专业制作网站费用,手机网站开发周期,游戏网页设计模板图片,注册城乡规划师报考条件2022文章目录三维球面坐标史瓦西时空三维球面坐标
Einsteinpy中提供了克氏符模型#xff0c;可通过ChristoffelSymbols获取。简单起见#xff0c;先以最直观的三维球面为例#xff0c;来用Einsteinpy查看其克氏符的表达形式。
三维球面的度规张量可表示为 g001g11r2g22r2sin…
文章目录三维球面坐标史瓦西时空三维球面坐标
Einsteinpy中提供了克氏符模型可通过ChristoffelSymbols获取。简单起见先以最直观的三维球面为例来用Einsteinpy查看其克氏符的表达形式。
三维球面的度规张量可表示为
g001g11r2g22r2sin2θgij0,i̸j\begin{aligned} g_{00}1\\ g_{11}r^2\\ g_{22}r^2\sin^2\theta\\ g_{ij}0, i\notj \end{aligned} g00g11g22gij1r2r2sin2θ0,ij
克氏符这个概念是从度规张量的协变导数为0的事实中得到的换言之可通过度规来得到克氏符的分量表达式
import numpy as np
import sympy
from einsteinpy.symbolic import MetricTensor, ChristoffelSymbols, RiemannCurvatureTensorr, th, phi sympy.symbols(r theta phi)
# 球坐标度规
metric np.diagflat([1,r**2,(r**2)*(sympy.sin(th)**2)])
m_obj.tensor()
# [[1, 0, 0], [0, r**2, 0], [0, 0, r**2*sin(theta)**2]]
ch ChristoffelSymbols.from_metric(m_obj)
sympy.latex(ch.tensor())打印出来如下
[[0000−r000−rsin2(θ)][01r01r0000−sin(θ)cos(θ)][001r00cos(θ)sin(θ)1rcos(θ)sin(θ)0]]\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}0 0 0\\0 - r 0\\0 0 - r \sin^{2}{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}0 \frac{1}{r} 0\\\frac{1}{r} 0 0\\0 0 - \sin{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}0 0 \frac{1}{r}\\0 0 \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}}\\\frac{1}{r} \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}} 0\end{matrix}\right]\end{matrix}\right] 0000−r000−rsin2(θ)0r10r10000−sin(θ)cos(θ)00r100sin(θ)cos(θ)r1sin(θ)cos(θ)0
这就是克氏符的真实面貌。
史瓦西时空
下面来搞一下史瓦西时空中的克氏符而在此之前先给出史瓦西时空的度规
t, r, th, phi sympy.symbols(t r theta phi)
G, M, c, a sympy.symbols(G M c a)
c2 c**2
# using metric values of schwarschild space-time
# a is schwarzschild radius
list2d np.diagflat([1-a/r, -1 / ((1 - (a/r)) * c2), -1 * (r**2)/c2,-1 * (r**2) * (sympy.sin(th)**2) / c2])
sch MetricTensor(list2d, [t, r, th, phi])
sympy.latex(sch.tensor())即其度规张量为
[−ar10000−1c2(−ar1)0000−r2c20000−r2sin2(θ)c2]\left[\begin{matrix}- \frac{a}{r} 1 0 0 0\\0 - \frac{1}{c^{2} \left(- \frac{a}{r} 1\right)} 0 0\\0 0 - \frac{r^{2}}{c^{2}} 0\\0 0 0 - \frac{r^{2} \sin^{2}{\left(\theta \right)}}{c^{2}}\end{matrix}\right] −ra10000−c2(−ra1)10000−c2r20000−c2r2sin2(θ)
上式中aaa为史瓦西半径MMM为天体质量。
接下来就可以请出史瓦西空间中的克氏符了
sch_ch ChristoffelSymbols.from_metric(sch)
sympy.latex(sch_ch.tensor())[[0a2r2(−ar1)00a2r2(−ar1)00000000000][−a(ac22r−c22)r20000a(ac22r−c22)c2r2(−ar1)200002r(ac22r−c22)c200002r(ac22r−c22)sin2(θ)c2][0000001r001r00000−sin(θ)cos(θ)][00000001r000cos(θ)sin(θ)01rcos(θ)sin(θ)0]]\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}0 \frac{a}{2 r^{2} \left(- \frac{a}{r} 1\right)} 0 0\\\frac{a}{2 r^{2} \left(- \frac{a}{r} 1\right)} 0 0 0\\0 0 0 0\\0 0 0 0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}- \frac{a \left(\frac{a c^{2}}{2 r} - \frac{c^{2}}{2}\right)}{r^{2}} 0 0 0\\0 \frac{a \left(\frac{a c^{2}}{2 r} - \frac{c^{2}}{2}\right)}{c^{2} r^{2} \left(- \frac{a}{r} 1\right)^{2}} 0 0\\0 0 \frac{2 r \left(\frac{a c^{2}}{2 r} - \frac{c^{2}}{2}\right)}{c^{2}} 0\\0 0 0 \frac{2 r \left(\frac{a c^{2}}{2 r} - \frac{c^{2}}{2}\right) \sin^{2}{\left(\theta \right)}}{c^{2}}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}0 0 0 0\\0 0 \frac{1}{r} 0\\0 \frac{1}{r} 0 0\\0 0 0 - \sin{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}0 0 0 0\\0 0 0 \frac{1}{r}\\0 0 0 \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}}\\0 \frac{1}{r} \frac{\cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}} 0\end{matrix}\right]\end{matrix}\right] 02r2(−ra1)a002r2(−ra1)a00000000000−r2a(2rac2−2c2)0000c2r2(−ra1)2a(2rac2−2c2)0000c22r(2rac2−2c2)0000c22r(2rac2−2c2)sin2(θ)000000r100r100000−sin(θ)cos(θ)0000000r1000sin(θ)cos(θ)0r1sin(θ)cos(θ)0