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Python半隐式欧拉方法
在数学中半隐式欧拉方法也称为辛欧拉、半显式欧拉、欧拉-克罗默和牛顿-斯托默-韦莱是欧拉方法的一种改进用于求解哈密顿方程哈密顿方程是经典力学中出现的常微分方程组。半隐式欧拉方法是一种辛积分器因此比标准欧拉方法能得到更好的结果。
半隐式欧拉方法可以应用于一对以下形式的微分方程 d x d t f ( t , v ) d v d t g ( t , x ) \begin{aligned} \frac{d x}{d t}f(t, v) \\ \frac{d v}{d t}g(t, x) \end{aligned} dtdxf(t,v)dtdvg(t,x) 其中 f f f 和 g g g 是给定函数。这里 x x x和 v v v可以是标量或向量。如果哈密顿量具有以下形式则哈密顿力学中的运动方程采用这种形式 H T ( t , v ) V ( t , x ) HT(t, v)V(t, x) HT(t,v)V(t,x) 微分方程需在初始条件下求解 x ( t 0 ) x 0 , v ( t 0 ) v 0 x\left(t_0\right)x_0, \quad v\left(t_0\right)v_0 x(t0)x0,v(t0)v0
欧拉方法对于振荡系统存在一个根本问题。再看一下欧拉方法的近似得到下一个时间间隔的位置 x ( t i Δ t ) ≈ x ( t i ) v ( t i ) Δ t x\left(t_i\Delta t\right) \approx x\left(t_i\right)v\left(t_i\right) \Delta t x(tiΔt)≈x(ti)v(ti)Δt 它使用时间间隔开始时的速度值来将解逐步推向未来。
由于欧拉方法通过线性近似将解投影到未来并假设区间开始时的导数值因此它对于振荡函数来说不是很好。改进欧拉方法的一个聪明的想法是使用第二个方程的导数的更新值。
纯欧拉方法适用 x ( t 0 ) x 0 , x i 1 x i v i Δ t v ( t 0 ) v 0 , v i 1 v i − ω 2 x i Δ t \begin{aligned} x\left(t_0\right)x_0, x_{i1}x_iv_i \Delta t \\ v\left(t_0\right)v_0, v_{i1}v_i-\omega^2 x_i \Delta t \end{aligned} x(t0)x0,v(t0)v0,xi1xiviΔtvi1vi−ω2xiΔt 如果在 v v v 的方程中您使用了刚刚计算的值 x i 1 x_{i1} xi1 会怎样像这样 x ( t 0 ) x 0 , x i 1 x i v i Δ t v ( t 0 ) v 0 , v i 1 v i − ω 2 x i 1 Δ t \begin{aligned} x\left(t_0\right)x_0, \quad x_{i1}x_iv_i \Delta t \\ v\left(t_0\right)v_0, \quad v_{i1}v_i-\omega^2 x_{i1} \Delta t \\ \end{aligned} x(t0)x0,xi1xiviΔtv(t0)v0,vi1vi−ω2xi1Δt 请注意第二个方程右侧的 x i 1 x_{i1} xi1这是更新后的值给出时间间隔结束时的加速度。这种修改后的方案称为欧拉-克罗默方法。
代码实现
def euler_cromer(state, rhs, dt):mid_state state rhs(state)*dt # Euler stepmid_derivs rhs(mid_state) # updated derivativesnext_state np.array([mid_state[0], state[1] mid_derivs[1]*dt])return next_state模拟数据
w 2
period 2*np.pi/w
dt period/200
T 800*period
N round(T/dt)print(The number of time steps is {}..format( N ))
print(The time increment is {}.format( dt ))t np.linspace(0, T, N)x0 2
v0 0 num_sol np.zeros([N,2])
num_sol[0,0] x0
num_sol[0,1] v0for i in range(N-1):num_sol[i1] euler_cromer(num_sol[i], springmass, dt)The number of time steps is 160000. The time increment is 0.015707963267948967
首先得到解析解。然后您选择绘制振荡运动的前几个周期数值和解析。
x_an x0*np.cos(w * t)iend 800
fig plt.figure(figsize(6,4))
plt.plot(t[:iend], num_sol[:iend, 0], linewidth2, linestyle--, labelNumerical solution)
plt.plot(t[:iend], x_an[:iend], linewidth1, linestyle-, labelAnalytical solution)
plt.xlabel(Time [s])
plt.ylabel($x$ [m])
plt.title(Spring-mass system, with Euler-Cromer method.\n);该图显示欧拉-克罗默不存在振幅增大的问题。从这个意义上讲你应该对此感到满意。但是如果你绘制一段较长模拟的末尾你就会发现它确实开始偏离解析解。
istart 400fig plt.figure(figsize(6,4))plt.plot(t[-istart:], num_sol[-istart:, 0], linewidth2, linestyle--, labelNumerical solution)
plt.plot(t[-istart:], x_an[-istart:], linewidth1, linestyle-, labelAnalytical solution)
plt.xlabel(Time [s])
plt.ylabel($x$ [m])
plt.title(Spring-mass system, with Euler-Cromer method. \n);观察一段很长的运行中的最后几次振荡即使时间增量很小也会发现轻微的相位差。因此尽管欧拉-克罗默方法解决了欧拉方法的一个大问题但它仍然存在一些错误。它仍然是一阶方法
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