_n) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧θ1θ1(μ1,μ2,...,μn)θ2θ2(μ1,μ2,...,μn)...θnθn(μ1,μ2,...,μn)
以 A l 1 n ∑ i 1 n X i l A_l \frac{1}{n} \sum_{i1}^n X_i^l Aln1∑i1nXil 代替上式中的 μ l ( l 1 , 2 , . . . , n ) \mu_l(l1,2,...,n) μl(l1,2,...,n) 即可得到矩估计量。
注意 A 1 1 n ∑ i 1 n X i X ˉ A_1 \frac{1}{n} \sum_{i1}^n X_i \bar{X} A1n1∑i1nXiXˉ A 2 1 n ∑ i 1 n X i 2 A_2 \frac{1}{n} \sum_{i1}^n X_i^2 A2n1∑i1nXi2 A 2 − A 1 2 D ( X ) A_2 - A_1^2 D(X) A2−A12D(X)
【举例】
当 n 1 n1 n1 时即待估计参数有一个令 μ 1 E ( X ) \mu_1 E(X) μ1E(X)然后解出 θ 1 \theta_1 θ1最后用 A 1 A_1 A1 代替 μ 1 \mu_1 μ1 即可。当 n 2 n2 n2 时即待估计参数有两个令 { μ 1 E ( X ) μ 2 E ( X 2 ) D ( X ) [ E ( X ) ] 2 \begin{cases} \mu_1 E(X) \\ \mu_2 E(X^2) D(X) [E(X)]^2 \end{cases} {μ1E(X)μ2E(X2)D(X)[E(X)]2
然后解出 θ 1 , θ 2 \theta_1, \theta_2 θ1,θ2最后用 A 1 , A 2 A_1, A_2 A1,A2 代替 μ 1 , μ 2 \mu_1, \mu_2 μ1,μ2 即可。
最大似然估计法
【定义】若总体 X X X 的概率密度函数为 f ( x ; θ ) f(x;\theta) f(x;θ)其中 θ ∈ Θ \theta \in \Theta θ∈Θ 为参数向量 Θ \Theta Θ 为参数 θ \theta θ 可能取值的范围 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn 为来自 X X X 的一个样本则联合概率密度函数记为 L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; θ ) ∏ i 1 n f ( x i ; θ ) L(x_1,x_2,...,x_n; \theta) \prod_{i1}^{n} f(x_i; \theta) L(x1,x2,...,xn;θ)i1∏nf(xi;θ)
称为参数 θ \theta θ 的似然函数。
【思想】求参数 θ \theta θ 的估计值使得似然函数取得最大值。
【方法】求极大似然估计的一般步骤如下
写出似然函数 L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; θ ) ∏ i 1 n f ( x i ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ m ) L(x_1,x_2,...,x_n; \theta) \prod_{i1}^{n} f(x_i; \theta_1, \theta_2,..., \theta_m) L(x1,x2,...,xn;θ)i1∏nf(xi;θ1,θ2,...,θm)
对似然函数取对数 ln L ∑ i 1 n ln f ( x i ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ m ) \ln L \sum_{i1}^{n} \ln f(x_i; \theta_1, \theta_2,..., \theta_m) lnLi1∑nlnf(xi;θ1,θ2,...,θm)
对 θ j ( j 1 , 2 , . . . , m ) \theta_j (j1,2,...,m) θj(j1,2,...,m) 分别求偏导建立似然方程组 ∂ ln L ∂ θ j 0 ( j 1 , 2 , . . . , m ) \frac{\partial \ln L}{\partial \theta_j} 0 \ \ (j1,2,...,m) ∂θj∂lnL0 (j1,2,...,m)
解得 θ j ^ \hat{\theta_j} θj^ 为 θ j \theta_j θj 的极大似然估计量不是估计量
区间估计
【定义】设总体的未知参数为 θ \theta θ由样本 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn 确定两个统计量 θ 1 ^ θ 1 ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) , θ 2 ^ θ 2 ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta_1} \hat{\theta_1} (X_1,X_2,...,X_n), \hat{\theta_2} \hat{\theta_2} (X_1,X_2,...,X_n) θ1^θ1^(X1,X2,...,Xn),θ2^θ2^(X1,X2,...,Xn)
对于给定的实数 α ( o α 1 ) \alpha(o\alpha1) α(oα1)满足 P { θ 1 ^ θ θ 2 ^ } ≥ 1 − α P\{ \hat{\theta_1} \theta \hat{\theta_2} \} \geq 1-\alpha P{θ1^θθ2^}≥1−α
则称随机区间 ( θ 1 ^ , θ 2 ^ ) (\hat{\theta_1}, \hat{\theta_2}) (θ1^,θ2^) 是 θ \theta θ 的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的置信区间 1 − α 1-\alpha 1−α 为置信水平 α \alpha α 为显著性水平通常取值 0.1 或 0.05。
【枢轴量法】
选取待估参数 θ \theta θ 的估计量遵从估计量的优良性准则如 X ˉ → μ \bar{X} \rightarrow \mu Xˉ→μ S 2 → σ 2 S^2 \rightarrow \sigma^2 S2→σ2建立枢轴量 W W ( X 1 , X 2 , . . . , X n ; θ ) W W(X_1,X_2,...,X_n; \theta) WW(X1,X2,...,Xn;θ)使得 W W W 不依赖于 θ \theta θ 及其他未知参数确定 W W W 的分布通常选取经典分布根据 W W W 的分布建立概率等式 P { W 1 − α / 2 W W α / 2 } 1 − α P\{ W_{1-\alpha/2} W W_{\alpha/2} \} 1-\alpha P{W1−α/2WWα/2}1−α
将上式等价变形为 P { a θ b } 1 − α P\{ a \theta b \} 1-\alpha P{aθb}1−α ( a , b ) (a,b) (a,b) 即为 θ \theta θ 的一个置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的置信区间。
单个正态总体参数的区间估计
