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2. 内积和范数
2.1 内积的定义
从代数的角度来说#xff0c;内积是两个向量之间的一种…观前提醒这是工科AI相关的数学基础的学习笔记不是数学专业的文章所以没有严谨的证明和定义数院大神请勿批评
2. 内积和范数
2.1 内积的定义
从代数的角度来说内积是两个向量之间的一种运算其结果是一个实数。 设由两个 n n n维向量 x [ x 1 x 2 ⋯ x n ] , y [ y 1 y 2 ⋯ y n ] \mathbf{x}\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n} \end{array}\right], \mathbf{y}\left[\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n} \end{array}\right] x x1x2⋯xn ,y y1y2⋯yn 令 x ⋅ y x 1 y 1 x 2 y 2 ⋯ x n y n \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}x_{1} y_{1}x_{2} y_{2}\cdotsx_{n} y_{n} x⋅yx1y1x2y2⋯xnyn x ⋅ y \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} x⋅y为向量 x \mathbf{x} x和向量 y \mathbf{y} y的内积。 内积具有下列性质其中 x , y , z \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} x,y,z为 n n n维向量 λ \lambda λ为实数 x ⋅ y y ⋅ x \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}\mathbf{y}\cdot\mathbf{x} x⋅yy⋅x ( λ x ) ⋅ y x ⋅ ( λ y ) (\lambda\mathbf{x})\cdot\mathbf{y}\mathbf{x}\cdot(\lambda\mathbf{y}) (λx)⋅yx⋅(λy) ( x y ) ⋅ z x ⋅ z y ⋅ z (\mathbf{x}\mathbf{y})\cdot\mathbf{z}\mathbf{x}\cdot\mathbf{z}\mathbf{y}\cdot\mathbf{z} (xy)⋅zx⋅zy⋅z当 x 0 \mathbf{x}\mathbf{0} x0时 x ⋅ x 0 \mathbf{x}\cdot\mathbf{x}0 x⋅x0当 x ≠ 0 \mathbf{x}\ne\mathbf{0} x0时 x ⋅ x 0 \mathbf{x}\cdot\mathbf{x}0 x⋅x0.
2.2 范数的定义
2.2.1范数的定义
范数定义了向量空间里的距离范数能将一组实数列表向量映射成一个实数它的出现使得向量之间的比较称为了可能。其实就是向量的长度 如果向量 x ∈ R n x\in\mathbb{R}^{n} x∈Rn的某个实值函数 f ( x ) ∣ ∣ x ∣ ∣ f(x)||x|| f(x)∣∣x∣∣满足
正定性 ∣ ∣ x ∣ ∣ ⩾ 0 ||x||\geqslant 0 ∣∣x∣∣⩾0且 ∣ ∣ x ∣ ∣ 0 ||x||0 ∣∣x∣∣0当且仅当 x 0 x0 x0齐次性对任意实数 α \alpha α都有 ∣ ∣ α x ∣ ∣ ∣ α ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\alpha x|||\alpha|\cdot||x|| ∣∣αx∣∣∣α∣⋅∣∣x∣∣三角不等式对任意 x , y ∈ R n x,y\in\mathbb{R}^{n} x,y∈Rn都有 ∣ ∣ x y ∣ ∣ ⩽ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ||xy||\leqslant||x||||y|| ∣∣xy∣∣⩽∣∣x∣∣∣∣y∣∣
满足上述三条性质则称 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| ∣∣x∣∣为 R n \mathbb{R}^{n} Rn上的一个向量范数。
2.2.2 常见的范数
常用的向量范数有
L1范数也叫曼哈顿距离其公式为 ∥ x ∥ 1 ∑ i ∣ x i ∣ \|x\|_{1}\sum\limits_{i}\left|x_{i}\right| ∥x∥1i∑∣xi∣它是一个向量中所有元素的绝对值之和L2范数也叫欧几里得距离其公式为 ∥ x ∥ 2 ∑ i x i 2 \|x\|_{2}\sqrt{\sum\limits_{i} x_{i}^{2}} ∥x∥2i∑xi2 对一个向量中所有元素取平方和然后再开方。
2.3 内积的几何解释
知道范数的本质是距离之后我们就可以从几何角度来解释内积内积定义了向量空间里的角度。比如说在向量空间中存在两个向量 u \mathbf{u} u和 v \mathbf{v} v它们之间的夹角是 θ \theta θ. u ∙ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ \mathbf{u} \bullet \mathbf{v}\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| \cos \theta u∙v∥u∥∥v∥cosθ
