做神马网站优化快速排,网站系统建设架构,wordpress 生成po,电子商务营销手段文章目录 矩阵方程有解判定定理线性方程组有解判定特化:齐次线性方程组有解判定推广:矩阵方程 A X B AXB AXB有解判定证明推论 矩阵方程有解判定定理
线性方程组有解判定 线性方程组 A x b A\bold{x}\bold{b} Axb有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵 ( A , b ) (A,… 文章目录 矩阵方程有解判定定理线性方程组有解判定特化:齐次线性方程组有解判定推广:矩阵方程 A X B AXB AXB有解判定证明推论 矩阵方程有解判定定理
线性方程组有解判定 线性方程组 A x b A\bold{x}\bold{b} Axb有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵 ( A , b ) (A,\bold{b}) (A,b)具有相同的秩 R ( A ) R ( A , b ) R(A)R(A,\bold{b}) R(A)R(A,b),记 r R ( A ) R ( A , b ) rR(A)R(A,\bold{b}) rR(A)R(A,b): 若 r n rn rn有方程组有唯一解若 r n r{n} rn方程组有多解 对于非齐次线性方程,需要计算 R ( A ) , R ( A , b ) R(A),R(A,\bold{b}) R(A),R(A,b) 对于齐次线性方程只需要计算 R ( A ) R(A) R(A)
特化:齐次线性方程组有解判定 这是线性方程组有解的特例,可以将定理进一步简化 齐次线性方程组 A x 0 A\bold{x}\bold{0} Ax0齐次方程组的情况可以理解为 b \bold{b} b中元素全为0 容易知道 A x 0 A\bold{x}\bold{0} Ax0总有 R ( A ) R ( A ‾ ) r R(A)R(\overline{A})r R(A)R(A)r,因此齐次线性方程组总是有解; 我们只需要计算系数矩阵 A A A的秩 R ( A ) R(A) R(A)即可得到 r r r若 r n rn rn则方程组有唯一解,并且是零解若 r n rn rn方程组有非零解 齐次线性方程组有解判定定理:齐次线性方程组 A x 0 A\bold{x}\bold{0} Ax0有解的充要条件是 R ( A ) ⩽ n R(A)\leqslant{n} R(A)⩽n; 有零解(唯一解)的充要条件是 R ( A ) n R(A)n R(A)n有非零解(多解)的充要条件是 R ( A ) n R(A)n R(A)n;
推广:矩阵方程 A X B AXB AXB有解判定
这里 B B B是常数项矩阵(不再是系数矩阵的增广矩阵)定理:矩阵方程 A X B AXB AXB有解的充要条件是 R ( A ) R ( A , B ) R(A)R(A,B) R(A)R(A,B) 注意这里 X , B X,B X,B不一定是向量,可能是多行多列的矩阵 参考同济线代v6p76定理6
证明 设 A , X , B A,X,B A,X,B分别为 m × n m\times{n} m×n, n × l n\times{l} n×l, m × l m\times{l} m×l的矩阵 对X和B按列分块: X X X ( x 1 , x 2 , ⋯ x l ) (\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l) (x1,x2,⋯xl), B B B ( b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (b1,b2,⋯bl) 矩阵方程 A X B AXB AXB等价于 l l l个向量方程(线性方程组) A X A ( x 1 , x 2 , ⋯ x l ) AXA(\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l) AXA(x1,x2,⋯xl) ( A x 1 , A x 2 , ⋯ A x l ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l) (Ax1,Ax2,⋯Axl) 所有 A X B AXB AXB等价于 ( A x 1 , A x 2 , ⋯ A x l ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l) (Ax1,Ax2,⋯Axl) ( b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (b1,b2,⋯bl) 又等价于 A x i b i ( i 1 , 2 , ⋯ , l ) A\bold{x}_i\bold{b}_i(i1,2,\cdots,l) Axibi(i1,2,⋯,l)共 l l l个线性方程组这些线性方程的共同点是有相同的系数矩阵 A A A,这意味着这 l l l个线性方程组以及原矩阵方程的系数矩阵的秩都是相等的,这个结论很重要而位置数矩阵和常数项矩阵又是相对独立的 设 R ( A ) r R(A)r R(A)r,且 A A A的行阶梯形矩阵为 A ~ \widetilde{A} A ,则 A ~ \widetilde{A} A 有 r r r个非零行,且 A ~ \widetilde{A} A 的后 m − r m-r m−r行为全零行 ( A , B ) (A,B) (A,B) ( A , b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (A,\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (A,b1,b2,⋯bl) ∼ r \overset{r}{\sim} ∼r ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , b l ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})} (A ,b1 ,⋯,bl ) 其中 A ~ \widetilde{A} A 是 A A A的行阶梯形矩阵而向量 b 1 ~ , ⋯ , b l ~ \widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l} b1 ,⋯,bl 是 b 1 , b 2 , ⋯ b l \bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l b1,b2,⋯bl与 A ∼ r A ~ A\overset{r}{\sim}\widetilde{A} A∼rA 执行相同的行变换后的结果,即 b i ~ \widetilde{\bold{b}_i} bi 并不表示某个行阶梯形矩阵 将等价的第 i i i个线性方程组的增广矩阵初等行变换为行阶梯形矩阵: ( A , b i ) (A,\bold{b}_i) (A,bi) ∼ r \overset{r}{\sim} ∼r ( A ~ , b i ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_i})} (A ,bi ), ( i 1 , 2 , ⋯ , l ) (i1,2,\cdots,l) (i1,2,⋯,l) A X B AXB AXB有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A x i b i {A\bold{x}_i\bold{b}_i} Axibi ( i 1 , 2 , ⋯ , l ) (i1,2,\cdots,l) (i1,2,⋯,l)有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A , b i ) {R(A,\bold{b}_i)} R(A,bi) R ( A ) r R(A)r R(A)r, ( i 1 , 2 , ⋯ , l ) (i1,2,\cdots,l) (i1,2,⋯,l) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ b i ~ {\widetilde{\bold{b}_i}} bi 的后 m − r m-r m−r个分量(元)全为0 ( i 1 , 2 , ⋯ , l ) (i1,2,\cdots,l) (i1,2,⋯,l) 因为,若后 m − r m-r m−r个元中存在非零元,会导致 R ( A , b i ) R ( A ) R(A,\bold{b}_i)R(A) R(A,bi)R(A),导致 A x i b i {A\bold{x}_i\bold{b}_i} Axibi无解而其前 r r r个元的取值情况不会影响 R ( A , b i ) {R(A,\bold{b}_i)} R(A,bi) R ( A ) R(A) R(A)的成立,我们不关心 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 矩阵 ( b 1 ~ , ⋯ , b l ~ ) (\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l}) (b1 ,⋯,bl )的后 m − r m-r m−r行全为0; ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 行阶梯形矩阵 D ~ \widetilde{D} D ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , b l ~ ) (\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l}) (A ,b1 ,⋯,bl )的后 m − r m-r m−r行全为0 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( D ~ ) ⩽ m − ( m − r ) r R(\widetilde{D})\leqslant{m-(m-r)r} R(D )⩽m−(m−r)r,又因为 D ~ \widetilde{D} D 包含了 A ~ \widetilde{A} A ,所以 R ( A ~ ) r ⩽ R ( D ~ ) R(\widetilde{A})r\leqslant{R(\widetilde{D})} R(A )r⩽R(D ) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( D ~ ) r R(\widetilde{D})r R(D )r ⇔ R ( A , B ) R ( A ) \Leftrightarrow{R(A,B)R(A)} ⇔R(A,B)R(A) 因此,如果 A X B AXB AXB有解,则 R ( A , B ) R ( A ) R(A,B)R(A) R(A,B)R(A)
推论
若 A X B AXB AXB有解,则 R ( B ) ⩽ R ( A , B ) R ( A ) R(B)\leqslant{R(A,B)}R(A) R(B)⩽R(A,B)R(A),所以 R ( B ) ⩽ R ( A ) R(B)\leqslant{R(A)} R(B)⩽R(A),即常数项矩阵的秩小于系数矩阵的秩对 A X B AXB AXB两边同时取转置运算,有 X T A T B T X^TA^TB^T XTATBT,同理有 R ( B T ) ⩽ R ( X T ) R(B^T)\leqslant R(X^T) R(BT)⩽R(XT),即 R ( B ) ⩽ R ( X ) R(B)\leqslant{R(X)} R(B)⩽R(X)综上, R ( B ) ⩽ min ( R ( A ) , R ( X ) ) R(B)\leqslant{\min(R(A),R(X))} R(B)⩽min(R(A),R(X))