均值 μ \mu μ 的区间估计
1 σ 2 \sigma^2 σ2 已知
根据中心极限定理选取枢轴量 X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1) σ/n Xˉ−μ∼N(0,1)
注意右边的枢轴量即标准正态分布并不依赖于任何未知参数因此有 P { − u α / 2 X ˉ − μ σ / n u α / 2 } 1 − α P\left\{ -u_{\alpha/2} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} u_{\alpha/2} \right\} 1-\alpha P{−uα/2σ/n Xˉ−μuα/2}1−α 注对于标准正态分布有 u α − u 1 − α u_{\alpha} -u_{1-\alpha} uα−u1−α 等价变形为 P { X ˉ − σ n u α / 2 μ X ˉ σ n u α / 2 } 1 − α P\left\{ \bar{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2} \mu \bar{X} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2} \right\} 1-\alpha P{Xˉ−n σuα/2μXˉn σuα/2}1−α
因此 μ \mu μ 的一个置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的置信区间为 ( X ˉ − σ n u α / 2 , X ˉ σ n u α / 2 ) \left(\bar{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2}, \bar{X} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2} \right) (Xˉ−n σuα/2,Xˉn σuα/2) 注有些教科书上用的不是 u u u而是 z z z其实两者表示的意思是一样的。 2 σ 2 \sigma^2 σ2 未知
考虑 S 2 S^2 S2 为 σ 2 \sigma^2 σ2 的无偏估计根据抽样分布定理应选取枢轴量 X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) S/n Xˉ−μ∼t(n−1)
注意右边的枢轴量即自由度为 n − 1 n-1 n−1 的 t t t 分布并不依赖于任何未知参数因此有 P { − t α / 2 ( n − 1 ) X ˉ − μ S / n t α / 2 ( n − 1 ) } 1 − α P\left\{ -t_{\alpha/2}(n-1) \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right\} 1-\alpha P{−tα/2(n−1)S/n Xˉ−μtα/2(n−1)}1−α 注对于自由度为 n n n 的 t t t 分布有 t α ( n ) − t 1 − α ( n ) t_{\alpha}(n) -t_{1-\alpha}(n) tα(n)−t1−α(n) 等价变形为 P { X ˉ − S n t α / 2 ( n − 1 ) μ X ˉ S n t α / 2 ( n − 1 ) } 1 − α P\left\{ \bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \mu \bar{X} \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right\} 1-\alpha P{Xˉ−n Stα/2(n−1)μXˉn Stα/2(n−1)}1−α
因此 μ \mu μ 的一个置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的置信区间为 ( X ˉ − S n t α / 2 ( n − 1 ) , X ˉ S n t α / 2 ( n − 1 ) ) \left(\bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \bar{X} \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right) (Xˉ−n Stα/2(n−1),Xˉn Stα/2(n−1))
方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的区间估计
1 μ \mu μ 已知
由抽样分布定理应选取枢轴量 χ 2 1 σ 2 ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2 \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n) χ2σ21i1∑n(Xi−μ)2∼χ2(n)
注意右边的枢轴量即自由度为 n n n 的 χ \chi χ 分布并不依赖于任何未知参数因此有 P { χ 1 − α / 2 2 ( n ) 1 σ 2 ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 χ α / 2 2 ( n ) } 1 − α P\left\{ \chi_{1-\alpha/2}^2(n) \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i1}^n (X_i - \mu)^2 \chi_{\alpha/2}^2(n) \right\} 1-\alpha P{χ1−α/22(n)σ21i1∑n(Xi−μ)2χα/22(n)}1−α
等价变形为 P { ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 χ α / 2 2 ( n ) σ 2 ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 χ 1 − α / 2 2 ( n ) } 1 − α P\left\{ \frac{\sum_{i1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n)} \sigma^2 \frac{\sum_{i1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n)} \right\} 1-\alpha P{χα/22(n)∑i1n(Xi−μ)2σ2χ1−α/22(n)∑i1n(Xi−μ)2}1−α
因此 σ 2 \sigma^2 σ2 的一个置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的置信区间为 ( ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 χ α / 2 2 ( n ) , ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 χ 1 − α / 2 2 ( n ) ) \left(\frac{\sum_{i1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n)}, \frac{\sum_{i1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n)} \right) (χα/22(n)∑i1n(Xi−μ)2,χ1−α/22(n)∑i1n(Xi−μ)2)
2 μ \mu μ 未知
考虑 S 2 S^2 S2 为 σ 2 \sigma^2 σ2 的无偏估计由抽样分布定理应选取枢轴量 χ 2 n − 1 σ 2 S 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2 \frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \sim \chi^2(n-1) χ2σ2n−1S2∼χ2(n−1)
注意右边的枢轴量即自由度为 n − 1 n-1 n−1 的 χ \chi χ 分布并不依赖于任何未知参数因此有 P { χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) n − 1 σ 2 S 2 χ α / 2 2 ( n − 1 ) } 1 − α P\left\{ \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1) \frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \chi_{\alpha/2}^2(n-1) \right\} 1-\alpha P{χ1−α/22(n−1)σ2n−1S2χα/22(n−1)}1−α
等价变形为 P { ( n − 1 ) S 2 χ α / 2 2 ( n ) σ 2 ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α / 2 2 ( n ) } 1 − α P\left\{ \frac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n)} \sigma^2 \frac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n)} \right\} 1-\alpha P{χα/22(n)(n−1)S2σ2χ1−α/22(n)(n−1)S2}1−α
因此 σ 2 \sigma^2 σ2 的一个置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的置信区间为 ( ( n − 1 ) S 2 χ α / 2 2 ( n ) , ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α / 2 2 ( n ) ) \left(\frac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n)} \right) (χα/22(n)(n−1)S2,χ1−α/22(n)(n−1)S2)
两个正态总体参数的区间估计略
略
补充单侧置信区间
【定义 1】设总体的未知参数为 θ \theta θ由样本 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn 确定的统计量 θ ^ θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta} \hat{\theta} (X_1,X_2,...,X_n) θ^θ^(X1,X2,...,Xn)
对于给定的实数 α ( o α 1 ) \alpha(o\alpha1) α(oα1)满足 P { θ θ ^ } ≥ 1 − α , ∀ θ ∈ Θ P\{ \theta \hat{\theta} \} \geq 1-\alpha, \forall \theta \in \Theta P{θθ^}≥1−α,∀θ∈Θ
则称随机区间 ( θ ^ , ∞ ) (\hat{\theta}, \infty) (θ^,∞) 是 θ \theta θ 的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的单侧置信区间 θ ^ \hat{\theta} θ^ 称为 θ \theta θ 的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的单侧置信下限。
【定义 2】设总体的未知参数为 θ \theta θ由样本 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn 确定的统计量 θ ^ θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat{\theta} \hat{\theta} (X_1,X_2,...,X_n) θ^θ^(X1,X2,...,Xn)
对于给定的实数 α ( o α 1 ) \alpha(o\alpha1) α(oα1)满足 P { θ θ ^ } ≥ 1 − α , ∀ θ ∈ Θ P\{ \theta \hat{\theta} \} \geq 1-\alpha, \forall \theta \in \Theta P{θθ^}≥1−α,∀θ∈Θ
则称随机区间 ( − ∞ , θ ^ ) (-\infty, \hat{\theta}) (−∞,θ^) 是 θ \theta θ 的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的单侧置信区间 θ ^ \hat{\theta} θ^ 称为 θ \theta θ 的置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的单侧置信上限。
【举例】对于正态总体 X X X若均值 μ \mu μ、方差 σ 2 \sigma^2 σ2 均未知设 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 是一个样本由 X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) S/n Xˉ−μ∼t(n−1)
得 P { X ˉ − μ S / n t α ( n − 1 ) } 1 − α P\left\{ \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1) \right\} 1-\alpha P{S/n Xˉ−μtα(n−1)}1−α
等价变形为 P { μ X ˉ − S n t α ( n − 1 ) } 1 − α P\left\{ \mu \bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1) \right\} 1-\alpha P{μXˉ−n Stα(n−1)}1−α
因此 μ \mu μ 的一个置信水平为 1 − α 1-\alpha 1−α 的单侧置信区间为 ( X ˉ − S n t α ( n − 1 ) , ∞ ) \left(\bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n-1), \infty \right) (Xˉ−n Stα(n−1),∞)
【总结】在形式上只需将置信区间的上下限中的 α / 2 \alpha/2 α/2 改成 α \alpha α就能得到相应的单侧置信上下限了。
